книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

эффект нестационарное™ оценивается с помощью функций Теодорсена. В обоих случаях нестационарные аэродинамические характеристики вычисляются с помощью произведения квазиустановившихся характеристик на соответствующую функцию.

Особо важное значение в задачах аэроупругости имеет во­ прос о влиянии воздушного порыва. При применении гипотезы стационарности делается предположение о мгновенном охвате крыла порывом. Здесь местные углы атаки, обусловленные по­ рывом, независимо от его профиля во всех точках крыла счи­ таются одинаковыми, т. е. не учитывается неравномерность рас­ пределения порыва по хорде крыла. В ряде случаев такое допу­ щение является необоснованным. Так, при входе крыла в поррт реальная картина зависимости аэродинамических коэффициен­ тов от времени может значительно отличаться от полученной по гипотезе стационарности. При гармоническом порыве влияние нестационарное™ будет еще более существенным. Учет неста­ ционарное™ обтекания профиля при действии порыва чаете проврдят путем введения функций Сирса и Кюсснера.

Применение отмеченных выше методов в определении неста­ ционарных аэродинамических характеристик крыла конечного размаха вносит определенные погрешности в результаты расче­ тов. Более точное решение может быть получено при использо­ вании нестационарных теорий крыла конечного размаха. В на­ стоящее время методы расчета по этим теориям разработаны достаточно полно как для дозвуковых (см., например, [2, 22, 26, 50]), так и для сверхзвуковых (см., например, [2, 23, 49]) тече­ ний. В большинстве случаев эти методы доведены до практиче­ ского применения на цифровых вычислительных машинах.

В' заключение следует сказать, что сколь-либо подробное рассмотрение существующих методов расчета аэродинамиче­ ских характеристик упругого самолета в объеме данной работы не представляется возможным, поэтому ниже будет уделено вни­ мание лишь основным методам, находящим применение в прак­ тических расчетах.

занной с телом. В этом случае проекции Y, X и Мг, выраженные через проекции полусвязанной системы, примут вид

X x=Xcosa —У sin a, Yx= У cos а + Х sin а, МгХ=Мг, (2.1)

где а — угол атаки.

40

Проекции вектора скорости v0 на связанные оси координат будут

MZ1 = M„

В дальнейшем будет рассматриваться в основном короткоперио­ дическое движение самолета [28], т. е. движение, при котором сумма проекций сил на поточную ось равна нулю. Имея также в виду, что исследование характеристик будет происходить в линейной зоне, членом АД за малостью можно пренебречь и выражения (2.3) переписать в виде

С точки зрения проведения расчетов их целесообразно выразить через соответствующие аэродинамические коэффициенты су и тг, зависимость которых от указанных величин более слабая. Эти коэффициенты имеют вид

41

(крылом — к и стабилизатором — с). Вводя понятие безразмер­ ной функции давления в точке х, z поверхности в виде

Х Р = АР- ( х ’г )— ,

Я

где АР(х, z) —'разность давлений между нижней и верхней сто­ ронами поверхности в точках с координатами х, z, выражения для аэродинамических коэффициентов подъемной силы и про­ дольного момента этой поверхности можно написать следующим образом:

где х — расстояние от точки х, z до оси Oz\ х>0, если ось Ог впереди. При схематизации самолета системой перекрестных ба­ лок выражения (2.7) для аэродинамических коэффициентов самолета преобразуются в следующий вид:

где /, b — соответственно размах и хорда поверхности. Коэффициенты сечений с’ и m'z имеют вид

(2.9)

X3(z)

с— ----— ^ AP(x, z) Axdx,

42

.y„(z), a':!(z) — соответственно координаты передней и задней кромок поверхности;

.г* — расстояние от ЦТ самолета до точки пересече­ ния оси жесткости с осью Ох; х*>0, если ЦТ впереди;

1 — угол стреловидности оси жесткости поверх­ ности.

Для самолета с несущими поверхностями малого удлинения, если допустить отсутствие деформации поверхности вдоль ее

где х**— расстояние между точкой пересечения оси жесткости

ссечением г и осью Ог; х**>0, если ось Oz впереди.

Втом случае, если наблюдается заметная деформация по­ верхности вдоль хорды, также можно пользоваться формулами

(2: 8) при условии вычисления от/ в виде

Д3(г)

V*}

Выражениями от/ через ст' пользоваться нельзя, так как дефор­ мации вдоль хорды снимают понятие единственности центра жесткости сечения, и коэффициент ст' здесь теряет смысл. В об­ щем случае при исследовании аэродинамических характеристик самолета с учетом корпуса в выражения (2.8) нужно добавить коэффициенты, обусловленные наличием корпуса и интерферен­ цией между корпусом и несущими поверхностями.

