книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

Эллипс, являющийся границей области устойчивости б, преобра- .

В рассматриваемом примере это условие шире, чем предложен­ ное Шеа. Поэтому следует использовать различные критерии совме­

Начало координат является фокусом, множители которого после произведенных расчетов будут равны: S i= l/3 , S2= l/2 . Функции к являются рациональными функциями начальных условий:

(6-269)

Рис. 6-32;

В плоскости ха, Х\ область устойчивости является всей плоско­ стью, за исключением особой прямой

Любое начальное условие, взятое на этой прямой, дает ряд точек, которые остаются на ней и стремятся при увеличении п до бесконечности. С другой стороны,

Яо } — х,’

откуда, применяя уравнение (6-196), получаем рекуррентное соотно­ шение

(6-271)

Пример 6-10. Рассмотрим систему [Л. 6-47]

Рис. 6-34.

(рис. 6-34).

=— 10, у = 5); Л2( х = 5, у —— 10), Л3(х = ± 1 0 , у = —10).

Циклы второго порядка заданы как

х;= 0 ,5 х + 0,1хг; |

откуда точки границы В(х=0, у = 5); В '(х= 5, у==0).

212

Зная эти точки, можно легко найти, что область устойчивости возле начала координат расположена внутри квадрата, изображен­ ного на рис. 6-34, и что все точки, расположенные на границе этой области, обладают одинаковыми свойствами.

при D = e~ 1.

Рис. 6-35.

Использование известных результатов [Л. 6-24, 6-30] исключает

необходимость заключительных комментариев. Выбор оператора

1 1

диагонализирующего характеристическую матрицу

0 —0

линейного фильтра, и использование результата, выраженного урав­ нением (6-210), приводят к достаточному условию глобальной устой­ чивости

0 < а (е п) <0,5

г) ЗАКЛЮЧЕНИЕ ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИТЕРИЯХ УСТОЙЧИВОСТИ

Алгебраические критерии устойчивости основаны либо на втором методе Ляпунова, либо на рассмотрении рекуррентных последова­ тельностей.

Отметим, что каждый из предложенных критериев особенно хо­ рошо подходит только к определенному типу разностных уравнений, и поэтому необходимо при исследовании пробовать все эти методы, чтобы определять наибольшую область устойчивости.

213

6-3. К О М М Е Н Т А Р И И к г л . 6 *

Терминологические отличия и неполнота определений понятия устойчивости дискретных систем, приведенных в гл. 6, вынуждают нас во избежание возможных недоразумений привести здесь эти основные понятия в терминах, принятых в отечественной литературе.

а) ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

движением системы (6-279) является тривиальное решение х°=0. Невозмущенное движение системы (6-278) называется устойчи­ вым по Ляпунову (или просто устойчивым), если для любого е>0,

Если для некоторого е>0 невозможно подобрать число Я (е)>0, удовлетворяющее приведенному определению, то невозмущенное дви­ жение системы (6-278) неустойчиво.

Как следует из определений, вопрос об устойчивости невозмущениого движения системы (6-278) полностью решается исследова­ нием устойчивости тривиального решения системы (6-279). Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только уравнения возмущенного движения.

устойчивости» соответствует устойчивости в целом, а понятие «гло­ бальной устойчивости» — устойчивости в области.

6) ДИСКРЕТНЫЕ АНАЛОГИ МЕТОДОВ ЛЯПУНОВА

Первый метод Ляпунова

Если функция f(x) уравнения (6-279) непрерывна по совокупно­ сти своих аргументов, то в окрестности начала координат ее можно

Комментарии даны .редактором перевода В. М. Кунцевичем.

2 1 4

Представить в виде сходящегося степенного ряда. Ограничившись линейными членами разложения, получим приближенную линейную модель системы

радиуса, то тривиальное решение системы (6-279) асимптотически устойчиво в малом.

Если хотя бы один корень уравнения (6-281) расположен вне круга единичного радиуса, то тривиальное решение системы (6-279) неустойчиво.

Второй метод Ляпунова

Наиболее общим методом анализа устойчивости дискретных си­ стем является дискретный аналог второго (прямого) метода Ляпу­ нова. Он сводит задачу исследования устойчивости системы (6-279) к изучению свойств некоторой непрерывной функции vn = v(xn) (функции Ляпунова) и ее первой разности

■Avn = Vn+i—Vn= v[f(Xn)]—v{xn) = Av(xn)

в некоторой области L, являющейся окрестностью начала координат, то говорят о положительной (отрицательной) определенности функ­ ции у(х) в области L.

Рассмотрим следующие условия:

а) Пусть в области L (р), внутри которой |х„|<р, функция оп положительно определена, а ее первая разность Avn вдоль траекто­ рии системы (6-279) неположительна. Тогда тривиальное решение системы (6-279) устойчиво по Ляпунову.

