Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

10.78 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

					Таблица 3.3
Порядок	Образование новых путей Я0Г гРаФа]
Порядок
графа	пути от	источника	0	в точку стока	I
	пути от	источника	0	в точку стока	I
1	01
2	021
3	0231	031
		0321
4	' 0241	0341		041
	02431	03421		0431
	02341	03241		04321
				0421
				04231
5	0251	0351		0451	051
	02541	03541	.	04531	0541
	02531	03521		04521	05431
	025431	035421		045321	05421
	025341	035241		045231	054321
	02451	03451		04351	054231
	024531	034521		043521	0531
	034351	034251		043251	05341
	02351	03251		04251	05321
	023541	032541		042531	053421
	023451	032451		042351	053241
					0521
					05241

05231

052431

052341

При добавлении (я + 1) узла общее количество путей графа будет состо ять из всех первоначальных и вновь образовавшихся,

140

В табл. 3.3 приведены пути существенного графа пятого по рядка (см. рис. 3.8) от источника 0 к стоку 1. Здесь приведены пути, вновь образовавшиеся при повышении порядка графа.

Аналогично, методом перестановки номеров существенных точек, определяются и пути в любую другую точку стока.

Значения ^ P kA k для существенного графа пятого порядка

приведены в табл. 3.4. Покажем на примерах способ определе ния передаточных функций параметров системы описанным выше методом.

	Таблица 3.4
Порядок	Образование числителя передаточной функции от точки 0
графа	до точки стока 1
1	01
2	01 (1 — 22) +021
3	01 (1 — 22 — 33 + 22 33— 323) + 021 (1 — 33) + 031 (1 — 22) +

+0231 + 0321

01(1 — 22 — 33 + 22 33— 323 — 44(1 — 22—33 + 22 33—323)— —434 (1 — 22) — 424 (1 — 33) — 4324 — 4234] + 021 • [1 — 33 — 44Х

Х (1 — 33) — 434] +031 [1 — 22 — 44			(1 — 22) — 424] + 0231 (1 —
— 44) + 0321 (1 — 44) + 041 (1 — 22 — 33 + 22-33-323) + 0241 X
X (1 — 33) + 0341		(1 - 22) + 0431 (1 — 22) + 0421 (1 — 33) +
+	02431 + 03421 +	03241 + 02341 +	01321 + 04231
5	01(1 — 22— 33 + 22 33 — 323 — 44		(1—22 — 33 + 22 33—323)—

— 434 (1 — 22) — 424 (1 — 33) — 4324 — 4234 — 55 [1 — 22 — 33—

— 22	33 — 323 — 44 (1 — 22 — 33 + 22 33 - 323) — 434 (1 — 22)—
—424	(1 — 33)—4324 — 4234] — 545 (1 — 22 — 33 + 22 33 — 323)—

—535 [1 — 22 — 44 (1 — 22) — 424] — 525 (1 — 33 — 44 (1—33)—

—434] — 5435 (1 — 22) — 5345 (1 — 22) — 5245 (1 — 33) — 5425Х

Х(1—33)—5325 (1 — 44) — 5235 (1 — 44) — 54325—53425—52435—

—54235 — 53245 — 52345) + 021 {1 — 33 — 44 (1 — 33)—434—55 X

Х[1 — 33 — 44 (1 — 33) — 434] — 545(1 — 33)—535 (1—44)—5435—

— 5345) +031(1 — 22 — 44 (1 — 22) — 424 — 55 [1 — 22 — 44Х

Х (1-22) — 424]-545(1 — 22)-525 (1 — 44) — 5245—5425} + 0 4 1 х

Х(1 — 22 — 33 + 22 33 — 323 — 55 (1 — 22 — 33 + 22 33 — 323) — —535 (1 — 22)—525 (1 — 33) — 525 (1 — 33)—5325-5235] + 051X

