книги из ГПНТБ / Видаль П. Нелинейные импульсные системы

где а (п)— коэффициент, изменяющийся с периодом N:

a(n)=a(i + N)-, i = О, . . N—1.

Чтобы решить это уравнение, Джури и Муллин [Л. 2-17] предложили рассмотреть разностное уравнение с постоянными коэффициентами и искать решение для n=kN, fe = 0, 1, 2 ... Это приводит к рассмотрению кван­

с постоянными коэффициентами (2-122) и рассмотрим период N, т. е. используем:

(2-123)

91

Обратное ^-преобразование этого уравнения позволя­ ет получить XkN, и итерация, получаемая с помощью уравнения (2-122), дает x[(k+ 1)TV].

Z [ У { k N ) ] = y ( 0 ) + y ( 4 ) z - * + . . . = \ + г - 4 + г - 8+ . . . = i T ^ r r ;

Z [ y ( k N + l)J = //(l) + l / ( 5 ) 2 - s - f

y(kN+2)=y(kN)

y(kN + 3) = y(kX+\).

,13

х (4fc + 3) = -gg-[ 1 — (0,5)4» Ч+ 1,25. (2-128)

Решение уравнения (2-120) в этом частном случае представлено на рис. 2- 11.

92

в) I^-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Ж. Чаунер (Л. 2-18] обозначает комплексный опера­ тор £ как

^-преобразование позволяет получить многие теоре­ мы, аналогичные теоремам для ^-преобразования, так как 2= £ + 1.

З а м е ч а н и е . Метод z-свертки, теоретически применимый ко всем разностным уравнениям, в действительности ограничен исследо­ ванием нелинейных разностных уравнений первого и второго по­ рядка.

Этот метод приближенный как по своей сути, так и из-за того, что рассматриваются только нелинейные звенья с гладкими харак­ теристиками. Очевидно, что в зависимости от типа нелинейности сте­ пень приближения будет более или менее грубой. Отметим, что этот метод особо применим для исследования замкнутых импульсных си­ стем, содержащих нелинейность типа насыщения. Во всех случаях анализ устойчивости систем основан на рассмотрении линеаризован­ ной системы. Метод в зависимости от выбранной степени приближе­ ния характеризуется значительными расчетными трудностями, позво­ ляет получить реакцию системы в различные моменты квантования (и с помощью некоторых модификаций в промежутках между мо­ ментами квантования). Расчеты довольно трудоемки, часто требуют применения вычислительной машины, и поэтому практический инте­ рес к методу ограничен, хотя с его помощью и может быть рас­ смотрено решение методом последовательных приближений нели­ нейных рекуррентных соотношений.

93

Глава третья

М Е Т О Д Д И С К Р Е Т Н О Й Ф А З О В О Й П Л О С К О С Т И

3-1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим дискретную систему, поведение которой описано двумя нелинейными конечно-разностными урав­ нениями. Возможно обобщить понятие изображающей точки, применяемое для непрерывных систем, рассма­ тривая эквивалент фазовой плоскости, у которой по осям координат откладываются значения в дискретные момен­ ты времени.

Ниже описан общий геометрический подход, обоб­ щенный на дискретные системы, описываемые т-разно- стными уравнениями. В этом случае необходимо перейти к гиперпространству переменных. Вот почему всегда стремятся проводить исследования в дискретной фазовой плоскости с понижением порядка системы.

Рассмотрим два разностных уравнения

(3-1)

Считаем хп и Уп координатами точки дискретной фа­ зовой плоскости. Движение этой точки происходит по не­ которой линии, названной фазовой траекторией, которая определена только в определенных точках. Предположим, что в каждой точке хп, уп плоскости проходит одна един­ ственная траектория (это условие с точки зрения его при­ менимости к физическим системам не ограничивает ме­ тода) i.

Особыми или критическими точками системы называ­ ют точки хп, уп, которые одновременно удовлетворяют условиям

Р (хп, уп) — 0, ^

(3-2)

Q(-^m Уп)==::®' /

Особая точка соответствует положению равновесия системы. Фазовые траектории позволяют непосредственно определить совокупность движений, которые могут про­ изойти в данной динамической системе.

1 Эти рассуждения справедливы лишь при описании дискретной системы в терминах дифференциальных уравнений {Прим. ред.).

94

3-2. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИИ ОСОБЫХ ТОЧЕК НА СЛУЧАИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ

Линейная система в отличие от нелинейной системы имеет только одну особую точку, и преобразованием координат всегда возможно привести эту точку к началу координат.

За исключением некоторых случаев, особые точки системы двух разностных уравнений принадлежат к од­ ному из четырех основных типов: узел, седло, фокус и вершина. Изучение фазовых траекторий нелинейных си­ стем вблизи особых точек (Приводит к изучению одного из четырех вышеназванных случаев. Фазовые траекто­ рии нелинейной системы тем более идентичны типовым фазовым траекториям, чем ближе изображающая точка дискретной фазовой плоскости приближается к особой точке.

