книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

Рис. 3-14.

Окончательно получим, что

5и+2=0,975s„+i+ 0,155as„+i +

В зависимости от величины а возможны различные случаи:

Корни характеристического уравнения — мнимые со­

сти хп, sn расположены на спирали. Рисунок 3-15 полу­ чен на моделирующей установке.

2. С л у ч а й a = 6,29

Система описывается уравнением

Sn+2+ 0,591st! = 0. (3-6/)

В этом случае кор­ пи—чисто мнимые, и изо­ бражающие точки фазо­ вой траектории располо­ жены в плоскости хп, sn на двух прямых (рис. 3-16). Точка 0 — устойчи­

Корни комплексные, a их действительная часть отрицательна:

s?i+2+ 0,268sn+i + 0,974s„ = 0. (3-68)

Траектория не может быть построена другим спосо­ бом, кроме графического (рис. 3-17). Из рисунка видно, что фокус типа 2 устойчив.

г) НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

Теорема об устойчивости положения равновесия в ма­ лом позволяет доказать, что исследование траекторий в окрестности особых точек сводится к исследованию траекторий в линеаризированной системе. Важное огра­ ничение этой теоремы состоит в том, что для чисто мни­ мых корней характеристического уравнения нельзя полу­ чить однозначного ответа об устойчивости [Л. 10].

Говорят, что задача является критическим случаем задачи Ляпунова, причем устойчивость или неустойчи­ вость определяется членами Р2(хп, Уп) и Q2(xn, Уп)■

Пример 3-2. Рассмотрим систему уравнений

согласно которым точка равновесия устойчива: Xi ==+/; Яг=—i.

112

00

со

сл

to

Рис. 3-19.

&Р

Вид движения описывается системой уравнений (3-70) и изме­ няется из-за влияния члена Ху3п, который обусловливает затухание колебаний (А,<0, рис. 3-18) или возрастание их до бесконечности

(А,>0, рис. 3-19).

З а м е ч а н и е . Некоторые авторы [Л. 3-11, 3-12] при исследова­ нии системы используют представление в виде разностного уравне­ ния второго порядка, не рассматривая при этом преобразования это­ го уравнения в два разностных уравнения первого порядка. Исследо­ вание этого уравнения производится аналогично в плоскости х п,

Ахп =%п+1 Хп-

Действительно, плоскость xn+i, yn+i = cxn + dyn аналогична пло­ скости хп+1, хп{аг—a+bc) + y n(ab + bd—d)=A xn+1. Плоскость хп,

Ахп называется фазовой плоскостью приращений, причем различные виды особых точек рассматриваются относительно этих новых осей.

д) МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ВХОДНОМ СИГНАЛЕ

Описанный выше метод очень просто можно исполь­ зовать при входном сигнале типа возрастающей ступен­ чатой функции, или синусоидальной функции, период которой кратен периоду квантования.

Построение фазового портрета просто, при этом вели­ чины входного сигнала рассматриваются в моменты кван­ тования и расчет производится шаг за шагом. Когда пе­ риод колебаний входного сигнала иррационален относи­ тельно периода квантования, последовательность входно­ го сигнала не изменяется периодически, а реакция систе­ мы также не является периодическим сигналом. В прин­ ципе необходима бесконечная длительность времени для получения всего переходного процесса системы.

3-3. ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ СИСТЕМЫ

Как нам известно, немногие авторы занимались зада­ чей графического построения фазовых траекторий нели­ нейной импульсной системы. В действительности всегда возможно построить дискретную последовательность то­ чек этих траекторий путем итерационного решения раз­ ностного уравнения.

Однако если уравнение достаточно сложно, то пред­ почтительнее графическое построение, которое очень ча­ сто позволяет выявить предельные циклы колебаний рассматриваемой системы.

114

а) ПЕРВЫЙ МЕТОД'

Недавно М. Панэ, Ф. Лоран и Л. Пови [Л. 3-13] пред­ ложили метод графического исследования нелинейных рекуррентных последовательностей.

1. Графическое исследование нелинейных рекуррентных последовательностей

Рассмотрим последовательность вектора V„, достав­ ляющие которого хп и уп определяются рекуррентными соотношениями

Преобразование, превращающее вектор V„ в вектор Vn+i, полностью определено двумя семействами кривых,, изображенных в плоскости Ох и 0у, и уравнениями

(X и р — переменные параметры; Яо и ро— произвольные* постоянные величины).

2.Исследование нелинейных импульсных систем

Для того чтобы упростить построения, предположим,, что период квантования Т— величина постоянная. Рас­ смотрим нелинейную импульсную систему, структурная схема которой приведена на рис. 3-20. За импульсным.

