книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

(1.41) и соответствующим граничным условиям удовлетворяет бесконечное число пар собственных частот и взаимно ортогональ­ ных нормальных функций. В соответствии с этим общее решение (1.38) может быть найдено положением частных решений (1.39) в следующем виде:

в(

г=1

Рассмотрим теперь балку, загруженную непрерывно распре­ деленным крутящим моментов М (z, t). Уравнение вынужденных колебаний балки в этом случае имеет вид

iтвердого тела. Так же как и при изгибных колебаниях, нормаль­ ная координата определяется из решения системы обыкновен­ ных дифференциальных уравнений вида

тильные. Однако в исследованиях балочной схемы во всем диа­ пазоне частот или при достаточно большом расстоянии между центром тяжести и центром жесткости сечения ограничиться расстоянием раздельных колебаний уже не удается. В этом слу-

20

чае необходимо решать систему дифференциальных уравнений, описывающих совместные колебания изгиба и кручения в сле­ дующем виде:

{EJy")',J^my — тх<д = О,

1.44)

(ОУр0 ') '+ mxy — J j i = О,

где х — расстояние между центром тяжести и центром жесткости сечения.

Для определения собственных форм и частот колебаний урав­ нения (1.44) преобразуются к виду

Так же, как и в случае раздельных изгибных и крутильных коле­ баний, решение системы (1.45) при ненулевых правых частях (вынужденные колебания) будем искать в виде (1.36), (1.43), где нормальные координаты qi(t) определяются из следующей системы дифференциальных уравнений:

колебаний.

С о в м е с т н ы е к о л е б а н и я с и с т е м ы п е р е к р е с т ­ н ых б а л о к . Рассмотрим теперь динамические деформации всего самолета в целом. Схематизируем конструкцию системой жестко связанных между собой перекрестных балок так, как это показано на рис. 1.1 ,а. В результате имеем сложную упру­ гую систему, все части которой совершают совместные колеба­ ния. Например, изгибные колебания крыла вызывают изгибные колебания фюзеляжа и стабилизатора, кручение крыла вызы­ вает изгиб фюзеляжа и т. д. Каждому тону колебаний упругого самолета очевидно будет соответствовать определенная частота и совокупность форм колебаний его отдельных элементов (крыла,

21

фюзеляжа и т. д.). Обычно условно относят те или иные тона собственных колебаний целого самолета к отдельному его эле­ менту. Эта условность дает представление о том, от какого эле­ мента в основном зависит та или иная частота и формы колеба­ ний целого самолета. Т. е. условно различают частоты и формы собственных колебаний крыла, фюзеляжа и т. д. Имея в виду сказанное, перейдем к дифференциальным уравнениям, описы­ вающим колебания всего самолета. На основании выражений, полученных для изгибных (1.35) и изгибно-крутильных (1.44) колебаний, нетрудно получить систему дифференциальных урав­ нений для всей конструкции. В соответствии с обозначениями, приведенными на рис. 1.1, а, эта система имеет следующий вид:

-(°JPА )' + JmА - тсх сус = М С, {EJtly J ' Jr mHyli= PH,

[EJxyx) -фотхрх Рх,

где у и # — соответственно прогиб и угол поворота сечения балки.

Так же, как и раньше, решение системы (1.47) ищем в виде

п1

Ук = '2/к1У1(*), i=i

i=1

n

Ус —

= 2 Tc /=1

n

*/h= 2 / h^ W’

/=1

n

1 = 1

* Здесь и далее штрихи над параметрами обозначают дифференцирование этих параметров по соответствующей координате.

** Здесь учтены первые п тонов собственных колебаний.

22

Подставляя (1.48) в (1.47) и приравнивая правые части (1.47) нулю, получим систему обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений для отыскания форм и частот собственных сво­ бодных колебаний самолета в следующем виде:

(1.49)

При решении (1.49) должен выполняться ряд граничных условий. При стыках крыла и стабилизатора с фюзеляжем дол­ жны выполняться геометрические граничные условия равенства поперечных перемещений и углов поворота поперечных сечений. Эти условия имеют вид

(1.50)

где сгс — расстояние от точки Ос до ближайшего сечения хвосто­ вой части фюзеляжа, к которому крепится стабилизатор (ас>0, если точка Ос находится позади сечения); Х с — координата се­ чения.

В местах стыков должны соблюдаться также равенства суммы поперечных сил и суммы изгибающих моментов, взятых слева (—) и справа (+ ) от сечений х = 0 и х = Хс поперечным силам и соответствующим составляющим изгибающих момен­ тов, приходящим от обеих консолей крыла и стабилизатора, т. е.

(1.51)

- 2 ( E J j l y = { E J j : )'+ ~ ( E J j : )1,

2£7c/cSin Xc — 20Jp Ccpc cos xc —

■при (хх = Х с)гш0

~ 2 a c(E /c/ : y = - ( E / x/ ; ) + +

23

На свободных концах балок должны выполняться условия равенства нулю перерезывающих сил, изгибающих и крутящих моментов. Эти условия имеют вид

Имея формы и частоты собственных колебаний, смещения точек конструкции можно получить с помощью (1.48), где нормаль­ ные координаты qi{t) определяются из системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(1.53)

( / = 1 , 2 , . . . ,п),

при начальных условиях (^= 0)

24

При наличии на балках в общем случае упруго прикреплен­ ных сосредоточенных грузов к уравнениям (1.47) нужно доба­ вить уравнения, описывающие колебания этих грузов в соответ­ ствии со схемой упругого крепления, и в граничных условиях счесть скачки перерезывающей силы, изгибающего и крутящего моментов, обусловленные наличием этих грузов. В этом случае в (1.55) вводятся соответствующие составляющие, определение которых не представляет трудностей.

