Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Введем	в рассмотрение	спектральные		плотности
	ф	^ 5 )	- Hk(s)Hk(-s)		'
где Фк	(s)— спектральные		плотности	помех	пк (0- Теперь диспер

сия результирующей помехи є (t) может быть представлена в виде

ICO N

°* = Ш-	. 2		Ф * ® Fk (s) Fк ( - s) ds.
	— lіo o /г =		1
Задача состоит в минимизации функционала D E с учетом усло
вия абсолютной инвариантности (несмещенности оценки)
	S			Fk\s)=l.
	k=l
Теперь полная аналогия		с постановкой задачи, рассмотренной
в п. 29, очевидна. Система функциональных уравнений							имеет вид:
	/ 7 2 ф 2		FN®N		=	Ъ>
FN_\ON_I		— FN®N			=	і л / — і )
Способ решения этих уравнений изложен в п. 29.
Определив операторы FK		(s), находим искомые операторы Gk (s)
как
	Gk(s).			Fk(s)				(V.52)
	Gk(s).			Hk(&)		'		(V.52)
				Hk(&)		'
Полностью аналогично и определение операторов							Gk	(s) [точ
нее, соответствующих	им функций веса					Рк (t)] в случае		системы

сконечной памятью Т. Пусть

Fk	(s) = L [Pi (t)};	Pi (t) =	I " 1	[Fk (s)];
Gk	(s) = L [gk it)};	gk (0 =	L " 1	[Gk (s)};
1	H M O l ;	hk(t) = L - 1 r		1

С учетом (V.52)

gk{t) = \Pl{t)h{t-%)dx=\pl

{t-x)h(x)dx.

Функции P*k (t) находятся как решения интегральных уравне ний

	т
	\P\{r)K\(t		— x)dx=^(t),				0<t<T;
	о
		P(t)	=	0,	t<0,	t>T.
Здесь КІ	(t) — обратное		преобразование				Фурье «спектральной
плотности»
			Bill		A]	QtWQTis)'
где
			Qt(s)		=	^akisi;
dki — известные		or(s)		=	S ( - ' i ) W ;
dki — известные		коэффициенты.
Правая	часть	уравнения
			Ф* (0 = Е			су ер /'
является	решением дифференциального						уравнения
		AD	(р) Ф * (t)			= б (О-

Рассмотрим сравнительно простой пример, который, иллю стрируя применение изложенной методики, представляет опреде ленный практический интерес.

П р и м е р . Имеются два измерительных устройства, одно из которых предназначено для определения некоторой функции f (t), а другое — для опре деления скорости измерения этой функции /' (і). Функции / (t) и /'(t) измеряются с ошибками я х (t) и п2 (t), спектральные плотности которых соответственно равны

			Ф і ( 5 ) = al(J-s>)>			Ф г (	* ) =	І '
т. е. помеха пх		(t) является стационарным случайным процессом с корреляцион
ной функцией
			К 1 ( т ) = а 2 е - 0 " т 1 , o-2 = — L _ ,
							2а{а
а помеха пг (t)			— белым шумом.				несмещенных		оценок функции
Задача	состоит в определении оптимальных						несмещенных		оценок функции
/ (t) (случай	1),	и ее производной /' (<) (случай 2).					Поскольку N		= 2, уравнения
для определения			операторов Fx и F2	принимают вид:
			F^\-F^l		=	l;
			Fi	+ F%	=	1,

откуда в соответствии с методикой, изложенной ранее, получим:

			1			Фа
					( Ф ; + Ф ; ) -		+
							+	(V.53)
F2	= l~	Ft		1		Ф,
F2	= l~	Ft			Ф 2 ) +
			, ( Ф	І +	Ф 2 ) +		+
Случай 1. Здесь							+
			Я 1 ( р ) = 1; Я г ( р ) = р
И, следовательно,
		Ф, = Ф , =
		Фо==		Ф 2	. _	1
		Фо==			~ 2 ( - s 2 )
					~ 2 ( - s 2 )
Поэтому
Ф1 + Ф 2	=	a 2 a 2 - 6 2 s 2					AD
							AD
						а\а\	( а 2 - s2 ) ( - s 2 )	'
	fl2a2((x2-s2)(-52)					а\а\	( а 2 - s2 ) ( - s 2 )	'
где
	б 2	=	+	fl\|;	Л с =	а 2 а 2 —	b2s2,
Теперь
	(Ф			,_f_ _ fi^ct		-f- frs
	(Ф		+ Ф ) +		=
	v \ 1		z>		axa2 (a -f- s) і

( ; + Ф П - = — f c - 6 s

Ф s) ( - 5 )

Подставляя полученные выражения в формулы (V.53), получим

	Ft-	а\ (a + s) s
	Ft-	аха -f-т bs
		аха -f-т bs

Так как

a — s

s (^ a — bs)

где Л =

«1

Поэтому

_	a t (a +	s)	_	^
*	<j(ja +	bs		b

a — s

L s (axa — bs) J + '

s axa — bs '