б) Если при тех же предположениях о функции v„ ее первая разность Avn вдоль траекторий системы (6-279) отрицательно опре­ делена, то тривиальное решение системы (6-279) асимптотически устойчиво.

Если условия «а» выполняются в области L(р), заданной нера­ венством vn< р, то тривиальное решение системы (6-279) устойчиво

мы (6-279) устойчиво (асимптотически устойчиво) в целом.

Пусть в сколь угодно малой окрестности начала координат функция vn может принимать отрицательные значения, а ее первая разность Avn вдоль траекторий системы (6-279) отрицательно опре­ делена в области L(p), внутри которой Цх„||<р. Тогда тривиальное решение системы (6-279) неустойчиво.

215

Г лава седьмая

П Е Р Е Х О Д Н Ы Е П Р О Ц Е С С Ы И У С Т А Н О В И В Ш И Е С Я К О Л Е Б А Н И Я

Критерии, предложенные в гл. 6, к сожалению, труд­ но применимы на практике, так как они накладывают ограничение: во время переходного процесса величины переменных должны удовлетворять требуемым услови­ ям. Предпочтительнее определить область, гарантирую­ щую устойчивость, когда начальные условия принадле­ жат этой области при отсутствии входного сигнала. Кроме того, описанные критерии позволяют получить только асимптотическую устойчивость решения задачи, а для практического исследования весьма важно опре­ делить время переходного процесса в импульсной систе­ ме. Этим двум, еще мало исследованным вопросам и будет посвящено начало этой .главы.

Так как в замкнутой системе при определенных усло­ виях могут устанавливаться автоколебания, то в общем случае в системе существует предельный цикл.

Подобный режим может устанавливаться и при дей­ ствии внешнего периодического возмущения. Определе­ ние условий возникновения автоколебаний и отыскание максимальных и минимальных значений амплитуд этих колебаний и являются содержанием этой главы.

7-1. ПОНЯТИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ

При рассмотрении устойчивости нелинейных систем необходимо различать условия устойчивости относитель­ но значений параметров системы и относительно началь­ ных условий.

Условия устойчивости, полученные непосредственно, например, с помощью второго метода Ляпунова (К >0, ЛУ<0) накладывают ограничения на величины перемен­ ных системы. В гиперпространстве этих переменных они определяют некоторую область L и гарантируют такую устойчивость системы, что в любой момент времени ни одна из переменных системы не выйдет за пределы этой области L.

216

В действительности следует определить наибольшую область V= const, содержащуюся в области, для кото­ рой АУ<0. В общем случае это невозможно, так как область V описывается сложным алгебраическим урав­ нением.

В этом случае более желательным будет определение области L по ранее найденной области D и виду урав­ нения, описывающего поведение системы, гарантирую­ щей устойчивость при начальных условиях, принадлежа­

ном [Л. 7-2], но она была решена только для частных случаев. Нами предлагаются два общих метода иссле­ дования [Л. 7-3].

а) ПЕРВЫЙ МЕТОД

1. Область начальных условий

Для исследуемой системы второй метод Ляпунова по­ зволяет получить достаточные условия устойчивости. Этот достаточно общий метод позволяет утверждать, что если соотношения между коэффициентами нелинейных разностных уравнений, описывающие эти системы, удов­ летворяются в любой момент времени, то система асимп­ тотически устойчива. Это теоретически безупречно стро­ гое условие очень трудно использовать на практике изза трудностей, возникающих при удовлетворении усло­ вий, накладываемых на У и АН.

На самом деле, если условия Ляпунова удовлетворя­ ются, то во время переходного процесса, вызванного ли­ бо изменением задающего воздействия, либо изменения­ ми возмущений, метод позволяет найти некоторую дис­ кретную последовательность. Особенность метода требу­ ет последовательного расчета и уменьшает в определен­ ной мере применимость этого метода.

Пусть разностное уравнение ш-го порядка, коэффи­ циенты которого нелинейные функции fi, ..., fm, запи­

217

Чтобы упростить запись, примем J хп+т = хп+т и допустим, что существует точка равновесия, определяе­ мая как

условие асимптотической устойчивости для системы, опи­ сываемой уравнением (7-1)

f«

внутри которой должна находиться изображающая точ­ ка системы в течение всего переходного процесса от на­ чального состояния до состояния равновесия (начала координат).

Задача состоит в определении замкнутого гиперпро­ странства Dn в гилерпространстве переменных, определя­ ющих состояние системы в момент п= Он находящихся внутри D, при асимптотической устойчивости системы. Отыщем преобразование, позволяющее перейти от обла­

2. Критерий Венгжина — Видаля [Л. 6-3]

Область D должна удовлетворять следующим усло­ виям: преобразование области Dn определяется последо­ вательностью п, а областей Dn+\, ■.., Dn+m-1 — последо­ вательностями п+- 1, ..., n+ m— 1, причем все эти области должны содержаться в области D.

