книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

пости, остановимся на применении интеграла Дюамеля и тео­ ремы обратимости при определении аэродинамических коэффи­ циентов.

2. Применение интеграла Дюамеля к задачам о крыле

Из изложенного выше следует, что характер воздействия по­ тока на крыло для заданного числа М определяется видом гра­ ничных условий на поверхности крыла (2.24). Причем измене­ ние этих граничных условий не сказывается ни па волновом уравнении, ни на граничных условиях на бесконечности, на пелене и т. п. В связи с линейной постановкой задачи граничные условия можно представить в виде произвольно выбранных функциональных зависимостей и получить общее решение нало­ жением частных решений для каждой функции скоса. Подобный подход упрощает исследование, так как позволяет получить раз­ личные линейные комбинации из этих решений и тем самым практически изучить широкий класс задач о воздействиях по­ тока на крыло. Так ставится задача в общем виде. Однако реше­ ние может быть еще более простым, если воспользоваться интег­ ралом Дюамеля [2, 5, 41]. В этом случае достаточно получить частное решение для ступенчатого закона изменения граничных условий. После этого переход к любым законам изменения во времени, и в частности к гармоническим, осуществляется с по­ мощью простого преобразования. Для примера рассмотрим колебания крыла, граничные условия непротекания которого имеют вид (2.25). Представляя вертикальные смещения точки л:, z через безразмерную функцию f(x, z) и параметр смещения Я{т), условие (2.25) перепишем согласно [2] в следующем виде:

При произвольных во времени законах смещения точек крыла его аэродинамические коэффициенты cq(x, г, т) будут иметь вид

где сх(х, z, т) и Сг(х, z, х) — коэффициенты, соответствующие решениям при первом и втором членах в граничных условиях

50

(2.33). Используя интеграл Дюамеля, составляющие в (2.34) можно записать следующим образом:

(2. 35)

производных по этим параметрам могут быть определены с по­ мощью интеграла Дюамеля в следующем виде [2]:

Таким образом, чтобы определить коэффициенты аэродинамиче­ ских производных гармонически колеблющегося упругого крыла, граничные условия которого имеют вид (2.33), нужно применить интеграл Дюамеля дважды в соответствии с обоими членами граничного условия. В атом случае выражения (2.35) примут вид

51

Имея в виду зависимость (2.34), с учетом (2.37) получим окон­ чательные выражения для аэродинамических коэффициентов в следующем виде:

cg(x , z , p*):-=cq(x, z, p*)q + c4 (х, z, p*)q,

cq(x, z, p*) = cf(x, z, p*)-\-cl{xt Z, /;*).

В (2.37) и (2*38) c\ и cf определяются по первому уравнению

(2.36), а с? и С2 — по второму уравнению (2.36)

3. Применение теоремы обратимости к задачам о крыле

Теорема обратимости устанавливает связь между аэродина­ мическими характеристиками крыла в прямом и обращенном потоках. Она позволяет существенно упростить вычисления сум­ марных аэродинамических характеристик деформирующихся крыльев. Теорема базируется на основных линеаризированных уравнениях газовой динамики и применима как на дозвуковых так и на сверхзвуковых скоростях для общего случая неустановившегося движения. В рамках линейной теории теорема обра­ тимости и ее следствия являются точными. Не останавливаясь на

,теоретических основах теоремы, которые можно найти, напри­ мер, в [2, 4], приведем лишь способы ее применения в практи­

ческих расчетах.

Пусть для данного числа М полета требуется определить суммарные аэродинамические коэффициенты подъемной силы су(т) и продольного момента тг(т) крыла, деформации поверх­ ности которого изменяются по произвольному закону в функции времени. Рассмотрим, например, деформацию крыла, заданную функцией f(x, z), при параметре деформации, характеризующим ее масштаб, q{т ). Граничные условия на крыле при этом имеют вид (2.33). Повернем вектор скорости крыла у0 на 180° вокруг оси Оу. В общем случае, если начало координат взято не на се­ редине корневой хорды, то связь между началами координат прямого (хт+) и обратного (хт-) крыльев будет иметь вид

вой хорды, выраженное в долях корневой хорды. В соответствии с [2] для решения задачи о деформирующемся прямом крыле не­

ло

52

дающих с законами изменения параметров деформации q(x), (](т), т. е. при

Здесь «о, qo, оно, qо — не зависящие от времени амплитудные зна­ чения соответствующих параметров. После этого суммарные аэродинамические коэффициенты деформирующегося крыла, от­ несенные к амплитудным значениям параметров, вычисляются

по следующим формулам:

Г»Г*---

т^ -{ Х) =

Чо

обратного жесткого крыла.

Аэродинамические коэффициенты деформирующегося крыла в прямом потоке получаются в этом случае из очевидных выра­ жений:

При исследованиях широкого класса деформаций здесь так­ же удобно применить интеграл -Дюамеля. В этом случае все расчеты жесткого обратного крыла производят при ступенчатых

изменениях q ( х) и q(x). Затем коэффициенты, • полученные по (2.41), пересчитывают по (2.35) на интересующий закон q(x).

Таким образом, применение теоремы обратимости вместе с интегралом Дюамеля в расчетах суммарных аэродинамиче­ ских коэффициентов деформирующегося крыла позволяет суще­ ственно сократить объем вычислений, так как в этом случае при

53

новых законах f (.х, z) и q{т) нет надобности заново решшь крае­ вые задачи. Рассматривая отклонения рулевых органов крыла как частный случай деформации, можно по аналогии с изложен­ ным определить аэродинамические характеристики крыла при

s ?

Здесь интегрирование ведется только по площади правого руля. Аналогичным образом могут быть записаны коэффициенты мо­ мента.