Э н е р г е т и ч е с к и е м е т о д ы и с с л е д о в а н и я д и н а ­ м и ч е с к и х д е ф о р м а ц и й. Выше был применен метод, осно­ ванный на принципе Д ’Аламбера. В ряде случаев более удобным является энергетический метод. Энергетические методы приме­ няются для построения уравнений равновесия, которые выво­ дятся как следствие обращения в нуль вариации энергии. Част­ ным случаем использования энергетических методов является применение уравнений Лагранжа второго рода к системам, про­ странственная конфигурация которых может быть описана неко­ торой совокупностью дискретных обобщенных координат. В авиационных конструкциях оказывается возможным выбрать такие независимые координаты, т. е. координаты, изменения которых представляют собой виртуальные перемещения системы. Как известно, уравнения Лагранжа имеют следующий вид:

(1.57)

где Т — кинетическая энергия системы; U — потенциальная энергия системы; qi — i-я обобщенная координата;

Q i — обобщенная сила, вызывающая изменения i-й обобщеннои координаты.

Уравнения (Г. 57) могут быть применены к системам с непре­ рывно и дискретно распределенными параметрами. Однако в пер­ вом случае эти уравнения дают приближенное решение, которое полностью зависит от выбора обобщенных координат. Во втором случае уравнения Лагранжа дают точное решение.

В качестве примера рассмотрим применение уравнений Л а­ гранжа к определению динамических смещений самолета, схе­ матизированного системой перекрестных балок с непрерывно распределенными параметрами. Начало осей координат основ­ ной системы расположим в условной точке фюзеляжа, соответ­ ствующей центру тяжести недеформированного самолета. Ось Ох направим назад в плоскости симметрии самолета. Положе­ ние остальных осей системы оставим в соответствии с рис. 1. 1, а.

25

Представим вертикальное смещение любой точки самолета относительно инерциальной системы OgXgygZg (рис. 1.6) в виде

суммированием по всему самолету кинетических энергий отдель­ ных его точек в следующем виде:

где со* — собственная частота первой формы колебаний г'-й обоб­ щенной координаты.

Имея в виду выражение для кинетической (1.59) и потен­ циальной (1.60) энергий, с помощью (1.57) получим уравнения

26

для определения динамических смещений конструкции в сле­ дующем виде:

П

7 = 1

(< = 1,2,.. •, я),

где обобщенные инерционные коэффициенты M i} имеют вид

S*

а обобщенные силы Qi(t) определяются через работу, совершен­ ную внешними силами на виртуальных перемещениях qit т. е.

где W — работа внешних сил.

Нормальные формы г и собственные частоты со колебаний конструкции получаются с помощью приведенных выше выраже­ ний для расчета собственных функций и частот колебаний консольно закрепленных балок.

2.Динамические деформации схемы

сдискретно распределенными параметрами

Рассмотрим определение деформаций конструкции под дей­ ствием динамических нагрузок с помощью коэффициентов влия­ ния по двум отмеченным выше методам — форм и. сосредоточен­ ных масс.

О п р е д е л е н и е д и н а м и ч е с к и х д е ф о р м а ц и й по м е т о д у форм. Рассмотрим метод форм, предполагающий деформацию (прогиб) упругой системы в точке / с координатами Xj, Zj путем наложения я форм собственных колебаний в виде

Имея в виду ортогональность форм собственных колебаний, с помощью (1.64) можно получить выражения для кинетической и потенциальной энергий в виде функций квадратов нормаль­

27

ных координат, представляющих собой обобщенные координаты системы

П

/ = 1

п

и

/ = 1

Здесь обобщенная масса М* определяется по формуле

где nij — /-я сосредоточенная масса системы;

— смещение в /-й точке по 2-й форме колебаний.

Используя (1.65), (1.66) в уравнениях Лагранжа, получаем систему дифференциальных уравнений для определения нор­ мальных координат в следующем виде:

(2= 1 ,2 , ... , я).

Обобщенная сила Qi определяется в виде

}-1

где Рj — сосредоточенная сила, приложенная в /-й точке.

Общее решение задачи осуществляется подстановкой в (1.64) значений нормальных координат, вычисленных по (1.67). Урав­ нения для расчета форм и частот собственных колебаний си­ стемы с дискретно распределенными параметрами для случая консольной ее заделки легко могут быть получены с помощью коэффициентов влияния гибкости 6ц следующим образом. При собственных колебаниях деформации конструкции обуславли­ ваются только силами инерции и ее жесткостными характери­ стиками. Следовательно, вертикальное смещение сосредоточен­ ной массы в точке i под действием этих сил, по аналогии с (1.8) может быть записано в виде

П

/-1

28

Так как колебания являются гармоническими с собственной ча­ стотой о), т. е.

где коэффициенты, определяющие инерционные и жесткостные характеристики системы, имеют вид

ортогональны. В матричной записи уравнения (1.70) примут вид

Матрица, характеризующая инерционные и жесткостные свойства системы, на основании (1.71) имеет вид

где D — матрица коэффициентов влияния гибкости; М — матрица инерционных коэффициентов.

Для расчета колебаний крыла малого удлинения и для раз­ дельных изгибных или крутильных колебаний балочной схемы матрица D является симметричной матрицей коэффициентов влияния гибкости, а матрица М — диагональной матрицей со­ средоточенных масс. Это положение, очевидно, справедливо лишь при условии совпадения точек, в которых определены коэф­ фициенты влияния, и точек расположения сосредоточенных масс.

Для совместных изгибно-крутильных колебаний конструк­ ции балочной схемы, каждый отсек которой представлен сосре­ доточенной массой и моментом инерции, матрицы О и М стано­ вятся составными и имеют следующий вид:

29