книги из ГПНТБ / Кашин Г.М. Автоматическое управление продольным движением упругого самолета

обращает, потенциальную энергию в минимум. Или математиче­ ски

Здесь Ш —■изменение энергии деформации, обусловленное ма­ лым виртуальным перемещением тела;

b W — виртуальная работа внешних сил.

Рассмотрим применение этого принципа на примере консоль­ ной балки, подверженной поперечной нагрузке Q(z) (рис. 1.2). Выражение для прогиба балки можно записать в виде суммы

независимых произвольных функций fi(z), удовлетворяющих геометрическим граничным условиям, в следующем виде:

где cji — подлежащие определению обобщенные координаты.

Геометрические связи на левом конце консольной балки имеют вид

л ( 0 ) = / ;( 0 ) = о .

Давая балке некоторые виртуальные перемещения (см. рис. 1.2) и получая при этом выражения для работы внешних сил и из­ менения энергии деформации, вызванные изменением коорди­ наты bcfi в соответствии с (1.5) получим систему п совместных линейных алгебраических уравнений для неизвестных обобщен­ ных координат qu q2, . . . , q n B виде [5]

10

Как было отмечено выше, упругие свойства конструкции наиболее компактно можно выразить через коэффициенты влия­ ния. Компактность заключается в представлении упругих дефор­ маций с помощью матричной записи. Для большинства практи­ ческих расчетов по аэроупругости достаточно знать лишь не­ сколько правил матричной алгебры, которые можно найти, например, в работах [5, 40].

Рассмотрим консольную балку, нагруженную силой Qi и мо­ ментом Q2 (рис. 1.3). Имея в виду выражение (1.1) и исполь­ зуя принцип наложения, являющийся основным принципом при

где константы kij называются коэффициентами влияния жестко­ сти. В матричной записи уравнения (1.8), (1.9) имеют вид

Таким образом, коэффициент влияния гибкости 6гу есть смеще­ ние в г'-й точке конструкции, вызванное сосредоточенной единич­ ной силой (моментом), приложенной в /-й точке. Упругие свой­ ства конструкции, имеющей п расчетных точек, характеризуются п2 коэффициентами влияния, образующими квадратную матрицу порядка п в уравнениях (1.10). Коэффициент влияния жестко­ сти характеризует силу, которую надо приложить в г'-й точке для создания единичного прогиба (угла поворота) в /-й точке кон­ струкции. Коэффициенты влияния жесткости образуют квадрат­

11

ную матрицу порядка п в уравнениях (1.11). Коэффициенты влияния и их матрицы обладают свойством симметрии. Это свой­ ство выражается соотношением

В силу этого свойства, каждая из матриц коэффициентов влия­ ния равна соответствующей транспонированной матрице

Если систему линейных уравнений (1.10) разрешить относи­ тельно величин Q, то мы получим систему линейных уравнений (1.11), т. е. матрицу жесткости (kij) можно получить обраще­ нием матрицы гибкости

вместо обобщенных сил Qi, Q2 приложить поочередно единичные силу и момент. Результирующие смещения qx и р2 будут равны коэффициентам влияния гибкости 6;j. Для вычисления коэффи­ циентов влияния жесткости необходимо поочередно дать балке единичные смещения по координате qx (при р2 = 0) и поворот по координате р2 (при pi = 0). Сила и момент, требуемые для под­ держания балки в этих деформированных состояниях будут

ной сосредоточенной силы, деформации в г'-й точке будут иметь вид:

прогиб сечения

h

При приложении единичного сосредоточенного изгибающего момента деформации балки запишутся в следующем виде:

12

мента угол кручения прямолинейной балки будет

ll. 19)

о GJp(z)

Коэффициенты влияния жесткости можно получить в соот­ ветствии с (1.14) обращением матрицы коэффициентов влияния гибкости, рассчитанной по формулам (1.15) — (1.19). Определе­ ние деформаций балки с помощью коэффициентов влияния оче­ видно из (1.8).

2. Статические деформации крыла_ малого удлинения

Как было отмечено выше, балочная схематизация дает удов­ летворительные результаты в том случае, когда крыло самолета имеет достаточно большое относительное удлинение. Однако современное развитие авиации привело к созданию самолета со стреловидным крылом малого удлинения и, в частности, к само­ лету с треугольным крылом. Исследование деформаций поверх­ ности такого типа значительно отличается от исследования деформаций крыльев большого удлинения. Здесь существенное влияние на деформацию конструкции оказывает корневая часть крыла. Крыло в данном случае ведет себя как пластина, обла­ дающая заметной упругой кривизной в двух направлениях. Рас­ чет такой конструкции может быть проведен с использованием коэффициентов влияния.

