книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

водных, полученные из продувок жесткой модели. Например, целесообразно теоретическое значение производной коэффи­ циента подъемной силы профиля заменить на экспериментальное значение суа и т. д. Дальнейшее повышение точности решения заключается в частичном отступлении от’гипотезы плоских сече­ ний и замене постоянных по размаху аэродинамических харак­ теристик их распределенными значениями. Последние могут быть получены, например, из продувок дренированных моделей. С учетом сделанных замечаний формулы (2.56) можно записать в следующем виде:

где суо — коэффициент подъемной силы сечения при а = 0; с'т0сж— коэффициент момента сечения при с' = 0;

маемом потоке; 9 — угол поворота сечения относительно средней линии

хорд;

у— вертикальное смещение точки пересечения рассмат­ риваемого сечения со средней линией хорд.

В(2.65) коэффициент момента получен относительно точки пересечения рассматриваемого сечения со средней линией хорд.

дающее подъемную силу, требует, чтобы вихревые линии с крыла уходили в бесконечность. Поскольку граница расположения этих вихрей лежит за крылом между прямыми линиями, направлен­ ными от его концов, то, очевидно, вся эта область должна быть также заполнена вихревым слоем. На основе теоремы о постоян­ стве циркуляции интенсивность последнего просто выражается через интенсивность присоединенных вихрей.

60

Не останавливаясь на выводе этого уравнения, который можно найти, например, в работе [5], перейдем непосредственно к пред­ ставлению вихревого слоя системой дискретных вихрей так, как это сделано в работе [4]. Удобство такого подхода связано с тем, что данные вихри удовлетворяют уравнению неразрывности (2.47), а также обладают важными свойствами, которые будут отмечены ниже. Таким образом, задача сводится к определению неизвестных напряженностей этих вихрей на основе граничных условии и гипотезы Чаплыгина — Жуковского. В качестве основного граничного условия плавного обтекания примем усло­ вие вида

Заменим непрерывно распределенный несущий вихревой слой системой дискретных косых подковообразных вихрей так, как это показано на рис. 2.7. Здесь свободные вихри, парал­ лельные оси Ох и уходящие в бесконечность, условно оборваны. Введем следующие обозначения элементов этой системы, распо­

протекания (контрольная точка), На левой симметричной полуплоскости расположим точно

такое же количество вихрей. Причем если (2.66) удовлетво­ ряется на правой полуплоскости с учетом влияния левой, то на левой полуплоскости оно также удовлетворяется. При располо­ жении вихревых шнуров на 1/4 длины панели п (доли хорды), а контрольных точек — на 3/4 этой длины и на середине вихре­ вой полосы к между двумя соседними свободными вихрями, при п-+-оо автоматически выполняется гипотеза Чаплыгина — Жу­ ковского, а суммы, которыми заменены интегралы при переходе от непрерывного вихревого слоя к дискретным вихрям, соответ­ ствуют главным значениям несобственных интегралов в смысле Коши. На приведенном рисунке угол стреловидности г-го вихря Xi на вихревом шнуре р постоянен и равен Хц.- В том случае, если рассматриваются крылья, кромки которых имеют изломы, схема моделирования не изменяется, но изломы вихревых шнуров дол­ жны быть такими же, как и изломы кромок, и, следовательно, углы стреловидности вихрей, расположенных на одном шнуре,

61

будут разными. Представим напряженность дискретного вихря i в виде

Объединяя (2.66) и (2.68) и имея в виду справедливость принципа наложения, получим три следующие независимые си­ стемы линейных алгебраических уравнений относительно Г,-: при смещениях крыла по углу атаки, при его деформациях по хорде и при вращениях относительно оси Oz. Эти системы имеют вид

Коэффициенты уравнений (2.69) можно определить следую­ щим образом. Рассматривая скорости, индуцируемые вихревым отрезком постоянной напряженности, с помощью формулы БиоСавара выражение для wyii можно получить в следующем виде:

где iiyij и Vyij — безразмерные скорости соответственно от при­ соединенного и свободных вихревых шнуров.

62

Эти безразмерные скорости имеют вид

крыло имеет вид, приведенный на рис. 2.7, т. е. образовано пря­ мыми кромками, то при равномерном расположении дискретных вихрей по хордам и полуразмаху выражения для аргументов

63

Г у .

