книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы
.pdf3-4. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА
а) РЕЛЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
Структурная схема системы изображена на рис. 3-25. Разностное уравнение, связывающее у и х, запишется как
У п + l У п = koXn+1-
Рис. 3-25.
Так как элемент k\Ip — астатическое звено, то можно записать:
J-(nT) = klnT.
Его разностное уравнение будет:
З'п+1 Sn h\TУп> |
(3-88) |
откуда
Предположим, что на систему действует единичный скачкообразный входной сигнал и что k0kiT=l. Поведе-
Рис. 3-26. Фазовые траектории в импульсной системе.
12
ние системы описывается при помощи разностного урав нения (3-88) и условия
( |
2, |
если |
1 — 5п+1 > 0 ; |
(3-89) |
|
х п + 1= | |
0, |
если |
1 — дга+1= 0 ; |
||
[ —2, |
если |
1 — s«+1<T0. |
|
||
Предельные циклы |
фазовых |
траекторий |
системы |
||
рис. 3-25 изображены |
на |
рис. |
3-26. |
Так как случай ре- |
|
Рис. 3-27.
лейной системы важен сам по себе, фазовые траектории позволяют исследовать предельные колебания (рис. 3-28) системы рис. 3-27.
б) ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ С НАСЫЩЕНИЕМ
Структурная схема системы приведена на рис. 3-29. Разностное уравнение, связывающее выходной сигнал s с входом х, запишется при 7'=1 сек как
Sn+2 |
Sn2 =S Хпr i+1'- | - i - р |
Предположим, что на систему воздействует единич ный ступенчатый сигнал и что насыщение описывается
Рис. 3-28. Фазовые траектории в импульс ной системе с реле.
122
двумя разностными уравнениями. Система с насыщени ем описывается уравнением
■ Sn+2 |
2 s n ^.{ -f- S n = |
iA^Sn = |
X n + i |
|
|
при |
|
|
|
|
|
xn+1 = |
l, |
если |
sn+1< 0 ; |
| |
|
x n+l = |
— l, |
если sn+1> |
2. |
(3-91) |
|
j |
|||||
Система без насыщения описывается как
Sn+2 2Sn+l+ Sn — *n+l
-I1' |
|
|
V\ 1 X |
P c |
|
Рис. 3-29. |
|
|
при |
|
|
Xn+i=l—sn+b если 0 < s n+1<2. |
(3-92) |
|
С помощью (3-92) можно получить: |
|
|
5„+2=5та+1—s „+ l, где Л*п+1= А2хп + Ахп. |
(3-93) |
|
Когда нелинейный элемент не насыщен, разностное уравнение (3-93), учитывая замену переменных zn = = хп— 1, можно записать как
Zn+2—zn+i + zn = 0. |
(3-94) |
Это уравнение имеет два мнимых корня с модулем, равным единице, а фазовая траектория будет иметь пре дельный цикл (траектория I, рис. 3-30). Период пре дельного цикла в этом случае равен 6 сек.
Разностное уравнение |
системы с |
насыщением для |
К — ± 1 запишется: |
|
|
Sn+2—2sn+i+ s„ = K, |
(3-95) |
|
Возможно привести ее к виду |
|
|
(Sn+2---Sn+l)2--- |
k (Sri+2+ Sn+l) = |
|
= S2n+2 + s2n+l—2Sn+lSn+Z---ksn+2—K Sn+l = |
||
= 2 s n ^ - 2 S n + i — STi+2Sn + ^ S n + 2 + |
S2n + l — |
|
—2snjrzSn+l—Ksn+2—Ksn+l= —SnSn+2+
123
-|-S^n4-2— K S n + l— (Sn -fl |
Sn )2 К (Sn-fl T" Sn) — |
= A2Sn— K A s n— K s n = |
( S i— So)2— K ( S i + S o ) = |
= Cte.
Фазовая траектория системы является дискретным рядом точек, расположенным в зависимости от знака К на двух параболах. Так как насыщение накладывает на величину |х| ограничение: максимальное значение |х| =
Рис. 3-30. Фазовые траектории в импульсной систе ме с насыщением.
