книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

ния. Для решения такой задачи нужно получить выражение для потенциала скоростей, индуцируемых нестационарным вихрем в любой момент времени t, удовлетворяющее волновому уравне­ нию. После этого легко составить уравнения, аналогичные (2.68), а следовательно, и решить задачу об изменении аэроди­ намических характеристик во времени.

Рассмотрим для данного случая схему моделирования крыла системой нестационарных дискретных вихрей (рис. 2.21). Раз­ биение крыла на N полос на полуразмахе производим так же, как и для расчета установившегося движения. Но в отличие от того, как это было сделано ранее,

моменты времени г непосредственно предшествовали моментам, в которых происходит скачкообразное изменение параметра q, а следовательно, и циркуляции присоединенных вихрей. Расчет­

величиной т8=хАт, где s = 0, 1, 2 ,..., г—1. Продолжительность интервала Ат должна быть равной или кратной расстоянию между соседними присоединенными вихрями.

При такой схеме в моменты, следующие непосредственно за расчетными, от присоединенных вихрей отделяются параллель­ ные им свободные вихри и образуются замкнутые, вытягиваю­ щиеся по потоку вихри постоянной напряженности. Обозначим

100

где qo — в зависимости от типа решаемой задачи представляет максимальное значение параметра (q или q).

В соответствии с принятой методикой можно установить связь между значениями относительной напряженности Г* в ра­ счетный момент времени и изменением этой напряженности

Вертикальная скорость, индуцируемая в точке j одним зам­ кнутым вихрем /, возникшим непосредственно после момента s

врезультате изменения напряженности присоединенного вихря,

врасчетный момент г имеет вид

мулам:

101

симметричным вихрем г', лежащим на левой полуплоскости, вы­ числяется по формуле, аналогичной (2. 139), если в последней заменить w на Ддо.

Величина Aw определяется по формулам (2.140), (2.141), причем там, где стоит двойной знак, следует брать -верхний знак,

a Zi и Zi нужно поменять местами. В том случае, если в (2. 140) один из знаменателей обращается в нуль или стремится к нулю, то расчет w или Aw следует проводить по формуле

Замечание о знаках здесь остается прежним.

102

Выполняя граничные условия непротекания во всех конт­ рольных точках в расчетные моменты времени, можно получить

систему уравнений для расчета относительной 'напряженности вихрей в виде

Здесь так же, как и раньше Ах — длина панели по хорде; /,■— ширина полосы к. Формулы (2.145) имеют одинаковый вид для 1-го и 2-го условий в (2.144), только в первом случае характе­

ристики отнесены к qQ, а во втором — к q0.

Таким способом можно определить аэродинамические харак­ теристики для любого произвольного закона изменения кинема­ тических параметров крыла во времени. Однако, если требуется исследовать несколько различных законов изменения этих пара­ метров, то целесообразно сначала получить переходные функ­

10 3

ции аэродинамических коэффициентов, а затем применить к ним интеграл Дюамеля.

дует отметить, что формулы для расчета точных значений пере­ ходных функций аэродинамических характеристик при т->0 для рассмотренных выше условий имеют вид

мических характеристик в начальной фазе движения. Точность решения здесь существенно зависит от числа вихрей, модели­ рующих крыло. Поэтому надежным способом проверки точности

дах исследования нестационарных аэродинамических 'характе­ ристик крыла в сверхзвуковом потоке. Для примера рассмотрим задачу о мгновенных смещениях крыла [2]. Такой подход позво­ ляет в дальнейшем применить интеграл Дюамеля и исследовать любые произвольные во времени смещения крыла. Общая по­ становка задачи и граничные условия для этого случая рассмот­ рены в разд. 2.1. Если составить выражение для запаздываю­ щего потенциала скорости точечного источника и распределить эти источники всюду в плоскости хОг, то можно получить фор­ мулу для расчета потенциала возмущенных скоростей, удовле­ творяющего волновому уравнению и граничным условиям при сверхзвуковом обтекании. Для краткости изложения вывод основной формулы для. потенциала возмущенных скоростей здесь будет опущен, а приведен лишь ее окончательный вид. Решение задачи удобно вести в безразмерных характеристиче­

ских координатах системы О\x\z\ и соответственно Oi£i£i. Связь между характеристическими координатами и координатами основной системы хОг примем согласно рис. 2. 22 в виде

-х — z —х 0, z1= x - \ - z — x0,

где

104

В этом случае выражение для потенциала возмущенных ско­ ростей имеет вид

проходят сигналы соответственно передним и задним фронтами

волны г1 = Т/Л(л:1 —-j) (z1 —(,1). Эти области лежат внутри харак­ теристического конуса с вершиной в точке х\, 1\ в плоскости

у = 0 (см. рис. 2.22).

105

Если иметь в виду (2.32), то можно получить аэродинамиче­ ские характеристики крыла в следующем виде:

где S — площадь крыла, X — удлинение крыла, а ф2 — уравнение задней кромки крыла в относительной характеристической си­ стеме осей координат.

В (2.148) коэффициент момента получен относительно на­ чала координат основной системы. Общие положения числен­ ного метода для указанной задачи сводятся к следующему. Крыло и область вне крыла разбиваются на равные ячейки так, как это показано на рис. 2.22. Ячейка считается принадлежа­ щей крылу, если ее центр .находится внутри контура крыла или на нем. Допускается, что вне крыла скос в фиксированный мо­ мент времени постоянен в пределах ячейки. Крыло задается таб­ лицей значений т, п, расположенных по его контуру. Здесь

106

следовательно, при суммировании в (2. 149) ячейка, включающая

В том случае если область интегрирования выходит за пределы

/ = 1 j=n2-1-1

107

г д е

| п/г при i<C m,

я*

{ /г— 1 при п = т,

х3 —- координата задней кромки.

В формуле (2.151) два первых члена представляют собой суммы по поверхности крыла; следующие две пары членов пред­ ставляют собой суммы по плоскости хОг вне крыла и вихревой пелены соответственно слева и справа от крыла; последний член представляет собой скос потока в области вихревой пелены. Если В'Цх) определяют вне вихревой пелены, то последний член в (2. 151) полагают равным нулю.

При расчете скосов по (2. 151) допускается, что уже известны скосы во всех впереди лежащих ячейках. Причем, если скосы ищутся, например, справа вне крыла и вихревой пелены, то вследствие симметрии крыла скосы вне крыла слева считаются известными; Таким образом, при определении потенциала ско­ рости в точке Xi, z 1 крыла необходимо произвести интегрирова­ ние по области, лежащей внутри линий пересечений характери­ стического конуса с вершиной в точке х\, z\ крыла с плоскостью

в (2.149), вычисляются точно в каждой ячейке. Поэтому, учиты­ вая только область интегрирования, ограниченную контурами

-)- 2х0У)4л("Гг)]) I

108

где

Ih jh

Ьошг

-о

Значения интегралов в (2.153) находятся по следующим формулам; .

J \ ]m n { ^ ) = ^ h { x ) [ |/ ( m — /ф - \ ) { п — у + 1) — V { m — i ) { n — у' + 1) —

— l/(m —/ + 1)(л — ;) — V(m — /)(я — у)], .

где о — область суммирования вне крыла.

109