Х[1 — 22 — 33 + 22 33 — 323 — 44 (1 — 22 — 33 + 22 33 — 323)—

141

								П р о д о л ж ен и е
Порядок			Образование числителя передаточной функции от точки О
графа			до	точки		стока		1
		— 434 (1 — 22) — 424 (1 — 33) — 4324 — 4231] + 0231							[ 1 — 44 —
		— 55 (1 — 44) — 545] + 0321			[1 — 44 — 55 (1 — 4 4)—545] 1-0241Х
		X [1 -3 3 —55 (1 - 33) — 535]			- 0421 ■[1 — 33 -55 (1 — 33)—535] +
		л- 0341 [1 — 22 — 55 (1 — 22)			-525] +0431 [I - 2 2 - 5 5				(1 — 2 2 ) -
		— 525] + 0251 (1 — 33 — 44 (1 — 3 3 ) - 434] 4- 0521 [1 — 33 — 44Х
		х (1 —аз)—434] + 0351 [1 — 22 — 44 (1 — 22) — 424] + 0531 [1 —
		—•22 — 44 (1 — 22) — 424]		1- 0451 (1 — 22 — 33 + 22					33 — 323) +
		— 0541 (1 — 22 — 33 + 22-33 — 323) + (02431 + 03421 +								02341 -
		- -	03241 +04321 + 04231)	(1 — 55)+(02541 -1- 02451 +					04521 -
		+ 04251 + 05421 + 05241)		(1 — 33) +			(02531 -5 02351 + 03251 +
		+	03521 + 05231 + 05321)	(1 — 44) +			(03541 + 03451 + 04531 +
		-Г 04351 4- 05431 + 05341)		(1 — 22) +			025431 + 025341 +			024531 +
		+	024351 + 023541 + 023451 + 035421 +035241+034521 -1-034251 +
		+ 032541 + 032451 + 045321 + 045231+043521 +043251+042531 +
		+ 042351 +054321 + 054231 + 053421 + 053241 + 052431-г 052341
	Пример 1. Необходимо определить передаточную функцию—								(р)	системы,
описываемой дифференциальным уравнением:								5

			а = d xiа + d2xb + d3Xq3 +			b3xq3 + п и Ь;
			в = dX2a + d22%+ d32q3 +			b32q3 +		и88.5;		(3. 17)
			q-i — d\3o. + d23%+ d33q3 +			b33q3 +		n8?3S.
	Общий граф этой системы показан на рис. 3. 10.							Согласно (3.5),		из табл
3. 1 и 3. 2 характеристический полином системы будет иметь вид:
. 4 = 1 — 1,1 — 2,2 — 2,1,2 — 3”3 — ЗЛ ,3 — ЗЛ ,2,3 — 3”2,3 —
— 3"2,1,3+			1,1-2,2 + 1,1 ■3"3 + 1,1-312,3 + 2,2-3"3 + 2,2-ЗЛ ,3 +
+	2,1,2-3"3 — 1,1-2,2-3'3 = 1 — (1,1 + 2 ,2					+ 3,3) — (2,1,2 + 3"3 +
+	3,1,3 +	3,2,3 — 1,1-2,2— 1,1-3,3 — 2,2-3,3) -					(3"1,3 + 3,1,2,3 +
+	3"2,3 +	3,2,1,3— 1,1-3"3 — 1,1 • 3,2,3 — 2,2- 3"3 — 2,2- 3,1,3 —
— 2,1,2- 3,3 + 1,1-2,2-3,3)— (3" 1,2,3 +					3"2,1,3— 1,1-3"2,3 -					(3- 18)
	■2,2-3"1,3— 2,1,2-3"3 + Ы -2,2 -3"3):					1
						[Р4 + {dn + d22
+ d33) ps					Р4
			(d2xdx2 + ^зз + d3Xd X3 + d32d23— dxxd22 — dxxd33 —

—d22d33) P2 — (b3Xdx3 + d3xdx2d23 + b32d23 + d32d2xdx3 — d u b33 —

—dnd32d23 — d22b33— d22d3XdX3— ^21^ 12^33 + dxxd22d33) p — b3xd x2d23 -

—b32d2xd x3 + dxxb32d23 + d22b3XdX3 + ^21^ 12^33 — ^ 11^22^33]-

142

Из (3. 18) легко установить способ определения коэффициентов полинома da и Ьц. Далее пути прохождения сигналов от источника 0 к стоку 2 опреде