= 1, очевидно, что траектории системы будут замкнуты ми кривыми, расположенными в фазовой плоскости и стремящимися к некоторому предельному циклу.
Для начальных условий 5о=—0,2; Si= 0 была построе на траектория рис. 3-30 (траектория II) в дискретной фазовой плоскости. Период колебаний 6 сек, а их мак симальная амплитуда равна 2,4.
124
в) р е л е й н а я и м п у л ь с н а я с и с т е м а с ф и к с а т о р о м
НУЛЕВОГО ПОРЯДКА И ИСПОЛНИТЕЛЬНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ
Структурная схема системы приведена на рис. 3-31. Передаточная функция лилейной части системы будет:
S (P) _ |
-тр |
1 |
х {р) |
|
р (\ — ip) = ( 1 |
|
X |
(3-96) |
|
|
р (1 — ip) |
Предположим, что входной сигнал — единичная сту пенчатая функция, тогда разностное уравнение для ди-
Рис. 3-31.
скретных значений и и у, связанных как ы/г/=1/р2, запи шется так:
|
Ып-±2 |
Uп— Туп-\-1‘ |
|
|
(3-97) |
||||
Передаточная |
функция |
u/y= p~i(l+xp)~i |
соответст |
||||||
вует разностному |
уравнению |
|
|
|
|
|
|||
vn+z — vn+A^Jr e |
T^)Jr vn£ Г/ . = У (1— е Т1 )■ |
(3-98) |
|||||||
Для |
|
|
sn = Un—xvn |
|
|
|
(3-99) |
||
и |
|
|
|
|
|
||||
|
Уп+1—%п+1 |
Хп |
|
|
|
(3-100) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
уравнения |
(3-97) |
и (3-98) запишутся так: |
|
|
|||||
1Х-П+з " & |
Мп+2 |
2un+2 -(- 2й |
U-n+i Ч- |
|
|
||||
+ |
ип+1- е - Т1'ип = Туп+2- Т е - Т1'уп+г, |
(3-101) |
|||||||
У п + З |
®П+ 2 |
(1 Н “ & |
) ~ Ь |
^ |
О п + , |
V)l+ 2 |
+ |
|
|
“ Ь vn+ l (1 Н “ е |
^ |
■)--- е |
Т1' ип = |
Уп+ 2 (1 |
--- е |
--- |
|||
|
|
- y |
n+t( l - e ~ Th). |
|
|
(3-102) |
|||
125
Соотношения (3-101) и (3-102), если учесть уравне ния (3-99) и (3-100), дают:
5 |
п + s nз+ z 0 -— |
е |
1 ) е ~ 1 Ьs n + i — |
||
---- |
[ S T l + 2 ----- |
s n + l ( 1 |
~ Ь е |
1 ) “ Ь е |
1 S n ] ^ |
— х п+2 (Г — 1 -f- %е |
^) -f- xn+i (т —■тб |
^ — Те ^) — |
|||
— [•*«+! ( Т — -t + xe~r/z) + х п (х — хе~Т!х — Т e~~Th)\.
(3-103)
Разностные уравнения, описывающие импульсную не линейную систему рис. 3-31, запишутся:
5?г+2— Sn+1(1 + <? |
|
1) е |
Г/ sn—■ |
|
||
= х п(г — хе~т/г — Тe~~T,z) -(- xn+i (Т — х-\-те~Т1У, |
||||||
|
|
|
|
|
|
(3-104) |
х п+1 — 1, |
если |
1 |
— sn+1> 0 ; |
\ |
|
|
х п+1= 0, |
если |
1 |
— sn+1 = |
0; |
/ |
(3-105) |
х п+1 — — 1, |
если |
1 — sn+1 < |
0. |
J |
|
|
Рис. 3-32. Фазовая траекто рия импульсной системы
сидеальным реле.
г)
Разностное уравнение (3-104) легко находят прямо, напри мер, с помощью метода z-npe- образования. Для нулевых начальных условий s0=0, si = 0 траектория I системы при еди ничном входном воздействии
показана |
на |
рис. |
3-32 (Т— |
= 1 сек; |
т=1 |
сек). |
Система |
стремится к предельному цик лу с периодом в 6 сек. На этом же рисунке указана так же вторая траектория II So = = 0,6, s = 0,6).
