книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

Подобным образом возможно найти уравнение перио­ дических решений х(п) на интервале O^ns^jV—-1. До­ статочно подставить в уравнение (7-102) величины a'hy полученные из (7-106), и величины Ь'к, полученные из

(7-104).

Приходим к выражению

Частный случай N=2. В этом случае удобнее исполь­ зовать определение А^. Возьмем k=\, N = 2, тогда по­ лучим:

и согласно (7-104) и (7-105)

5 (а,, <р„ 2) =

= ^ 2 ф[а-cos

i—0

(7-113)

В комплексной плоскости 5 определяет семейство кривых с параметром <р, и соответствует точке

точке определяют амплитуду и фазу желаемого периоди­ ческого решения.

Общий случай 3. В общем случае уравнения (7-106) и (7-108) должны быть решены численно. Следу­ ет отметить большую трудоемкость этих расчетов. Одна­ ко можно ограничиться отысканием только приближен­ ного периодического решения.

Предположим, что это решение — гармоническое (комплексные амплитуды а'и, k= 3, 5, ..., N настолько малы, что ими можно было пренебречь).

Тогда

Это допущение действительно, если удовлетворяется выведенное соотношение (7-106)

242

Это уравнение дано в общем виде, как и уравнение (7-113). Параметры а4 и фч могут быть определены так, как и в частном случае, когда N= 2.

Уравнение (7-116) такое же, как и найденное прибли­ женным методом первой гармоники для дискретных си­

ческого решения х(п). Решение возмущенного движения будет:

|ь(п)|<с1, получаем приведенное ниже уравнение в ко­ нечных разностях, коэффициенты которого изменяются периодически:

где

йФ(х)

Ф ' (Jc) dx

Устойчивость решения рассматриваемого уравнения связана с устойчивостью периодического решения. Для случая, когда функция Ф (х ) — нечетная, Ф '(х) может быть представлена в виде ряда Фурье

N/2, a cf2fc=d2ftexp (jck) — комплексные амплитуды гар­ монических составляющих.

Решение ищем в виде

м

А=—М

для N = 2М

2 4 4

Система уравнений (7-122) и (7-123) не имеет три­ виального решения, если определитель системы равен

Периодическое решение устойчиво [согласно уравне­ нию (7-121)], если корни характеристического уравнения (7-125) имеют отрицательные действительные части. Исследование устойчивости может быть произведено с помощью хорошо известных критериев устойчивости импульсных систем.

З а м е ч а н и е . Метод Цыпкина, основанный на разложении в ряд Фурье, строг, но трудно применим из-за вычислительных слож­ ностей. Однако приближенное решение этой задачи следует рассма­ тривать с точки зрения метода первой гармоники, изложенного ра­ нее. Причем доказано, что этот метод строг для случая, когда полупериод колебаний меньше или равен двум.

в) ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИИ С ПОМОЩЬЮ г-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Исследование предельных циклов в импульсных си­ стемах с нелинейными характеристиками типа реле или насыщения было проведено с помощью ортогональных функций В. Е. Мезервом и Ш. С. Торнгом [Л. 7-12]. Здесь будут освещены различные приближенные методы исследования предельных циклов импульсных нелиней­ ных систем, у которых входные сигналы линейной части представляют последовательности импульсов с периоди­ чески изменяющейся длительностью.

В указанных условиях систему можно рассматривать как разомкнутую с конечной длительностью замыкания импульсного элемента, причем длительность замыкания изменяется периодически. Развитая для этой системы теория играет важную роль в отыскании предельных циклов. Поэтому будут рассмотрены ее основные на­ правления.

Отметим, что Е. Л. Джури и Т. Нишимура посвятили этой теории ряд работ, основанных на этом методе, и что полное исследование содержится в [Л. 7-13, 7-14].

1. Система с широтной и частотно-импульсной модуляциями

В системах с широтной и частотно-импульсной моду­ ляциями импульсный элемент преобразует входной сиг­ нал в импульсы конечной длительности, период следова­

245

ния и длительность которых меняются периодически, как это иллюстрируется на рис. 7-9, причем Г0, Ти hu ...

...; Тм-и hM-i — периоды квантования и длительности

I

246

где Xnh(p)— преобразование Лапласа от xnh(t), полу­ ченное с помощью интеграла свертки

Г

здесь Xnh(p) не имеет полюсов в начале координат плос­ кости р, так как xnh(t) является функцией импульса ко­ нечной ширины.

Это также следует из выражения для интеграла свертки вышеприведенного уравнения, так как полюс

лем его числителя, и поэтому при выполнении интегри­ рования это выражение не содержит полюса En(s).

Приращение выходного сигнала ASn(p) определяется как произведение передаточной функции KG(p) и пре­ образования Лапласа входного сигнала xnh(t) и харак­ теризует реакцию системы в течение (я+1)-го периода регулирования:

ния. Это запаздывание относительно момента квантова­

ния Mk определяется как

г—1

г= 0

откуда

247

Если приращения реакций выходного сигнала ASh(p) совпадают при учете соответствующих запаздываний для всех k от 0 до бесконечности, то суммирование позволя­ ет получить общую реакцию системы S (р):

248

Оператором ZTO обозначается модифицированное ^преобразование с периодом Т. Уравнения (7-134) и (7-135) в общем виде являются основой для простого метода исследования систем с конечной шириной импульсов.

2. Анализ предельных циклов в нелинейных импульсных системах

Когда к нелинейной импульсной системе приклады­

(рис. 7-12), в системе устанавливается в общем случае предельный цикл.

Рис. 7-12.

Когда система возбуждается стационарным колеба­ нием, выходной сигнал xnh(t) нелинейной части также является периодическим сигналом. В этом случае используется выше приведенный подход к исследованию импульсных систем с конечной, не равной нулю шириной импульсов.

Предположим, что в возбуждаемой системе установи­ лись предельные колебания в начале общего (iV-j-l)-ro периода или в NM-й момент квантования (М — число периодов квантования в предельном цикле, а N — конеч­ ное целое).

Преобразование Лапласа приращения выходного сигнала, после того как в системе установятся колеба­ ния, будет иметь вид:

где I обозначает относительное положение исследуемого периода квантования в общем периоде TG предельного цикла.

После установления в системе колебаний выходной сигнал для каждого периода квантования повторяется в течение общего периода TG, и значения ASk(p) урав-

249

нения (7-131) совпадают для каждого k. Преобразова­ ние Лапласа дискретного выходного сигнала каждого предельного цикла становится тогда независимым от k. Следовательно, А и Е могут быть исключены, так как k не является действительной величиной. Однако, чтобы показать, что переменные изменяются периодически, до­ бавляется индекс р. Преобразование Лапласа дискрет­ ного выходного сигнала в предельном цикле обозначает­ ся как ASp(p) и определяется с учетом соответствующих коэффициентов запаздывания

ЛГ—I

Д5Р(р )= I e~lpTASlp(p). (7-137) 2=0

S*(z) в уравнении (7-134) можег быть разделено на две составляющие: переходную и установившуюся (пре­ дельный цикл)

может быть заменена простым умножением на Z~A+ I/Z —1

значения AS*p(z), то вышеприведенное уравнение запи­ шется:

■V— 1

Операция квантования введена для того, чтобы полу­ чить 2-преобразование реакции системы относительно периода TG= MT. Эта операция, обозначаемая Zp(...), осуществляется над каждым из М членов импульсного входного сигнала с периодом Т. Его математическое вы-

250