книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

фCMq( ) - ФсМ91

Функции ф с, Фсд, Фсм И ФсМд не имеют точного выражения

подъемной силы и момента для профиля в установившемся дви­

звуковой аналогии [5]. Выражения для этих функций имеют вид:

мулы для определения аэродинамических характеристик в сжи­ маемом потоке можно вывести -путем прямого сравнения со слу­ чаем несжимаемого потока. Результаты численного интегриро­

потоке значительно проще, чем в сжимаемом дозвуковом потоке. Здесь возмущения распространяются только вниз по течению и расположены внутри конуса Маха. Причем верхняя и нижняя поверхности профиля независимы одна от другой, что позволяет определить нагрузки только для одной поверхности.

Решение задачи при сверхзвуковом обтекании профиля хо­ рошо изложено, например, в работах [5, 16]. Поэтому здесь так же, как и раньше не будем подробно останавливаться на мате­

90

матических выкладках, а приведем лишь окончательные фор­ мулы для расчета нестационарных аэродинамических характе­ ристик. Для эффективного решения задачи крыло и вихревой след здесь моделируются слоем пульсирующих сверхзвуковых

источников, потенциал скоростей которых удовлетворяет вол­ новому уравнению.

Рассмотрим сначала гармонические колебания тонкого про­ филя..В этом случае выражение для потенциала скоростей, вно-

В (2. 125) Wy(l-, т) представляет собой скос потока в точке | профиля, имеющий вид такой же, как (2.118), если в (2.118)

91

С помощью (2. 127) легко получить все аэродинамические коэф­ фициенты путем простого интегрирования по хорде. При произ­ вольном неустановившемся движении профиля можно приме­ нить методы для дозвукового потока и в частности использовать формулы (2.122) и (2.123). Функции Фс, Фс ч, Фс м и ФгМ ч здесь определяются совершенно аналогично случаю дозвукового

92

На рис. 2. 19 показан характер изменения функций для раз­ ных чисел М, рассчитанных по формулам (2. 128).

93

2. Аэродинамические характеристики крыла конечного размаха

В определении неустановившихся аэродинамических характе­ ристик прежде всего следует отметить гипотезу плоских сечений, общие положения которой были рассмотрены в 2. 2. Для расчета нестационарных аэродинамических характеристик крыла в этом случае можно непосредствено применить формулы предыдущего раздела, если крыло по своим параметрам близко к прямому. Для уточнения результатов желательно ввести теоретическую поправку на конечность размаха [41]. Если крыло стреловидное, то можно, воспользовавшись формулами (2.64) для скользя­ щего крыла, при определении аэродинамических характеристик исследуемого крыла ввести соответствующие поправки на его стреловидность. Например, если исследуются гармонические 'колебания крыла, то в формулы (2.115) в соответствии с (2.64) нужно ввести множитель cos/o, где %о— угол стреловидности по передней кромке. Все параметры в (2. 115) и в этом случае также измеряются в направлении потока. Аналогичную опера­ цию можно проделать и для случая сжимаемого потока. Только здесь вместо числа М нужно взять МХо = М cos %о. При определе­ нии нестационарных аэродинамических характеристик деформи­ рующегося крыла в приведенные выше формулы нужно ввести члены, обусловленные деформациями изгиба и кручения по ана­ логии с формулами (2.65). В том случае если имеются экспери­ ментальные суммарные или распределенные характеристики крыла в установившемся движении, то во всех формулах следует теоретические значения аэродинамических характеристик уста­ новившегося движения заменить на соответствующие экспери­ ментальные.

Рассмотрим теперь более точные теоретические методы опре­ деления нестационарных характеристик крыла в дозвуковом и сверхзвуковом потоках.

Д о з в у к о в о й п о т о к . Остановимся сначала на методе, основанном на решении интегрального уравнения при представ­ лении функции давления в виде ряда [50, 51]. Этот метод может с успехом применяться как в несжимаемом, так и в сжимаемом потоках, причем для установившегося и неуетановившегося дви­ жений крыла произвольной формы в плане.