НЕЛИНЕЙНАЯ ИМПУЛЬСНАЯ СИ
ПРИ СИНУСОИДАЛЬНОМ ВХОДНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Вернемся к системе, изображенной на рис. 3-25, и подадим на ее вход синусоидальный сигнал, период которого равен 4 сек. Уравнение системы в этом случае
126
будет иметь вид:
S n - f - 2 |
S 7 1 — X n - j- i - |
(3-106) |
При этом нужно добавить:
( |
2, |
если |
е„+1 — sn+1 > 0 ; |
'j |
(3-107) |
|
•^n+i — j |
0, |
если |
en+l~ s„+1 = |
0; |
> |
|
[ —2, |
если en+l — sn+] < |
0. |
J |
|
||
Входной сигнал e представляет дискретную последо вательность величин 0,1,0— 1,0,1,0— 1,0 ... Последова тельный расчет, выполненный с учетом нулевых началь-
+7 <£/7
Рис. 3-33. Фазовая траектория импульсной системы с синусоидаль ным входным сигналом.
ных условий (рис. 3-33), показывает, что устанавливает ся цикл с периодом, равным 8 сек. Изменения выходного сигнала системы изображены на рис. 3-34.
г e(s>/ и |
|
|
|
— |
• Л |
/--w |
Ш |
\ |
Г |
||
о |
|
1 |
|
|
|
| |
|
\ ) |
|||
7 |
к у \ |
|
|
Lк |
|
' |
|
\,' |
Ш) |
||
|
|
1 |
.- |
|
t |
||||||
-7 |
“ |
|
Г |
|
|
/ |
|||||
- 2 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис. 3-34. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3-5. |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ |
||
Графический метод дискретной фазовой плоскости позволяет ре шать линейные и нелинейные разностные уравнения. Однако он при меняется главным образом для исследования нелинейных импульс ных систем, так как для исследования линейных систем пригодны другие, более простые методы.
Исследование рекуррентных последовательностей численным ме тодом хотя и трудоемко, но позволяет получить и общее и простое решение поставленной задачи. При этом определяются предельные
127
циклы колебаний, если таковые существуют, независимо от типа не линейности и вида входного сигнала.
Подчеркнем, что в общем случае в нелинейной импульсной си стеме период предельного цикла и реакция системы на входной сиг нал зависят от выбора начальных условий.
Следует отметить, что только когда период входного сигнала системы равняется целому числу периодов квантования Г, в системе может устанавливаться предельный цикл (теорема Шеннона должна всегда удовлетворяться: Т'>2Т).
Глава четвертая
М Е Т О Д Г А Р М О Н И Ч Е С К О Г О Б А Л А Н С А
Метод гармонического баланса для нелинейных ди скретных систем является обобщением результатов, по лученных при исследовании нелинейных непрерывных си стем. Действительно, для систем, включающих элементы с низкочастотными характеристиками, при синусоидаль ном входном сигнале можно считать, что выходной сиг нал системы будет квазисинусоидальным.
4-1. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ МЕТОДА ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Метод, гармонического баланса для нелинейных не прерывных систем был получен почти одновременно в 50-х годах несколькими исследователями: Ж. Дутилем [Л. 4-1] и С. Екари [Л. 4-2] во Франции, Л. Гольдфарбом [Л. 4-3] в СССР, Р. Кохенбургерцм [Л. 4-4] в СШ А1.
Этот метод исследования базируется на двух гипо тезах:
непрерывная система содержит лишь один нелиней ный элемент2;
входной сигнал нелинейного элемента предполагается синусоидальным; его выходной сигнал — периодическая функция, которую можно описать с помощью ряда Фурье, высшие гармоники которого предполагаются ни чтожными.