В связи с тем, что дальнейшее изложение будет относиться в основном к определению аэродинамических характеристик не­

43

начало связанной системы осей координат Oxyz* помещают на середине или в носке корневой хорды b0 крыла. Крыло симмет­ ричной формы в плане с постоянной стреловидностью по перед­ ней (хо) й задней (%i) кромкам и параллельными боковыми кромками часто называют трапециевидным крылом. Такое крыло с точностью до масштаба может быть охарактеризовано тремя параметрами: Л., г) и хо, где I — удлинение крыла, а ц — сужение крыла.

Эти параметры записываются в виде

•Ъ *конц

За характерную площадь в этом случае принимают полную пло­ щадь крыла

Текущая хорда крыла в сечении 2 здесь имеет вид

При исследовании воздействий на крыло аэродинамических сил и моментов важное значение имеют понятия центра давления и фокуса крыла. Выражения для этих геометрических характе­ ристик соответственно имеют вид

ской хорды (САХ) Ьа крыла.

X f _

л:

Д

Ьа

Для трапециевидного крыла приближенные выражения САХ и ее безразмерной координаты za могут быть записаны в следую­ щем виде:

* Здесь и далее индекс «1» условно опущен.

44

При плоском крыле выражения (2. 15) для .гд и ху тожде­ ственны, так как коэффициент mz0 пластинки равен нулю. Фокус здесь является точкой приложения подъемной силы крыла. В об­

У современных профилей при дозвуковых скоростях полета фокус расположен примерно на 22—25% хорды от ее носка; при сверхзвуковых скоростях— приблизительно на 50% хорды.

Остановимся теперь на особенностях определения аэроди­ намических коэффициентов несущей поверхности. Прежде всего отметим зависимость этих коэффициентов от критериев подобия по сжимаемости (число Маха) и периодичности (число Струхаля).

Эти критерии имеют вид

где М — число Маха; р* — число Струхаля; а — скорость звука;

■' со — круговая частота колебаний;

b — характерный линейный размер, равный Ь0 или Ьа.

Часто вместо Ь в (2. 17) используют — .В этом случае число

Струхаля обозначает буквой k [5, 50]. Исследование аэродинами­ ческих коэффициентов обычно проводят в отличных по методам

того, исследование коэффициентов проводят в двух характерных

торой часто служит основой для определения аэродинамических коэффициентов в сжимаемой среде. Можно наметить сле­ дующие задачи исследования этих коэффициентов: о движении жесткого крыла; о воздействии на крыло порыва воздуха произвольной формы; о деформациях крыла в общем виде, вклю­ чая и механизированное крыло; о взаимовлияниях несущих по­ верхностей, и в основном о влиянии крыла на скос потока у опе­ рения.

В общем случае решение отмеченных задач проводится в условиях неустановившегося движения для широкого изменения

45

чисел Струхаля и Маха. Аэродинамические коэффициенты, папример, при колебаниях жесткого крыла в этом случае записы­ ваются согласно [2] в виде

су(М, р*) = сау {М, р*)а-|-с® (М, р*)а — с“г (М, /A)«z -f-

смещения Н и повороты на угол тангажа — А относительно оси

Ьо

Остановимся теперь на общих положениях теоретических ме­ тодов решения задач о тонком крыле.

1. Граничные условия

Рассмотрим тонкую несущую поверхность, перемещающуюся в идеальной среде без скольжения со средней поступательной скоростью и0 (рис. 2.3). Скорость.v0 может быть как дозвуко­ вой, так и сверхзвуковой. Движение будем считать безвихревым. Задача решается в линейной постановке. На основное движение крыла налагаются малые добавочные неустановившиеся возму­ щения, обусловленные смещениями недеформированного крыла, его деформациями или действием порыва воздуха. Как известно, потенциал абсолютных возмущенных ускорений ty{x,y,z,t) удов­ летворяет волновому уравнению, которое в подвижных осях ко­ ординат, связанных с крылом, согласно [21] имеет вид

46

Имея в виду связь потенциала ускорений с потенциалом скоростеп ф(д', у, z, t)

которая называется спутной струей, или вихревой пеленой. Вих-

Рис. 2.3. Обобщенная форма сверхзвукового крыла:

/ — з о н а в л и я н и я т о ч к и М в в е р х п о т е ­ ч е н и ю ; 2— з о н а в л и я н и я т о ч к и М в н и з п о т е ч е н и ю ; 3— г р а н и ц а в и х р е в о й п е ­ л е н ы ; 4— с в е р х з в у к о в а я п е р е д н я я к р о м ­ к а ; 5 —- д о з в у к о в а я п е р е д н я я к р о м к а ; 6— в о л н а в о з м у щ е н и я ; 7— с в е р х з в у к о в а я з а д н я я к р о м к а ; 8— д о з в у к о в а я з а д н я я

к р о м к а

ревая пелена простирается от задней кромки крыла до бесконеч­ ности.