ляются уравнением (см. рис. 3. 10)
и	Р()2 = УР/г = 02 + 012 + 0132 + 032 +			0312

^ P k A k =	Я02д 0.23 = 02 (1 -	1Д -	3l3 - ЗЛ ,3 + 1И • з :з )	+	01,2 ( I - 3^3) +
	01-3/2 -1- 03’2 (1 — 1,1)		Ч- 0,3" 1,2 = 02 — (02-1,1 +		02-3,3 — 01,2 —
— 03,2) — (02-3"3 ч- 02-3,1,3---02Л , 1-3,3 + 01,2-3,3 — 01,3,2 +
+	03,2 -1,1 — 03,1,2)	— 02 • 3" 1,3 + 02 -1,1 • 3"3 +		01,3"2 — 03"2 ■1Л +
+ 03" 1,2 = — [яба/Л — (лб9^ц + nibd33 — /2Sadi2— ni q d32j р %—
	(ло9*зз +	n^dud33+ nSadi2d33— n6adi3d32+
+ n i q d32du — nhgn3ldl2) P — nbbb3ldn — n mdn b33 + nbadl3bi2 —
~	n Sq>b32du + nbqshld\2\.

Рис. 3. 10. Граф сигналов аэроупругого само лета

При таком методе образование характеристического поли нома Ак означает исключение из характеристического полинома

Аконтуров, содержащих те же номера существенных точек, что

иданный путь Ph. Следовательно,

» ,	ч _ _ ^02^123	1
S	-4123	Р

Из этого примера видно, что, пользуясь правилами теории графов и принятыми здесь способами нумерации и символиче скими обозначениями, можно достаточно легко и компактно определить передаточные функции системы. В качестве примера

143

на рис. 3.11 показана структурная схема системы, которая при водится к графу 2-го порядка. Точки ,3 и 7 — существенные.

При исследованиях системы необходимо бывает определять передаточную функцию узла или ветви. Для этого необходимо

Рис. 3.	11. Структурная схема многоконтурной системы,			приводимая
к существенному графу		второго порядка,	с существенными точ
		ками 3 и 7
расщепить	соответственно узел или ветвь, как			показано на
рис. 3.12.	Передаточная	функция узла	(см. рис.	3.12, а) пред

ставляет собой изображение реакции системы на единичный сиг нал, исходящий из этого же узла. Передаточная функция ветви

Рис. 3. 12. К определению коэффициентов передачи узла и ветви

(рис. 3.12,6) равна	передаточной	функции внутреннего		узла
этой ветви. Определяются эти передаточные функции по				выше
описанным правилам согласно формуле (3.9).
О п р е д е л е н и е п е р ед а т о ч н ы х ф ун к ц и й п о с п о с о б у в ы д е л е н и я
о ди н а р н ы х н ек а с а ю щ и х с я к о н т у р о в , о х в а т ы в а ю щ и х			в с е	точ к и
В этом случае система описывается дифференциальными
уравнениями в виде
(р2+ dn p -f bn )х 1-f- {cfzip -f- bn ) x 2		(d31p -f b31)x 3	-
2. № 2/?+<5>12)л:1 + (/?3 +	й,22р+(!»22)д:2 +	(с/з2р4-йз2)д:з+. . . =	ла8; {

П■(^1л/7^^1 я)Л'1-Н^2я/7_1“^2л)-*'2+- • ■^r(P1~JtdnnPJ\-~bnn)Xn= n.nb.\

144

Определение характеристик системы покажем на примере трех уравнений (3. 19). Запишем их в виде

1.	а 1 l ( p ) x 1 +		a S2( p ) x 2 - { - a 3L{ р )		х 3 ----- /гх8;
2 .	n v2 { р )	Ху	и 22 ( р ) х 2	а 32 {р )	х 3 — /г2§;	■	(3. 20)
3.	$J3 { р )	-Гц “Д ^23 (р )		Д~ ^33 ( Р )	-^з ' -	,

Выполним несколько построений графов.