Эта гипотеза в большинстве случаев выполняется автоматически благодаря тому, что амплитуды гармоник
1 Метод гармонического |
баланса основан на классических рабо |
тах Н. М. Крылова и Н. Н. |
Боголюбова '[Л. 4-8] (Прим, перев.). |
2 Этот метод обобщен |
и на случай нескольких нелинейностей |
(см. [Л. 4-9—4-11]). |
|
128
малы по сравнению с амплитудой основной гармониче ской составляющей, и тому, что системы автоматическо го регулирования являются фильтрами нижних частот.
Входному |
синусоидальному |
сигналу |
<? = <?0sincd = x |
|||||
нелинейного |
элемента соответствует несинусоидальный |
|||||||
выходной |
сигнал |
s(t). Обозначим |
через |
W(t) = |
||||
= Wi sin (ю'^-Ьгр) |
эквивалентный |
s(t) |
синусоидальный |
|||||
сигнал. Эквивалентная передаточная функция N опреде |
||||||||
ляется |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (со, х,) = |
|
eh, |
|
(4-1) |
|
где ее модуль —- В (со, |
Xi) = Wi/xi, |
а ее фаза ср(х, |
и). |
|||||
Если, кроме того, характеристика нелинейного эле |
||||||||
мента |
не зависит |
от |
частоты |
(пороговый элемент, эле |
||||
мент с насыщением, гистерезисом и др.), то эквивалент ная передаточная функция не зависит от со и называется амплитудной передаточной функцией, или эквивалент ным комплексным коэффициентом усиления.
Введем обозначение |
|
с <*•>= - т и к г |
<4-2) |
модуль этого выражения будет 1 /В (Xi), а фаза л—<p(*i). Для разомкнутых непрерывных нелинейных систем
передаточная функция будет:
Ai£j- = N(sl)G(p)t |
(4-3) |
|
а для замкнутых |
|
|
■S ( р ) _ |
N (et) G (Р) |
. . . . |
Е( р) |
1 + N ( , l) G ( p ) ' |
К ' |
Фиксированному значению амплитуды ei соответству ет действительная или комплексная величина эквива лентного коэффициента усиления N(el). Система устой
чива, если |
кривая N(zi)G(p) при изменении частоты |
в сторону |
увеличения проходит справа от точки — 1, и |
неустойчива, если N(ei)G(p) проходит слева отточки— 1. Согласно сказанному выше при рассмотрении точки критической кривой — l/N(zi) критерий может быть сформулирован так: в системе устанавливаются устойчи вые колебания с амплитудой е, если точка пересечения
— 1/N (щ) с передаточной функцией G (/со) |
будет лежать |
9—352 |
129 |
левее точек G(jto), соответствующих увеличивающимся значениям (о (аналогично колебания в системе будут неустойчивыми, если точка ei лежит правее). Говорят также, что система является чисто колебательной, если годограф частотной характеристики пересекает критиче скую кривую в точке ei на частоте юо, 0(/<у). Автоколе бания имеют частоту (п0 и амплитуду ei. Если нелиней ная характеристика является функцией частоты, то сле дует провести семейство критических кривых при по стоянной to и ei переменной.
Напомним, что автоколебания могут быть устойчивы ми или неустойчивыми при возмущениях, сообщаемых to или е. Если состояние равновесия устойчиво, амплитуда колебания стремится вернуться к своему первоначально му значению при исчезновении возмущения. В против ном случае состояние равновесия считается неустойчи вым (если в таких же условиях амплитуда колебания либо увеличивается, либо уменьшается при том же ха рактере действия возмущения).
4-2. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА НА НЕЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим нелинейную систему, структурная схема которой изображена на рис. 4-1.
С. К. Шоу [Л. 4-5] и Е. А. Рассел [Л. 4-6] обобщили метод гармонического баланса на случай импульсных релейных систем. В своих работах они рассматривают реле, импульсный элемент и фиксатор нулевого поряд-
Рис. 4-1. Импульсная нелиней ная система.
ка как одно нелинейное звено. В этом случае при сину соидальном входном сигнале е(/), период которого равен целому числу периодов Т, выходной сигнал нелинейного элемента является периодически повторяющимися пря моугольными импульсами (фиксатор нулевого порядка).
Классический метод гармонического баланса для не прерывных систем в этом случае применим непосредст-
130