Если начало координат совмещено с особой точкой, то уравнения (3-1) запишутся так:

Благодаря работам А. Ляпунова и Пуанкаре |Л. 3-2], обобщенным на разностные уравнения В. Ханом [Л. 3-3], Адамаром [Л. 3-4] и С. Латтом [Л. 3-5]1 может быть ис­ следована устойчивость положения равновесия этой не­ линейной системы по «линеаризованной» системе, кото­

в отклонениях вблизи точки равновесия. Эти уравнения позволяют судить о локальной устойчивости (или устой­ чивости положения равновесия).

1 См. также (Л. 3-16] {Прим. ред.).

95

Далее мы уточним это положение. Однако это поло­ жение не может быть использовано в двух случаях:

ай — Ьс=- 0:

(3-5)

a d -b c'y - 0 и d-\-a=- 0.

а) ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим нелинейную импульсную систему второго порядка, описываемую двумя разностными уравнениями первого порядка (3-4). Всегда возможно привести эту систему уравнений к следующей канонической матрич­ ной форме:

ХК+1=ЛХ„. (3-7)

Квадратная матрица А с действительными коэффи­ циентами имеет характеристическое уравнение

Мы исключим из рассмотрения случай нулевых кор­ ней ti и T2, т. е. ad=bc; соответствующие критические точки называют особыми точками первого порядка или же элементарными точками.

Нужно рассмотреть три случая в зависимости от ве­ личины корней ti и т2 уравнения (3-8):

а) если уравнение (3-8) имеет два различных дей­ ствительных корня х\ и Т2, то систему (3-6) можно при­ вести к виду

б) если уравнение (3-8) имеет два комплексно со­ пряженных корня а + /р и а—/р, то после соответствую­ щей замены переменных система уравнений запишется:

96

или, если полагать

в) если уравнение (3-8) имеет два одинаковых кор­ ня, матрица А может быть представлена в жордановой форме и система уравнений запишется как

Метод заключается в том, что импульсной системе ставится в соответствие непрерывная система, имеющая по меньшей мере одну и ту же фазовую траекторию, проходящую через точки ип, Vn и ип+1, vn+i — точки, определяющие состояние дискретной системы в момен­ ты пТ и (п.+ 1)7\

З а м е ч а н и я . Характеристическое уравнение получают также, исключая в системе уравнений (3-4) одну из переменных, напри­ мер у.

Тогда получаем:

хп+2— (a+ d )x„+ 1+ (ad—bc)xn= 0.

Фазовые траектории дискретных систем изображаются непре­ рывной линией. Такое изображение имеет чисто формальное значе­ ние, так как, строго говоря, известны лишь те точки дискретной фазовой траектории, которые соответствуют моментам квантования.

б) РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ОСОБЫХ ТОЧЕК

Немногие исследователи посвятили свои усилия обоб­ щению понятий фазовой плоскости на дискретные си­ стемы и особенно на составление фазовых портретов особых точек как функций относительного расположения и величины характеристического уравнения.

Ж. Ришале [Л. 3-6] и С. Мира [Л. 3-7] в своих рабо­ тах частично решили эту задачу и рассмотрели различ­ ные виды наиболее важных особых точек. Однако иссле­ дование, основанное на связи непрерывной системы с любой импульсной системой, при помощи матричного описания позволило Ж- Пови и Лорану [Л. 3-8] провести

1. Корни п и т2 различны и действительны

Корни Ti и Тг характеристического уравнения предпо­ лагаются различными. Можно выделить следующие случаи:

К о р н и Т1 ИТ2— о б а п о л о ж и т е л ь н ы Поставим в соответствие дискретной системе следую­

щую непрерывную систему:

и'п =

Решение уравнения (3-15) с учетом условий (3-16)

Объединяя эту систему уравнений с системой (3-9), получаем:

Если корни ti и Тг характеристического уравнения оба меньше единицы, то точка равновесия хп = уп = О устойчива. Соответствующая особая точка называется устойчивым узлом типа 1 (рис. 3-1, кривая а). Цифрами обозначены точки фазовой плоскости, соответствующие дискретным моментам времени.

98

Если корпи ti и Х2‘ оба больше единицы, то особая точка неустойчива (рис. 3-1, кривая Ь) , неустойчивый узел типа 1.

Пример 3-1. Рассмотрим систему уравнений

xn+l = 2xn — 0,4уп\ 1

Уп+ 1 = 4Уп. I

Характеристическое уравнение запишется как

т2—6т + 8= 0,

и его корни будут ti = 2 и т2= 4.

Тогда систему можно представить в виде

"n-t-1 ) v„+I = 4vn. I

Поставим в соответствие дискретной системе такую непрерыв­ ную систему:

du' dt