Рис. 3. 13. К определению передаточных функций по способу выделения одинарных некасающихся контуров, охватывающих все точки графа

О б щ и й г р а ф G (рис. 3.13, а) — это направленный граф потока сигналов системы, представленной линейными уравне ниями:

2 'laji(P)xj = nih; / = 1 , 2 , . . . , п.

;- i

Здесь каждой зависимой переменной Xj соответствует вершина /, множителю ну, при переменной Xj — дуга с коэффициентом а^. Две вершины Xj и х{ связываются дугой ар, направленной от х, к Ay-. Источник графа 0 соединяется с вершинами i при помощи

дуг, имеющих коэффициенты гц.			G,	из которого	удален
Г р а ф	G0 (рис.	3 .1 3 ,6 )— подграф
источник 0.	Gh (рис.	3. 13, в) — подграф	G,	из которого	удалены
Г р а ф

все дуги, выходящие из вершины k, а источник 0 совмещен с вер шиной k (в данном случае с вершиной 3).

М н о ж е с т в о к о н т у р о в L (рис. 3.13, г ) — комбинация всех некасающихся контуров графа G0, причем каждая комби нация содержит все вершины графа G0.

145


М н о ж е с т в о	к о н т у р о в + — комбинация всех некасаю-
щихся контуров графа G&. Каждая		комбинация содержит			все
вершины графа Gh. В частном случае при существовании					всех
ветвей tit от источника 0 в стоки i комбинация контуров				графа
G3 будет такой же,	что и для графа	G0	(сравы. рис. 3. 13,6 и в).
М н о ж е с т в о	п р о и з в е д е н и й		П — произведения,		со
ставленные из контуров L, причем каждое произведение				содер
жит все некасающиеся контуры, охватывающие все				точки
графа G0.	п р о и з в е д е н и й		ГК — произведения,		со
М н о ж е с т в о

ставленные из контуров Lft. Каждое произведение содержит все некасающиеся контуры, охватывающие все точки графа G0.

Передаточная функция от источника 0 к стоку х; определится

формулой
' '	S (~ 1)7V+A^ П«	(~ Ц" I]	+
{>i 5 [р'	2 ( “ 1)7V+7Vin	с—	п
ИЛИ
	N ,
	H ( - i )		(3.21)
			(3.21)

где N — число вершин графа, равное числу его дуг; NL — число контуров в множестве + ;

Nl — число контуров в множестве L.

Характеристический полином графа G0 системы (или опреде литель) определится формулой

	Л = 2 ( - 1 Л п .					(3.22)
Для графа G0, изображенного на рис.				3.13,6,	характеристи
ческий полином запишется (см. рис.			3. 13, г)	в виде
Дш = 1 1-22-33 - 1 1 - 32-23 -		13-31-22- 12-21-33 +
+ 12-23-31 -+ 21 -32- 13= апа22а 33 — апа32а23 —
#13#31Й22	а12^,21а33“Ь ^12^23^31 ^'гГЧг^З-
Подставляя значения а + р )		из	(3.20),	получим		характери
стический полином системы.
Ч и с л и т е л ь п е р е д а т о ч н о й ф у н к ц и и
	2:-1)%п,					(3. 23)

определяется аналогично (3.22) по графу				Gh (см. рис. 3.13, в).
В табл. 3.5 показаны значения			произведений		насыщенного
графа 5-го порядка.	Анализируя таблицу,			нетрудно		определить