нз

Рис. 3-20.

115-

элементом и фиксатором следуют безынерционная нели­ нейность и фильтр второго порядка L(p).

Предполагается, что входной сигнал ео постоянен. Обозначим через хп переменные состояния системы в мо­ мент пТ. Состояние фильтра в момент пТ определяется вектором Ек, составленным из sn и s'n. Вектор Еп+1 состоит из суммы двух векторов: первое слагаемое опре­ деляется начальным состоянием АЕП (А — матрица вто­ рого порядка, составленная из постоянных коэффициен­ тов, характеризующих линейный фильтр), второе слагае­ мое определяется исключительно квантованным значе­ нием ошибки рассогласования и свойствами и параме­ трами системы

Предполагая, что Vn — вектор, составляющие которо­ го &п и г'п, a U0 — вектор \\е0, 0||т

тны, и по одной известной можно построить все осталь­ ные. Преобразование перехода от Vn к V„+1 определяет­ ся двумя кривыми F и G, градуированными как функции соответствующих параметров р и X:

Таким образом, F — прямая линия, что приводит к построению, данному на рис. 3-21. Пусть координаты точки Мп будут (еп, г'п)- Исходя из точки Рп с коорди­ натами h(en) + ае0, 1(гп), расположенной на кривой G,

в точку, где К=Еп, проведем вектор Рп-Мп+ь составляю­ щие которого О-е ' п , Ь е ' п , т . е. вектор, равный вектору

.116

0Qn, причем Qn— точка на кривой F, где р = е/7г. Его ко­ нец определяет точку Mn+i.

З а м е ч а н и е . Если линейный фильтр включает и интегратор, то вектор-столбец ||е0, 0]|т пропорционален матрице А, вырождаю­ щейся в единичную матрицу, т. е. AU0= U 0= I(/o. Изменение ;во вре­ мени ошибки системы не зависит от величины входного сигнала.

Вышеописанный метод применим для любой нелинейности (на­ сыщение, широтная модуляция и т. д.) и позволяет последовательно ■определять точки фазовой траектории.

Пример 3-3. Рассмотрим фильтр второго порядка

и нелинейность, описываемую в моменты времени пТ и п (Г +1) функцией

:и кривая G описывается уравнением

д I ®Я-^signe„

(3-79)

\ — (1 — £ )sig n en.

Отсюда можно легко предвидеть существование трех видов пре­ дельных циклов с периодами 2, 4 и 6 сек.

117

б) в т о р о й м е т о д

И. Гумовский и С. Мира [Л. 3-14] предложили также метод графического определения дискретных фазовых траекторий. Пусть задана импульсная система, поведе­ ние которой описано автономным рекуррентным соотно­ шением второго порядка с действительными перемен­ ными

Полагаем, что приведенная выше система уравнений определяет невырожденное преобразование Т для ряда последовательных точек и что начало координат 0 (хп=

с координатами xn+i, уп-и в точке хп, уп, достаточно определить величины параметров у и б, соответствующие двум кривым, проходящим через хп, уп-

Предыдущее определение точки хп- и уп-и при кото­ ром использовались хп, уп, производится при поиске пересечения кривой у = хп с кривой б = уп-

Рис. 3-22.

118

Пересечение кривых x = f ( x , у ) , y = g ( x , у ) дает 'новое положение системы. Отметим, однако, что в общем слу­ чае следует проводить два семейства кривых.

Пример 3-4. Чтобы иллюстрировать применимость предложен­ ного метода, исследуем следующую систему:

Хп+1=Уп',

В нашем распоряжении есть еще один метод, предло­ женный П. Видалем, Ф. Лораном и Л. Пови [Л. 3-15]. Он основан на особом виде рекуррентного уравнения, соответствующего особому классу нелинейных импульс­ ных систем. В большинстве случаев уравнения, описы­ вающие такие системы (например, второго порядка), имеют вид:

Е-п+2 — j (бп+l) + £ (Еп) . (3-83)

Это соотношение очевид­ но, так как фиксируется квантованное значение ошиб­ ки, что эквивалентно запа­ здыванию на один период квантования. Это приводит к тому, что наиболее сме­ щенный член разностного уравнения, в данном случае е„+2, не зависит от нелиней-

119

наты

NП+1 s И ) ;

f(sn+1)-

Вплоскости хОу справедливо следующее соотноше­

ние:

x+ y = g(en) + f(e n+1) — en+2-

Перпендикуляр, опущенный из Nn+i на прямую В,

Тогда с помощью рис. 3-24 легко исследовать предельные циклы колебаний.

120