3l2

Передаточная функция F 2 , найденная аналогичным образом, оказывается равной

	1
К + Ь) Ь	с^а % + Ь ах а 4- bs

Обратными преобразованиями Лапласа передаточных функций Fx (s) и F2 (s) являются «функции веса» Рх (t) и Р2 (t), равные

£1os_ •

(V.54)

a;	St /.іч і	% a
	S(0 +	-^-e

Теперь остается найти искомые операторы Gj (s) и G 2 (s), которые согласно (V.52). равны

		Нх " ^	~						1	a
0 l	-	Нх " ^	~						+ -jr	14	«
								s	+ -jr	14	«
		tf2	s	«і 4- Ь ax a 4- 6s						1
8		tf2	s	«і 4- Ь ax a 4- 6s						i +
8

Передаточным функциям					Gx (s) и G 2			(s) соответствуют		функции	веса gx (0
и g 2 (0,	равные
					6 ( 0 -0, ( 1 - - ь . )						(V.55)
											(V.55)
			g2	(0=		Й2
			g2	(0=		(Ol +	b
Решим теперь эту же задачу для системы с конечной памятью											Т.
Интегральные			уравнения			принимают вид:
				^Pl(t)K\(t-%)d%				=	y(t);
				о
				т
				j Р 2		( т ) к ; ( * - т ) о - т =			ф(г),
					a,a
где ф (t) =		Сх е 6	4- С2 е		6	, так как AD			= afc 2 — 62 p2 .
Функции /(J (0			и ^	(0	— обратные			преобразования		Фурье функций
						1

^ ( a 2 - s.24) И Ф 2 =

Нахождение этих функций не требуется.

Поскольку

Qi (Р) =

<А ( « 2

Р2 ); Q2 (Р) =

( -

Р2 );

Qf = аг(а+

р);

=•• а2р;

QY =

аг

(а — р);

QJT = — а.2р,

выражения для функций веса

принимают

вид:

2 2 \

А > А

А ' А

Я 1 ( 0 = ^ ( - а - ^ - ) ( с 1 е *

+ С 2 е

J +

. ( - ^ ) + с * ( ° + ^ ) ] в ( / ) + -

С,

а, а

( ° — г )

}

(V.56)

Р 2

(0 :

-аіА^-\С^

+ С 2 е

а,а .

б2

2 - Т ( с і - С 2 ) б ( 0

2 flia

а.а

•С2 е

8(t

— T).

а.2

Следовательно, система

уравнений

для

определения

постоянных С х и С 2

будет:

Сх К

-Ь)

С2

(а,

Ъ) •• a, a

° 1

Cj (ах + 6) е ь

+ С2

К - &) е

= О,

откуда

С1 =

(ах — 6) е

аха

1(0!

—b) е

—

(ах

Old

(«і

Ь) е

а, а

Подставив полученные

значения

Сх и С 2 в выражения

(V.56),

получим оконча

тельные выражения искомых функций

веса Рх (t) и

Р 2

(<)•

Рассмотрим предельный случай, когда рассматриваемая система превра

щается в систему

с бесконечной

памятью.

При f -ТОО

					С,	= q	= б;
			^2 — ^2 :				1
			^2 — ^2 :			аха (ах		-4- Ь)
^	( 0	-	^ [	а	( і	- ^	)	6(0
Р\	(0	=	• К	+	Ь) &			•в (О

Эти выражения тождественно совпадают с выражениями (V.54), полученными ранее при решении задачи для системы с бесконечной памятью.

Найдем теперь непосредственно интересующие нас функции веса g± (t) и g2 (t).

В соответствии с изложенным ранее

	,2„2		t
	а,а			+
(t) = Pl(t) = a{\a.i	~ J yc,t	"	+C 2 e

b{t-T);

f		Г	а ' а	/	+ С2	е	*
2(t)=\P2(T)dT	= al^L[-Cle		ь		+ С2	е	*
• _ d vi - е * у + с Д і - e					й		;
	сЛі-		• С, \ 1 — е

Поскольку G 2 (р) =	— F р), делению на s в области				s соответствует инте
грирование в области t.	Выполнив эту	операцию и подставив Т ->оо, получим:
Cl	— Cj — 0; С 2	— С 2	—	1
Cl	— Cj — 0; С 2	— С 2	—	(ах -f- Ь)
			аха	(ах -f- Ь)
		Є	*	+ б	(0
	« о

* 2 ( 0 = - К + b) b

Эти выражения тождественно совпадают с выражениями (V.55), п олученными ранее для системы с бесконечной памятью.

Случай 2. Очевидно, что

и,

следовательно,

ф 1 =

( _ 5

2 ) ф 1 =

a 2

( « 2 - s 2 )

Ф 2

Поэтому

,2„2

62s

Ф, +

Ф„

a,a

— s2 ) '

a 2 a| ( a 2

где

б 2 = а\ + а|.

