книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

Для определения форм и частот незакрепленной конструкции с помощью коэффициентов влияния необходимо провести неко­ торые дополнительные рассуждения. Дело в том, что физический смысл коэффициентов влияния применительно к свободной си­ стеме не является непосредственно очевидным, так как .прило­ женная к ней сила приведет систему в движение. Однако задача в этом случае может быть сведена к эквивалентной задаче ста­ тики при помощи принципа Д ’Аламбера. Таким образом, коэф­ фициенты влияния можно вычислить, считая, что вместо реакций опор на систему действуют силы инерции поступательного и вра­ щательного движений. Для незакрепленной системы, кроме форм упругих колебаний, возможны формы, соответствующие движению системы как твердого тела. Нс так как формы собст­ венных колебаний, соответствующие упругим деформациям си­ стемы, в этом случае характеризуются прогибами относительно главных осей инерции, то при вычислении коэффициентов влия­ ния, формы, соответствующие движению системы как твердого тела, можно опустить и отсчитывать прогибы относительно глав­ ных осей инерции. Таким образом, располагая начало неподвиж­ ной системы осей координат, совпадающей с главными осями инерции, в центре тяжести колеблющейся системы и составляя уравнения равновесия сил и моментов, получим выражения для коэффициентов влияния незакрепленной системы в следующем виде:

зывающее коэффициенты влияния жесткости закрепленной и сво­

бодной систем. Матрицы коэффициентов влияния гибкости (б*;) и жесткости (кц) особенные. Их определители равны нулю. Со­ отношение вида (1. 14) для этих матриц не выполняется, т. е.

30

На основании изложенного, можно сделать вывод о том, что формы и частоты собственных колебаний свободной системы мо­ гут быть также получены по уравнениям (1.72), но при иных компонентах матрицы А, отличных от варианта при консольной заделке.

О п р е д е л е н и е д и н а м и ч е с к и х д е ф о р м а ц и й по м е т о д у с о с р е д о т о ч е н н ы х масс. Как было отмечено выше, решение задачи по методу сосредоточенных масс не тре* бует предварительного определения форм и частот свободных колебаний конструкции, а получается непосредственным интег­ рированием уравнений движения системы. Можно наметить два пути составления уравнений движения. Первый путь, получив­ ший название метода сил, предполагает разрешение уравнений относительно деформаций (прогибов) конструкции. Основные положения этого метода были проиллюстрированы в предыду­ щих разделах при определении форм собственных колебаний конструкции. Второй путь, получивший название метода дефор­ маций, предполагает разрешение уравнений' относительно сил, действующих на конструкцию. Не останавливаясь подробно на сравнении этих методов, заметим лишь, что применение метода сил не позволяет получить систему дифференциальных уравне­ ний, которую можно было бы проинтегрировать численно без предварительного определения форм и частот собственных коле­ баний конструкции. Матрица коэффициентов уравнений полу­ чается вырожденной. Поэтому при составлении дифференциаль­ ных уравнений для численного интегрирования без использования форм собственных колебаний пользуются методом дефор­ маций с привлечением коэффициентов влияния жесткости в соот­ ветствии с (1.9). В общем случае уравнения движения могут быть записаны в проекциях на инерциальную систему осей коор­ динат, связанную систему или на систему главных центральных осей инерции деформированной конструкции. В последнем слу­ чае, так же как и при расчетах уравнений движения методом сил, движение может быть разделено на колебательное движение относительно главных осей инерции и движение как твердого тела.

Рассмотрим колебания свободной конструкции, схематизиро­ ванной п сосредоточенными массами и имеющую в общем слу­ чае п упруго прикрепленных сосредоточенных грузов. Положим, что конструкция нагружена системой переменных по времени внешних сил P%{t), приложенных в г-х точках сосредоточения масс. Введем следующие системы осей координат (рис. 1.7): OgXgygZg— оси инерциальной системы, Oxyz — главные оси инер­ ции основной системы (системы без упруго прикрепленных гру­ зов) и 0\X\y\Z\ — оси связанной системы. Рассмотрим исходное равновесное состояние конструкции при отсутствии ее колеба­ ний. Уравнение движения в этом случае можно записать через

31

сумму проекции сил и моментов соответственно па главные оси инерции Оу и Oz в следующем виде:

В общем случае, при наличии колебаний системы проекции ускорений i-x масс на ось Оу при условии малости смещений главных осей инерции относительно инерциальной системы будут иметь вид

32

yi(t),ijir(t)— соответственно упругое ускорение сосредоточенной массы основной системы и массы упруго прикреп­ ленного груза относительно точки крепления.