Установим граничные условия, которым удовлетворяет по­ тенциал ф. Для этого граничные условия на поверхности крыла н вихревой пелене перенесем параллельно оси Оу соответственно на проекции 2 и 2! в плоскости xOz (см. рис. 2.3). Такое дейст­ вие равносильно отбрасыванию величин второго порядка мало­ сти. В этом случае условие плавного обтекания на крыле, а точ­ нее на поверхности 2, будет иметь вид

47

Оно должно выполняться как на верхней, так и на нижней сто­ ронах 2.

На вихревой пелене, точнее на ее горизонтальной проекции I, должно выполняться динамическое условие непрерывности дав­ ления при переходе через пелену, или должно соблюдаться тре­ бование о равенстве возмущенных давлений па нижней у = —О и верхней //= +0 сторонах 2 t. Это условие имеет вид

Так как функция ф является нечетной относительно коорди­ наты у, то (2. 26) можно переписать в виде

Для получения единственности решения задачи при дозвуко­ вом обтекании требуется также выполнение гипотезы Чаплы­ гина— Жуковского о конечности скоростей, или равенстве нулю интенсивности присоединенного вихревого слоя на задних острых кромках. По •'теореме Жуковского «в малом» [2, 4] это соответст­ вует нулевому перепаду давлений на задних кромках.

Кроме того, на бесконечно большом расстоянии от крыла и вихревой пелены возмущенные скорости должны равняться нулю, т. е.

При движении крыла со сверхзвуковой скоростью среда воз­ мущена только в области, ограниченной соответствующей по­ верхностью, огибающей характеристические конусы Маха с полу-

1

углом p= arcsm — с вершинами в точках контура крыла (см.

рис. 2.3). Вне этой поверхности среда покоится, и, следовательно, потенциал скоростей равен нулю. Отсюда имеем граничные усло­ вия на волне возмущения в следующем виде:

Так как потенциал ф всюду вне плоскостей 2 и 2, является не­ прерывной и нечетной относительно координаты у функцией, то в области, возмущенной крылом, вне крыла и вихревой пелены на 2г и 2г' должны выполняться условия вида

48

В первом случае вихревая пелена оказывает влияние на поток, обтекающий крыло, и поэтому для единственности решения здесь так же. как и при дозвуковом потоке, необходимо выпол­ нение гипотезы Чаплыгина — Жуковского.

Во втором случае условие плавного схода потока не приме­ няется, так как вихревая пелена не захватывает поверхность крыла. Следует отметить, что при сверхзвуковых передних кром­ ках расчет существенно упрощается, так как возмущения, вызы­ ваемые точкой крыла, действуют на одну и ту же сторону по­ верхности. Здесь верхнюю часть пространства можно рассматри­ вать.независимо от нижней.

Таким образом, задача о крыле как в дозвуковом, так и сверхзвуковом потоках сводится к отысканию функции ф ( х , у, 2, t), удовлетворяющей уравнению (2.23) и определенным гра­

а разность давлений в точках х, z крыла, отнесенная к скорост­ ному напору, будет иметь соответственно вид

(2.32)

Аэродинамические коэффициенты в этом случае могут быть по­ лучены по формулам (2.7) или (2.9).

Заменяя крыло и вихревой след системой косых нестацио­ нарных вихрей, источников или диполей и составляя выражения для потенциалов скоростей, удовлетворяющих приведенным выше условиям, в конечном счете приходим от интегро-диффе- ренциальных уравнений к алгебраическим уравнениям. Решая последние, находим распределение давления по поверхности крыла, а следовательно, и аэродинамические коэффициенты.

Ниже более подробно будут рассмотрены выражения для по­ тенциалов скоростей, индуцируемых отмеченными системами.

Рассмотрим теперь некоторые способы, с помощью которых в ряде случаев задача о крыле сводится к более простей. В част-

49