Наиболее достоверно коэффициенты влияния крыла малого удлинения могут быть получены экспериментально на упруго подобной модели или на натуре. Однако часто возникает прак­ тическая необходимость в этих коэффициентах еще до того как построены самолет или его модель. В этом случае коэффициенты влияния определяют расчетным путем". Общие положения для расчета коэффициентов влияния сводятся к следующему. Кон­ струкция условно разбивается на группы составляющих ее эле­ ментов: лонжеронов, нервюр и кессонов (см. рис. 1. 1,6). Внеш­ няя распределенная нагрузка сосредотачивается в узлах конст-

13

со стороны групп силовых элементов, можно получить выраже­ ние для матрицы коэффициентов влияния жесткости в следую­ щем виде:

где Ksm— матрица коэффициентов влияния жесткости т-го эле­ мента s-й группы. Порядок этой матрицы равен числу узлов конструкции.

Обращением матрицы коэффициентов влияния жесткости (1.20) можно получить матрицу коэффициентов влияния гибко­ сти, если последняя существует. Коэффициенты влияния отдель­ ных элементов конструкции вычисляются известными способами. Например, для коэффициентов влияния консольно закрепленной балки можно использовать выражения (1.15) — (1.19), а для коэффициентов влияния жесткости кессона, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, выражение вида

hm, 1т, а-т— соответственно высота, длина и ширина кессона; tm — толщина обшивки;

G — модуль сдвига обшивки.

Выше были рассмотрены общие положения о деформациях кон­ струкции под действием статических нагрузок. Эти положения могут быть применены к исследованию статических деформаций самолета и, в частности, к расчету его аэродинамических харак­ теристик с учетом статистической аэроупругости.

1 .3 . ДЕФ ОРМ АЦИ И КОНСТРУКЦИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДИНАМ ИЧЕСКИ Х НАГРУЗОК

При действии динамических внешних нагрузок на конструк­ цию самолета в ней возникают силы упругих деформаций и до­ полнительно — силы инерции,, которые существенно изменяют характер нагружения ее элементов. Динамические нагрузки вы­ зывают не только поступательные и вращательные движения самолета, но и возбуждают колебания его конструкции. При сближении периодов действия внешних нагрузок с периодами

14

собственных колебаний конструкции, динамические нагрузки мо­ гут достигать значительной величины. Так же, как и в случае статических деформаций, будем рассматривать деформации кон­

1. Динамические деформации балочной схемы с непрерывно распределенными параметрами

Выделяя элемент балки длиной dz и составляя уравнения его равновесия в соответствии с принципом Д ’Аламбе­ ра, получаем, дифференциальные урав­ нения балки, находящейся под дейст­ вием динамической нагрузки в виде

где т и р — соответственно погонная масса и погонный момент инерции относительно оси, пересекающей ось жесткости и параллельной оси Ох;

GF — жесткость балки на сдвиг.

Уравнения (1.21) — (1.23) можно решить’при произвольном изменении по длине балки ее упругих и инерционных свойств и при любых практически встречающихся граничных условиях. Однако, практика показывает, что для относительно тонких ба­

15

Для того, чтобы решить (1.27), нужно иметь четыре гранич­ ных условия, характеризующие закрепление балки на обоих концах. Решая уравнения (1.26) и (1.27) при заданных началь­ ных и граничных условиях, найдем неизвестные функции r(t), f(z) и значение собственной частоты колебаний со.

Существует бесконечное число пар собственных частот и соб­ ственных функций, удовлетворяющих уравнению (1.27) при со­ ответствующих граничных условиях. Каждому значению (щ соот­ ветствует своя собственная форма колебаний.?^ (2). Таким обра­ зом, общее решение (1.27) будет найдено наложением частных решений (1.25) в следующем виде:

16

Нормальная функция нулевой частоты может быть получена, если в (1-27) положить со = 0. Решение дает уравнение прямой линии вида

Выражение (1.34) может быть представлено в виде двух нор­ мальных функций. Нормальной функции, соответствующей по­ ступательному перемеще­ нию балки как твердого

тела

f\(z)=b,

и нормальной функции, соответствующей враще­ нию балки как твердого тела,

f2{z) =kz.

Часто в первом случае функции присваивается индекс «—1», а во вто­ ром — «0».

Для примера на рис. 1.5 приведен вид нормаль­

а—консольная заделка балки; б—балка со сво­ ных функций однородной

бодными клинцами тонкой балки при консоль­ ной заделке и со свобод­ ными концами. Рассмотрим теперь деформацию тонкой балки,

находящейся под действием поперечной динамической нагрузки P(z, t). Ограничения, наложенные на балку, оставим прежними, т. е. G= oо и р = 0. В этом случае дифференциальное уравнение вынужденных колебаний балки будет иметь вид

Введем понятие «нормальная координата», которое означает прогиб в условной точке а балки, соответствующий некоторой форме собственных колебаний. Имея нормальные функции, про­ гиб, определяемый (1.35), можно записать по аналогии с (1.28) следующим образом:

i=1

где cji (/) — нормальная координата балки /-го тона. Подставляя (1.36) в (1.35), произведя интегрирование по длине балки с одновременным домножением левой и правой частей уравне­ ния на fi(z) и используя выражения (1.27) и (1.29), получим

18