146

Таблица 3.5

Образование произведений графа 1, 2, 3, 4 и 5-го порядка

Порядок графа					Порядок графа					Порядок графа
5	4	3	2	1	5	4	3	2	1	5	4	3	2	1
—55	44	: 33	22	11	—54	43	32	21	15	- 5 3	41	35	24	12
; 55	44	i 33	121	12	—54	43*	31	25	12	—53	41	35	22	14
+55	: 44	: 33	23	11	+54	43	31	22	15	—53	11	34	25	12
—55 ! 44 : 32			21	13	+54	42	35	23	11	+53	41	34	22	15
—-55	: 44 : 31		23	12	—54	42	35	21	13	- 5 3	41	32	25	14
+55	: 44	: 31	22	13	—54	42	33	25	11	—53	41	32	24	15
+55	\| 43	34	22	11	+54	42	33	21	15	-5 2	45	34	23	и
—55	: 43	34	21	12	+54	42	31	25	13	—52	45	34	21	13
—55	: 43	32	24	11	- 5 4	42	31	23	15	- 5 2	45	33	24	11
+55	: 43	32	21	14	—54	41	35	23	12	+52	45	33	21	14
+55	: 43	31	24	12	+54	41	35	22	13	—52	45	31	24	13
—55	: 43	31	22	14	+54	41	33	25	12	- 5 2	45	31	23	14
—55	: 42	.34	23	11	—54	41	33	22	15	- 5 2	44	35	23	11
+55	: 42	34	21	13	—54	41	32	25	13	-5 2	44	35	21	13
+55	: 42	33	24	11	+54	41	32	23	15	+52	44	33	25	11
—55	: 42	33	21	14	- 5 3	45	34	22	и	- 5 2	44	33	21	15
—55	42	31	24	13	+53	45	34	21	12	—52	44-	31	25	13
-г 55	: 42	31	23	14	+53	45	32	24	11	—52	44	31 '	23	15
+55	: 41	34	23	12	—53	45	32	21	14	+52	43	35	24	и
—55	: 41	34	22	13	—53	45	31	24	12	-5 2	43	35	21	14
—55	: 41	33	24	12	+53	45	31	22	14	-5 2	43	34	25	11
+55	: 41	33	22	14	+53	44	35	22	11	-5 2	43	34	21	15
+55	: 41	32	24	13	- 5 3	44	35	21	12	^52	43	31	25	14
—55	! 41	32	23	14	—53	44	32	25	11	—52	43	31	24	15
+54	45	33	22	11	+53	44	32	21	15	- 5 2	41	35	24	13
—54	45	33	21	12	+53	44	31	25	12	-5 2	41	35	23	14
—54	45	32	23	11	—53	44	31	22	15.	+52	41	34	25	13
+54	45	32	21	13	—53	42	35	24	11	—52	41	34	23	15
+54	45	31	23	12	+53	42	35	21	14	—52	41	33	25	14
—54	45	31	22	13	+53	42	34	25	11	+52	41	33	24	15
—54	43	35	22	11	—53	42	34	21	15	—51	45	34	23	12
+54	43	35	21	12	—53	42	31	25	14	+51	45	34	22	13
+54	43	32	25	11	+53	42	31	24	15	+ 51	45	33	24	12

147

												П р о д о л ж ен и е
	Порядок графа					Порядок графа					Порядок графа
5	4	3	2	1	5	4	3	2	1	5	4	3	2	1
—51	45	33	22	14	+51	44	32	25	13	+51	43	32	24	15
—51	45	32	24	13	—51	44	32	23	15	+51	42	35	24	13
+51	45	32	23	14	—51	43	35	24	12	—51	42	35	23	14
+51	44	35	23	12	+51	43	35	22	14	—51	42	34	25	13
—51	44	35	22	13	+51	43	34	25	12	+51	42	34	23	15
—51	44	33	25	12	—51	43	34	22	15	+51	42	33	25	14
+51	44	33	22	15	—51	43	32	25	14	— 51	42	33	24	15

Знак произведе!-ШЯ О пределяется по формуле (_ D ^ ^ , где А'—ко- личество дуг; V * - количество контуров.

порядок (алгоритм) образования нового множества			контуров	L
и П (или L3 и П3) при увеличении его порядка. Количество про
изведений множества контуров насыщенного графа			порядка	п
определится формулой
N0 = n\
Пример 2. Допустим, что уравнение динамической системы имеет вид
(сп р + аГпа) + d21p% +	(d3lp +	b3l) q3 = п ЬаЪ;
d l2a + ( c22Р2+ d22p)b +	(d32p +	632) q3 —	(3. 24)

'dl3a + d23pb + (c33p2 + d33p + b33) q3 = n S q b.