В заключение остановимся на связях производных аэродина­ мических коэффициентов крыльев в прямом и обращенном пото­ ках. Эти связи при хт+= т т- согласно [2, 3] имеют вид

54

2 . 2 . АЭРОДИНАМИЧЕСКИ Е Х АРАКТЕРИСТИК И В УСТАНОВИВШЕМ

И КВАЗИУСТАНОВИВШЕМСЯ Д ВИЖЕНИЯХ

При установившемся движении волновое уравнение (2.23), которому удовлетворяет потенциал скоростей ср, можно записать в более простом виде

исключить время t.

1.Аэродинамические характеристики профиля

Не с ж и м а е м ы й п о т о к . Рассмотрим крыло, представлен­

ное в виде тонкой пластины бесконечного размаха, изогнутой в направлении хорды с кривизной, эквивалентной средней ли­ нии профиля (рис. 2.5). Моделируя крыло вдоль оси Ох слоем двумерных вихрей с напряженностью на единицу длины y+(£)d£, можно получить потенциал скоростей от этой системы в точке у, у, удовлетворяющей граничным условиям и волновому урав­ нению (2. 47) при отбрасывании в нем последнего члена согласно [41] в виде

Беря производную от (2. 48) по у и переходя на поверхность крыла (точнее на проекцию поверхности на плоскость xOz) при */->-0, получим интегральное уравнение для у+ в следующем виде:

где Wv(x) — скос потока в точке х, определяемый из граничного условия непротекания

(2. 50)

55

Если с помощью (2.49) и (2.50) определить у+, то по теореме Жуковского «в малом» нетрудно получить распределение давле­ ния вдоль хорды профиля в виде

Последующее интегрирование (2.51) по хорде профиля приво­ дит к выражениям для определения аэродинамических коэффи­ циентов в следующем виде:

Из выражений (2. 53) и (2. 54) следует, что для плоской пластинь) бесконечного размаха в несжимаемом потоке производная

коэффициента подъемной силы по углу атаки с*ь =2я, а ее фокус расположен на 0,25 хорды.

56

Приведенная схема моделирования отображает физическую картину обтекания крыла установившимся потоком. Если поток

ляются свободные вихри, сносимые вниз по потоку. В этом слу­ чае каждый свободный вихрь индуцирует на крыле вертикаль­ ные скорости и поэтому должен быть учтен в интегральном уравнении. Однако в том случае, если движение слабонеустановившееся, то можно ввести предположение о его квазиустановившемся характере и воспользоваться предыдущими форму­ лами.

Представляя движение профиля через вертикальное'смеще­

женно с помощью аффинного преобразования координат, назы­

так же, как и раньше, последний член этого уравнения отбрасы­ вается, так как рассматривается только двумерное течение. Здесь вместо координат физического пространства х, у сжимае­ мого газа вводятся преобразованные координаты хм, ум так, что (2.46) записывается в виде

ная плоскость, заполненная несжимаемой жидкостью. Преобра­

в фиктивной плоскости несжимаемой среды так, чтобы на исход­ ной несущей поверхности в сжимаемом потоке удовлетворялись рассматриваемые граничные условия. В этом случае можно по-

57

лучить формулы для определения аэродинамических характери­ стик профиля с учетом сжимаемости. Например, для плоского крыла в установившемся движении аэродинамические коэффи­ циенты в сжимаемом потоке, выраженные через соответствую­ щие коэффициенты в несжимаемой среде, примут вид

звуковом обтекании обычно применяют моделирование крыла слоем сверхзвуковых источников. Потенциал скоростей, индуци­ руемых таким слоем в точке х, у плоскости £Ог|, удовлетворяю­

где A (g) — интенсивность слоя источников на единицу площади. Так как в профиле передняя кромка является сверхзвуковой, то можно рассматривать его верхнюю и нижнюю поверхности раздельно. Проведя несложные математические преобразова­ ния (2.60), можно показать (см. [5]), что для верхней поверх­

ности ( у =+0) потенциал возмущения приводится к виду

Пр-ямо противоположные условия имеют место на нижней поло­ вине профиля при у = —0. Имея в виду (2.32), где следует отбро­ сить производную по времени, с помощью (2.61) получим фор­ мулу для распределения давления в следующем виде:

Так как коэффициенты подъемной силы и момента тангажа вы­

ражаются через ДР в виде (2.9), то окончательно для плоского профиля, перемещающегося в сверхзвуковом потоке, получим

58

Вторая формула и (2.63) показывает, что в сверхзвуковом по­ токе теоретическое положение фокуса профиля находится на

0,5 его хорды. Приведенные выше формулы, нетрудно обобщить и на случай скользящего крыла бесконечно­

2. Аэродинамические характеристики крыла конечного размаха

часто пользуются формулами (2.56), полученными для профиля. В этом случае вводится гипотеза плоских сечений, т. е. по суще­ ству пренебрегают аэродинамическим влиянием одного сечения на другое. Как показывает практика, использование этой гипо­ тезы в ряде случаев, особенно для крыльев больших удлинений, дает достаточно удовлетворительное приближение.

Рассмотрим стреловидное крыло большого удлинения, при­

тельно оси Oz, изгибом и кручением относительно средней ли­ нии хорд. Допустим далее, что на крыло действует вертикаль­ ный воздушный порыв с амплитудой Wb(t). Используя гипотезу плоских' сечений, применим выражения (2. 56) для определения аэродинамических коэффициентов сечения крыла. Предвари­ тельно заметим, что точность решения может быть повышена, если в (2. 56) ввести поправки на конечность размаха (см. на­ пример, [41]) или, что более желательно, применить эксперимен­ тальные значения аэродинамических коэффициентов и их произ-

59