Максимальная область D, определяемая по этому ме­ тоду, должна находиться в области L, соответствующей условиям устойчивости, полученным вторым методом Ляпунова.

Начало координат должно находиться в области D и не должно изменяться при преобразованиях, ставящих

всоответствие области D области Dn, . . Dn+m~i. Доказательства, а) Если область D, определенная

для п, наибольшая из всех областей Dn+u ■■•, D„+m-u то она тем более больше областей Dn+m, Dn+m+1, ..., Do?.

218

Следовательно, достаточно отыскать соотношений, определяющие область Da в нулевой момент, содержа­ щую все области Dit определяемые в г-е моменты кван­ тования.

б) Вообще существует бесконечное число областей А,, получаемых одна из другой с помощью подобных преобразований.

Область D0 должна содержаться в области L, кото­ рая отыскивается с помощью второго метода Ляпунова, для того, чтобы обеспечить асимптотическую устойчи­ вость системы. Для этого достаточно выбрать для Dn самую большую область D, содержащуюся в L.

В этом случае все области Dn, полученные во время переходного режима системы, находятся одновременно в областях D и L; в этом случае система асимптотически устойчива.

в) Так как начало координат является по определе­ нию точкой равновесия и должно находиться в области D, то во время последовательных преобразований его положение остается неизменным.

З а м е ч а н и е . Следует подчеркнуть, что выбор областей D но­ сит вспомогательный характер, и было бы заманчиво найти область D среди всех возможных (наибольшую гиперсферу, гиперкуб и т. д.), для которой критерий является достаточным.

б) ВТОРОЙ МЕТОД: ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЬ [Л. 7-4]

Назовем гиперповерхностью Ляпунова совокупность точек дискретного фазового гиперпространства, для ко­ торого функция Ляпунова V имеет постоянную положи­ тельную величину с. Каждая гиперповерхность Ляпуно­ ва разделяет фазовое гиперпространство на две части: гиперпространство Ее, находящееся внутри гиперповерх­ ности Ляпунова, включающее начало координат, и ги­ перпространство Ес, находящееся вне гиперповерхности Ляпунова.

Рассмотрим такие функции Ляпунова, что при гиперпространство Ес^находилось бы внутри гиперпро­ странства Ес :

' Мы называем эквипотенциальной поверхностью Ля­ пунова гиперповерхность Ляпунова, удовлетворяющую

219

соотношению (7-4). Число с определяет потенциал по­ верхности. Для данного уравнения внутренняя по отно­ шению к эквипотенциальной гиперповерхности Ляпунова (гиперповерхность) соответствует потенциалу ту и всегда находится во внутренней по отношению к эквипотенци­ альной гиперповерхности Ляпунова области, соответст­ вующей потенциалу с2, причем с2> й -

Предположим, что в области L, в которой находится начало координат пространства хп, ■■ хп+т~и сущест­ вует функция Ляпунова V = ( x n, ■■., хп+т+1) . Допустим также, что уравнение V = c определяет эквипотенциаль­ ную гиперповерхность Ляпунова — наибольшую гипер­ поверхность, полностью содержащуюся в L.

Критерий ]Л. 5-4]. Область D, обеспечивающая устой­ чивость системы относительно начальных условий, рас­ положена внутри гиперповерхности £ Смакс, соответствую­ щей наивысшему потенциалу с.

Доказательство. Действительно, для начальных усло­ вий, которым соответствует какая-нибудь точка внутри области D, функция V удовлетворяет условиям Ляпуно­ ва, так как согласно определению Еснакс заключено в L. При условии, что функция V определяет эквипотенциаль­ ную гиперповерхность Ляпунова, траектория системы остается в области D, а V уменьшается вдоль этой тра­ ектории. Эта траектория, переходящая из области, обра­ зованной эквипотенциальной гиперповерхностью с высо­ ким потенциалом, в область, образованную гиперповерх­ ностью с более низким потенциалом, стремится к началу координат.

Система, движения в которой вызваны произвольны­ ми начальными условиями, лежащими внутри области

В предыдущем параграфе мы показали, что для того, чтобы определить область глобальной устойчивости от­ носительно начальных условий, нужно найти эквипотен­ циальную гиперповерхность Ляпунова, потенциал кото­ рой наиболее высок (см. ![Л. 6-58]). Постараемся опреде­ лить такую поверхность для случая квадратичной фор­ мы типа

где X — вектор размерности т ; А — квадратная, симмет­ ричная, положительно определенная матрица с действи-

220