= Y+dx,-а следовательно, y = -Li- ; и используя (2.51), получим dx

Подставляя (2.76) в (2.7), при замене ba на b0 и переходя от интегралов к суммам на правой полуплоскости при dz = li, по­ лучим для заданного вида скоса следующие общие выражения для расчета аэродинамических характеристик:

т

(2.77)

с у

/=1

Точно таким же образом можно в соответствии с (2.9) получить аэродинамические характеристики сечений крыла. Например, для крыла, приведенного на рис. 2.7, суммарные и распределен­ ные (для Тг=const) аэродинамические характеристики соответ­ ственна примут вид

m

64

Рассмотренный метод определения аэродинамических харак­ теристик крыла конечного размаха находит широкое примене­ ние на практике. С его помощью получены систематические дан­

/ 1 — №

нии линейных размеров вдоль осей Оу и Oz. Например, для кры­ ла с прямыми кромками, преобразованные параметры (с индек­ сом «М») будут иметь вид

Проводя решение с помощью рассмотренной выше методики для крыла с преобразованными по (2.79) параметрами и опре­

деляя аэродинамические характеристики ДЯм, су м и т 2м в фик­ тивной несжимаемой среде, можно получить эти характеристики для сжимаемого потока в следующем виде:

Аналогичный (2.80) вид будут иметь формулы для пересчета соответствующих характеристик сечений крыла.

Расчет аэродинамических характеристик крыла в дозвуковом сжимаемом потоке может быть проведен и иным, отличным от рассмотренного, методом, например, так как это сделано в ра-

боте [50]. Задача здесь также решается -в линейной постановке при моделировании крыла непрерывно распределенным слоем особенностей в виде диполей, потенциал которых удовлетворяет волновому уравнению и граничным условиям дозвукового обте­ кания. В результате некоторых математических преобразований над этой системой можно получить интегральное уравнение,свя­ зывающее распределение скоса потока на крыле в точках х, г с распределением давления по его поверхности в точках |, £. Для случая установившегося движения это уравнение можно приве­ сти к следующему виду:

Предполагая известным общий характер распределения дав­ ления по поверхности, частное решение можно представить в виде полинома с неизвестными постоянными коэффициентами, удовлетворяющего граничным условиям на кромках крыла. Для симметричного нагружения крыла это распределение нужно представить в виде полинома с четными степенями координаты £. Например, полином может быть задан в виде двойного ряда сле­ дующим образом:

где апт — неизвестные постоянные коэффициенты, подлежащие определению;

0 — угол вращения полухорды сечения £ относительно се­ редины хорды этого сечения.

66

Этот ряд удовлетворяет граничным условиям на кромках по­ верхности в дозвуковом потоке. Здесь давление вдоль задней кромки и концевых кромок, параллельных направлению потока,

ний относительно неизвестных коэффициентов, подлежащих определению. Дальнейший расчет аэродинамических характери­ стик не представляет трудностей и с помощью (2.82) может быть проведен, например, по формулам (2.7) и (2.9).

В том случае, если левая часть уравнения (2.81) представ­ ляет собой скос потока на единицу какого-либо параметра (на­ пример, а), то по (2.7) и (2.9) будут получены соответствую­ щие производные аэродинамических коэффициентов по этому параметру.

Подробнее основные положения этого метода и его практи­ ческое применение будут рассмотрены в 2. 3 для общего случая неустановившегося движения крыла.

С в е р х з в у к о в о й п о т о к . Решение задачи о сверхзвуко­ вом обтекании крыла конечного размаха так же, как и в случае профиля, часто проводят с помощью метода источников.

Потенциал скорости <р, вызываемый слоем источников, удов­ летворяет волновому уравнению (2.46) и для установившегося движения крыла имеет вид [16]

Здесь область интегрирования S находится в плоскости xOz, внутри характеристического конуса с вершиной в точке М, рас­ положенного в сторону потока. Эта область зависит от харак­ тера обтекания крыла сверхзвуковым потоком.В частности, если координаты передней (хп) и задней (х3) кромок крыла удовле­ творяют условиям вида

д<?

поверхности не выходят за пределы крыла, где производная----

ду

задана, и S определяется так, как это показано на рис. 2.9 для точки .(И (вертикальная штриховка).

Для тех точек плоскости, для которых область интегрирова­ ния выходит за пределы крыла, т. е. нарушаются условия (2.85), решение (2.84) можно получить, если найти нормальную к пло­

скости xOz производную — всюду в области интегрирования S.

средством применения формулы обращения интегрального урав­ нения Абеля, то решение для потенциала скорости в общем слу­ чае найдется с помощью суммы поверхностных и контурных

68

интегралов по крылу, включающих в себя или заданную на его

Если линии пересече­ ния характеристических конусов с плоскостью xOz многократно отража­ ются от концевых кромок, как это имеет место на стреловидном крыле весь­ ма малого удлинения, то выражение для потенциа­ ла скорости становится более сложным.

ду1

подчинить дополнительному условию на задней кромке крыла в соответствии с гипотезой Чаплыгина—Жуковского.

Интересующая нас функция давления АР связана с найден­ ными таким образом потенциалом скорости или потенциалом ускорения по формулам (2.32) и (2.22) для установившегося движения.

Для крыла произвольной конфигурации, обобщенная форма в плане которого приведена на рис. 2. 10, формулы для расчета

АР в отличных по аналитическому решению областях интегри­ рования можно записать следующим образом [16].

На точку, расположенную в области / (АЕ'ОЕА), концевой эффект и влияние вихревой пелены не сказываются. Эта область расположена вне характеристических конусов с вершинами

69