Общий граф G0 этой системы может быть представлен суммой трех гра фов. Как было указано ранее, характеристический полином графа (или числи тель передаточной функции) состоит из произведения некасающихся конту ров, охватывающих все существенные точки графа. Так, для рассматриваемого

случая 2 (—1)ЛГ+ЛГ^П , как видно из табл. 3.5, запишется в следующем виде:

+31> 2" 2. 1^1

— 3+ 3-2. 1•1_2

_ 3^2-2 . 3-1Л п = + 3j_2-2. Ы _3

+3^ 1-2. 3-1_2

_ З Л - 2;'2-1_3

Из	(3.25) видно, что некоторые дуги графа G0 содержат		по три состав
ляющие, являющиеся дугами графов р2\ р1 и р°		(или .., ., —)	с соответствую-'
щими коэффициентами передачи.
По	уравнениям (3.24) отметим индексами количество		составляющих
в дуге.	Такие отметки сделаны в выражении	(3.25). Например, запись 3il3

148

означает, что дуга 33 содержит дугу р2 с коэффициентом передачи с33, дугу р с коэффициентом d33 и дугу 633 без р и т. д.

Тогда характеристический полином запишется в виде

N + N И+	2 ( -	1)"+ЛЧ ^ - • -С	(3. 26)
	k

где п = 0, 1, 2. . . — показатель степени р;

k — количество членов в каждом произведении контуров с оди наковым числом точек «•»;

т — число произведений общего графа G0 (для заданного графа эти произведения приведены в табл. 3. 5); х\ у; .. . ; z — указывают степень па

раметра р, при котором выбирается коэффициент an; ati или а»г>		в произведе
нии (3.26).
Например, если 33 -2.1 ■1_2, то х=2;	у —1; 2=0 и x + y+z=n.	(3.27)
Характеристический полином (3. 25)	может быть записан в виде
A=a&ps>+a4pi+a3p3+a2p2+alp+a0,		(3. 28)
где
. . . .	*
а5 = 33-22-11 = С33С22С11;
а4 = 33-22-11 + 33-22-11 + 33-22-11 =

= с33^22Сц + ^33^22^11 + Сз3С22^1Ь

а3 = 33-22- П + 33-22-11 + 33-22-11 — 33-21 • 12 — 32-23-11 — 31-22-13 —

— 33-22-11 = ^33^22^11 + с33^22^11 + ^33с22^11— с33<721^12 —‘^32^23СП —

— <^3lC22'3'l3 — ^33^22^111

а2 = 33-22-П + 33-22-И — 33-21-12 — 32-23-И — 32-23-11 + 32-21 -13_ +

+	31-23-12 — 31 -22-13 + 33-22-11 -31 -22 -13 =
= ^ 33^ 2 2 ^ 1 1 +	^ 33^ 22^11 — <^33^ 21^12 — <732^ 23^11 — ^ 32^ 23^11 + ^ 32^ 21^13 +

+ ^31^23^12 — ^31^22^13 + ^33^22^11 — ^31^22^13!

(3. 29)

а ! =	33• 22• 1Л — 33-21 • 12 — 3_2• 23• П +	32• 21 -13 +	З Ь 23• 12	— 31 • 22 • 13 =
=	* 33^ 22^11 — * 33^ 21^12 — ^ 32^ 23^11 +	* 32^ 21^13 +	* 31^ 23^12 — ^ 31^ 22^131
	а0 = 0.				*
Сравнивая уравнения (3.18) и (3.29), видим,			что при	Ci,=l	они имеют
(с учетом знаков при коэффициентах)		одинаковое значение.		Аналогично опре
деляется числитель передаточной функции.			,	*10
		,
	Пример 3. Необходимо определить передаточную функцию —				системы,

*о

представленной структурной схемой рис. 3.14. Здесь Bi и Aj — полиномы параметра р.

149

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3215 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