Теперь

^ » \ +

ЯІ<Ї 4- 6s

( Ф 1 + Ф 2 )

axa\ ( a — ) '

Значит,

(a +

ax a2

(a — s)

a 2

( a

i a ~~

a l

-f

1 + — s

a, a

a^a

(a +

(—

s2 )

(a —s)

ax a

+ &s

d\ ( a 2

— s2 ),

(a^a — 6s)

a 2

(a +

— S'

ax a +

(a +

(a^a — 6s)

a,і a

a 2

^ ^ + ( ^ + 6 ) ^

a\ ~ ^ J + S

b (ax +

(ox a

6s)

6а

ax a

1 +

J _ ( , + - J L \

6а

a, a

Заметам, что как в случае Т*^, так и в случае F2 сомножитель [... ] + равен целой части дробно-рациональной функции, заключенной в скобки.

Искомые операторы	имеют	вид:
		1 + — S
6\ (s) =		sFt (s) =	а
		1 + -	s
G2 (S) =	f 2 (S) :		а, а
G2 (S) =	f 2 (S) :	6 К + b)	l + _ b _ s	'
		6 К + b)	l + _ b _ s	'

Аналогичным путем можно получить решение других, более сложных в вы числительном отношении задач.

32. ОПТИМИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотренные выше методы синтеза абсолютно инвариант ных многоканальных систем могут быть обобщены на общий слу чай многомерной системы, изображенной на рис. 26.

Здесь mi (t) и ti[ (t) (і — 1, 2, . . n) — полезные сигналы и помехи на входе; yt (t) (і = 1, 2, . . ., т) — сигналы на выходе;

4 я '

1—+о

Ч к > —

				Рис.	26
zi (0	(t = 1, 2,	. . .,	/и) — идельные			(желаемые)		сигналы	на вы
ходе,	имеющие	вид
	г,=	2	Hu{p)mj{t),		1=	1,	2, . . .,	т,
		i=l
где Я/ ; - (р) — операторы				идеального		преобразования.
В	соответствии со схемой
	и (о =		2	ад) /().	/ = і ,		2 , . . . .	/и,	(V.57)

(=1

где Flt (р) — операторы, набор которых "определяет работу си стемы.

то

Если перейти к

передаточным

функциям

Ft!

(s) =

Ftj (p)|p = s >

их можно рассматривать как элементы передаточной матрицы

~Fu(s)

Fu(s)

• •

•

Fln(s)

F(s)

Fn(s) F22(s)

. . .

F2n(s)

_Fml (s)

Fm2

(s)

. .

. Fmn

(s)

Обозначим

спектральные

плотности

(s) =

0..,

(s) =

(в) =

(s) =

, Ф

(s) =

;

передаточные

функции

(s) =

Л/. Л / (— S)

операторы

идеального

преобразования

Hu(s)

Hlh

Н„'(-8)

Н„.

по

Дисперсия любой из ошибок et

определяется,

как

известно,

формуле

со

2ш

®eeds-

Ошибка

ег

«/г

(V.58)

Любой из сигналов zt

может быть представлен

в виде

zt{t)=

Hlk(p)mk{t).

Принимая во внимание формулы (V.57), (V.58) и рис. 26, для

спектральной

плотности

ошибки

получим

выражение

F..O

xj4

/М= 1

I, ZjXj

Чг1

(V.59)

Если в качестве критерия оптимальности многомерной си стемы выберем минимум суммы взвешенных дисперсий ошибок всех каналов

mm.

1=1

где у( — весовые коэффициенты, то этот критерий сводится к сле дующему:

D e = m i n , . / = l , 2, .. . .,

от.

(V.60)

Из условия (V.60) с учетом выражений (V.59) получим т неза

висимых систем функциональных

уравнений

вида

дФ,

Ф,

Ь{,

/ = 1 , 2 , .

п.

(V.61)

dFij

Например,

если

имеем

Фі2^2 +

Ф , 1 Г / =

Ф 2 І ^ І + Ф 2 2 ^ 2 + Ф 2 3 ^ З - ФХ2*І =

5/2;

Ф Л

Ф32^/2 +

Фзз^з -

®*т =

Формальные решения

такой

системы имеют вид

(V.62)

ik •

'ik

где

Ф ц Ф і 2 -

•

Ф1„

Ф21Ф22

•

•Фгп

Ф«іФл2

•

®пп

что определитель

D (s)

функцией. Определитель D[k получается из D путем замены

k-ro

столбца

столбцом

^xizi

Im +

Ф,;

Таким

образом,

Dik

0# +

bilth

(V.63)

/ = 1

где 0^ и i|)/ y - — суммы произведений

спектральных плотностей

Фц

и Ф*,^-

Найти эти

выражения

каждом

конкретном

случае

не

представляет

труда.

(V.63), F l

Принимая

во внимание выражение

k можно

предста

вить в

виде

вік-

%hj

Flk

/ = 1

ИЛИ

FikP — Qik =• 2

Уц\ц.

(V.64)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