Общая постановка задачи рассмотрена в разд. 2.1. Крыло и вихревой след заменяются системой пульсирующих диполей. Составляется выражение для потенциала ускорений диполя, удовлетворяющее уравнению '(2.21). Имея в виду формулу (2.22), можно вывести выражение для потенциала скоростей, индуцируемых в точке х, у, z лучом диполей, расположенным параллельно оси Ох и простирающимся от точки g, £ на крыле до бесконечности. Представляя гармонические изменения функ-

94

ции давления АЯ(|, £) и скоса потока Wy(x, z ) на крыле, в ко­ нечном счете (подробнее см. [51]) получим интегральное урав­ нение, связывающее комплексные амплитуду скоса потока Wyо

с амплитудой давлейия АР0, в следующем виде:

1 r S3 (C)

95

при гармоническом изменении y(t)=f(x, z)q(t), выражение для скоса потока, отнесенного к q(t), будет иметь вид

Функцию распределения давления AP0(g, g), также отнесен­ ную к q(t), представим в виде (2.82), введя безразмерные коор­ динаты и считая, что коэффициенты апт являются функциями числа Струхаля. Подставляя (2.131) и (2.82) в (2.129) и про­

водя замену переменной g на 0 с помощью (2.83), получим интегральное уравнение в виде

Решение (2. 132) проводится численными методами. Ядро урав­

нения /((М, k, go, to) в точке go = go = 0 терпит разрыв непрерыв­ ности. В этом случае его предельные значения при подходе слева и справа от этой точки имеют вид

И т/С (М ,М 0,С0) = — 2е - ‘'*Е° при £0> 1,

с„^о

Нт AT (М, ?0>С0)= 0 при it < 0.

Со-*"0

Для сохранения необходимого объема памяти в ЦВМ выра­ жение J\( )—Li( ) можно заменить определенным интегралом, приближенная аппроксимация которого имеет вид

96

стности ks\ So| =4.

Интеграл в К{М, k, £0, So) может быть взят аналитически при замене подынтегрального выражения аппроксимирующим рядом

ное значение в смысле Коши. Для учета этой особенности интег­ рирование по размаху производится с помощью четырех зон в следующем виде:

Значение третьего интеграла в (2.134) в зоне особой точки

находиться с помощью аппроксимации функции F(t„k) полино­ мом Лагранжа шестой степени. Эта аппроксимация приводит к виду

z+bz

г — Д г

где F1, F2,..., F7 — функции K(S, k) в семи сечениях крыла, на­

чиная от E=z-—Az с шагом — Az. 3

Приведенные выражения позволяют составить систему алге­ браических уравнений для заданного числа контрольных точек, в которых определен скос потока. Решение системы дает значе­ ния комплексных коэффициентов anm(k). Имея эти коэффи­ циенты, с помощью (2.82) легко можно определить интересую­ щие аэродинамические характеристики. Например, выражения

для амплитуд коэффициентов подъемной силы сечения с'уо(^, к) и всего, крыла cy0(k), отнесенные к параметру q(t), имеют вид

(2. 135)

Для крыла, имеющего прямые переднюю и заднюю кромки, соответствующие выражения для относительных амплитуд коэф­ фициента момента можно записать в виде

Коэффициент Cm0 (£, k) приведен относительно середины хорды сечения, а т г0(&) — относительно середины корневой хорды. Выражения (2. 135) и (2. 136) получены при удовлетво­ рении интегрального уравнения в девяти точках (3 по хорде и 3 по размаху). Удлинение X и сужение т] здесь определяются по формулам (2.12).

Следует отметить, что расчеты по рассмотренной методике удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.

98

Для примера па рис. 2.20 приведено сравнение результатов рас­ чета модулей и фаз аэродинамических характеристик колеблю­ щегося крыла с их экспериментальными значениями.

1 \ с р \

71

нестационарныхдискретных вихрей [2]. Аналогичный метод, но для установившегося движения в несжимаемой среде был при­ веден в разд. 2. 2. Основная идея метода остается такой же, как в разд. 2. 2, и заключается в замене непрерывных распределений дискретными. Кроме того, непрерывный процесс изменения аэро­ динамических характеристик крыла во времени здесь также

метры и, следовательно, аэродинамические характеристики из­ меняются скачком, а в промежутках между этими моментами остаются неизменными. Таким образом, непрерывный процесс изменения циркуляции вихрей во времени заменяется ступенча­ тым. Такая схема приводит к тому, что в расчетные моменты времени происходит скачкообразное изменение циркуляции при­ соединенных вихрей и с них сходят параллельные свободные вихри, которые сносятся вниз по течению со скоростью ОоТак как эти свободные вихри индуцируют на крыле соответствующие скорости, то необходимо выстраивать во времени образующуюся за крылом вихревую пелену и учитывать вносимые ею возмуще­