и имея в виду малость перемещений связанной с условной задел­ кой системы 0\XiyxZ\ относительно главной системы осей инер­ ции Oxyz, после несложных математических преобразований

miTijiT(t) с помощью (1.79). В результате получим окончатель­ ные уравнения равновесия в виде

Уравнения (1.79) — (1.81) образуют систему, решение кото­ рой может быть найдено непосредственным интегрированием при некоторых начальных условиях. Связь между параметрами движения, вычисленными в главных осях инерции основной си­ стемы, и параметрами движения, вычисленными в главных осях инерции всей конструкции (основная система+упруго прикреп­

где y(t) и 0 (0 — соответственно линейное и угловое ускорения в проекциях на главные оси инерции всей кон­ струкции;

Зависимости между скоростями и соответствующими переме­ щениями в рассматриваемых осях координат можно найти после интегрирования выражений (1.82). Приведенные выше уравне­ ния получены при условии малости перемещений главных осей

34

инерции относительно инерциальной системы [см. (1.76)]. При снятии этого ограничения решение задачи о перемещениях кон­ струкции как твердого тела с учетом упругих линейных дефор­ маций может быть проведено в нелинейной области.

3. Демпфирование упругих колебаний

Рассмотренные выше деформации определялись без учета рассеяния энергии при колебаниях. На самом деле в реальных условиях некоторая часть энергии затрачивается на преодоление сопротивления внешней среды ’(аэродинамическое демпфирова­ ние) и на преодоление внутреннего сопротивления конструкции (конструкционное демпфирование). Учет этих факторов в рас­ четах приводит к затуханию колебаний, ограничению амплитуд резонансных пиков и к сдвигу фаз между внешними силами и вызванными ими перемещениями.

Роль внешнего сопротивления велика и методы его опреде­ ления будут подробно рассмотрены во второй главе.

Внутреннее сопротивление для самолетов обычных конструк­ ций, как правило, незначительно, если в расчетах учитываются только низшие тона упругих колебаний. Однако в расчетах выс­ ших тонов его роль может оказаться ощутимой и в этом случае внутреннее сопротивление целесообразно учитывать.

Механизм внутреннего сопротивления к настоящему времени изучен недостаточно и его учет часто проводится приближен­ ными способами. При экспериментальной оценке внутреннего сопротивления обычно вводится так называемый логарифмиче­ ский декремент затухания

! У )+1

где г/j, yJ+i — соответственно амплитуды предыдущего и после­ дующего колебаний.

Величина б зависит от амплитуды колебаний напряжений и обычно находится в пределах 0,05—0,15. В практических расче­ тах часто пренебрегают зависимостью б от амплитуды колеба­ ний и учет внутреннего сопротивления осуществляют введением в уравнения движения дополнительных обобщенных сил по каж­ дому тону колебания согласно [7, 29] в следующем виде:

4.Формы и частоты собственных колебаний конструкции

Всвязи с широким использованием метода форм на практике кратко остановимся на основных положениях, связанных с вы­ числением форм и частот собственных колебаний конструкции. Как известно, за исключением некоторых частных случаев, нор­ мальные формы и частоты не могут быть определены точно, по-

этому для их определения был развит ряд приближенных мето­ дов расчета (см. например, [1, 5, 38]). При расчетах резонансных Лрежимов полета, когда частота вынужденных колебаний стано­ вится очень близкой к собственной частоте упругих колебаний, важное значение принимает точность расчета частот и особенно форм собственных колебаний конструкции. С этой точки зрения лучшим методом расчета, получившим широкое распространение на практике, является метод, последовательных приближений

(метод итераций). Этот метод позволяет получать формы и ча­ стоты с любой, наперед заданной, степенью точности:

Общие положения метода итераций, например, для балочной схемы сводятся к следующему. Задаются каким-либо подходя­ щим значением функции формы. От точности ее задания в зна­

дом приближении к уже известным функциям форм всех преды­ дущих тонов, включая и «нулевые» тона, если они существуют.

Расчет собственных колебаний сложной конструкции на низ­ ших частотах может быть значительно упрощен в том случае, если допустимо считать абсолютно жесткими те части самолета, собственные частоты которых намного выше рассматриваемого диапазона частот. Собственные частоты обычно определяют из условия равенства максимальных значений кинетической и по­ тенциальной энергий при колебаниях конструкции. Так для слу­ чая изгиба балки Т тах и (Утах имеют вид

о

(1- 84f

О

Сравнение энергий в (1.84) приводит к следующей формуле для определения частоты изгибных колебаний:

I

36

АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРУГОГО САМОЛЕТА

В предыдущей главе были рассмотрены деформации конст­ рукции под действием статических и динамических нагрузок, заданных либо в виде распределенных поперечных сил Р(х, z, t), либо в виде погонных поперечных сил P(z, t) и погон­ ных крутящих моментов M(z, t) . В исследованиях задач аэро­ упругости под этими нагрузками понимаются нагрузки, обуслов­ ленные взаимодействием летательного аппарата с внешней сре­ дой, в которой происходит его полет, т. е. аэродинамические нагрузки. Настоящая глава будет посвящена методам определе­ ния аэродинамических нагрузок, действующих на упругий само­ лет при его полете в условиях спокойной атмосферы и атмо­ сферной турбулентности.

Существуют два метода определения аэродинамических ха­ рактеристик: экспериментальный и теоретический. В первом слу­ чае аэродинамические коэффициенты получают по результатам продувок моделей самолетов в аэродинамических трубах. Этот метод основан на теории подобия и дает достаточно достоверные данные для жесткого самолета. Однако его применение для определения аэродинамических коэффициентов упругих и осо­ бенно упруго колеблющихся моделей в широком диапазоне из­ меняющихся параметров в настоящее время сопряжено со зна­ чительными трудностями. Поэтому наиболее целесообразным методом здесь следует считать теоретический метод.

Задача определения в общем случае неустановившихся аэро­ динамических характеристик упругого самолета в целом пред-' ставляет определенные математические трудности. Поэтому обычно в целях упрощения характеристики крыла, оперения, фю­ зеляжа и характеристики, обусловленные их взаимодействием, определяют раздельно. К настоящему времени наиболее полно разработаны методы расчета аэродинамических характеристик несущих поверхностей. Это объясняется тем, что их доля в со­ здании сил и моментов, действующих на самолет, является пре­ обладающей. Обычно исследования аэродинамических характе­ ристик проводят в линейной зоне, т. е. там где справедлив прин-

38

обычно используют так называемую теорию несущей полосы, основанную на гипотезе плоских сечений [5, 41]. Расчеты по этой теории получаются приближенными, так как для крыльев срав­ нительно небольших удлинений гипотеза плоских сечений яв­ ляется мало обоснованной. Однако эта теория находит примене­ ние на практике, так как позволяет использовать некоторые экс­ периментальные аэродинамические характеристики, полученные из продувок модели жесткого самолета при дозвуковых и сверх­ звуковых скоростях обтекания. Кроме того, применение теории несущей полосы в задачах аэроупругости является чрезвычайно простым.

Более точное решение задачи определения аэродинамических характеристик крыла в установившемся потоке дает теор_ия не­ сущей поверхности, или теория топкого крыла конечного раз­ маха [4, 5, 13, 16, 37, 50]. К настоящему времени методы расчета по теории несущей поверхности разработаны достаточно полно. Расчет по этим методам, как правило, дает удовлетворительную сходимость с результатами эксперимента. Исследование аэро­ динамических характеристик несущей поверхности в неустановившемся движении в первом приближении часто проводят на основе гипотезы стационарности с привлечением теории несущей полосы [5, 41]. Так же, как и в установившемся движении, при применении этого метода используют аэродинамические харак­ теристики из результатов трубного эксперимента. Метод чрезвы­ чайно просто вводится в задачи аэроупругости.

Однако пренебрежение зависимостью аэродинамических характеристик от нестационарное™ обтекания в ряде случаев мо­ жет привести к существенным погрешностям, так как нестацио­ нарное™ обтекания не только изменяет модуль аэродинамиче­ ского коэффициента, но и приводит к сдвигу фаз между пара­ метрами движения и силами, обусловленными изменениями этих параметров. Особенно существенно эта зависимость прояв­ ляется на больших частотах колебаний крыла.

Приближенный учет нестационарности обтекания крыла ко­ нечного размаха может быть проведен с использованием неста­ ционарных теорий профиля в несжимаемой среде [5, 23, 26]. Так, нестационарное обтекание профиля при мгновенном его смеще­ нии из положения равновесия может быть оценено функцией Вагнера, характеризующей прирост циркуляции, обусловленный этим смещением. При гармонических колебаниях профиля

39