Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

в виде

Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравне ния Винера—Хопфа в комплексной области, а правая часть не совпадает.

Представим Flk

Fik = S F\u-

Тогда уравнение (V.64) будет эквивалентно п уравнениям вида

FitD-cfltb^ltulti,

(V.65)

если

£ СІ =

Каждое

уавнение

(V.65) можно

представить

виде

_ D

щъ. __

(V.66)

представим D =

Воспользовавшись

методом

факторизации,

— D+D~ ,

'ФІ/'Ф/у

Следует

иметь в виду,

что if^. не является

четной функцией, поэтому

сомножители гр* и

—

несимметрич

ные. Уравнение

(V.66)

перепишем

виде

D+D~

(V.67)

F\Ik

Разделив

выражение (V.67) на

D-

получим

D+

(V.68)

—-

l>7/0

*7/

результате

сепарации

выражения

Oik

найдем

Ър-

він

iik

вік

tip'

+• tip'

уравнение

(V.68),примет

вид

F\ik

D+

вік

etk

tip

Левая часть этого уравнения имеет полюсы в левой полу плоскости, а правая часть — в правой полуплоскости. Следова тельно,

Г Ik — Ч г>+ tip

(V.69)

Полюсами F)k являются только нули числителя D+ и те нули знаменателя 8^, расположенные в левой полуплоскости, которые

совпадают	с полюсами		операторов		идеального		преобразования
Htk- Действительно,		полюсы		tyij сокращаются,		а	числитель	D+
содержит все полюсы		%1к, расположенные в левой полуплоскости,
кроме полюсов Qlk,		обусловленных			операторами		Н1к-
Таким	образом,
		ГУІ		с.М1..
		ГУІ		l	Ik
		Г Ik —		л+0Пв+н	Ik
					Ik
где AD — числитель		D+;	B?Hlk	— знаменатель		операторов		Hlk,

входящих в Qlk, с нулями в левой полуплоскости; M\k — поли номы.

Окончательно оптимальную передаточную функцию Flk можно представить й виде

Flk = % F\k =

' + І JM\k =

, (V.70)

где Mtk — полином с неизвестными коэффициентами. Коэффи циенты этого полинома найдутся в результате подстановки выра жений (V.70) в исходные уравнения (V.61), которые должны при этом обратиться в тождества. Для этого необходимо, чтобы в ле вых частях уравнений (V.61) сократились все полюсы, располо женные в левой полуплоскости. Число линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов полиномов ока зывается, как правило, больше числа этих коэффициентов, однако число линейно независимых уравнений равно числу коэффициентов.

Для определения оптимальной передаточной функции (или оптимальной функции веса) многомерной системы с конечной па мятью рассмотрим схему, приведенную на рис. 26, где mt (t) — полезный сигнал (i = 1, 2, . . ., п), представляющий собой про извольную (детерминированную или случайную) функцию вре мени; nt (t) — помеха, являющаяся стационарной случайной функцией; Рц (f) — элементы матрицы функции веса; zt (t) — идеальные желаемые сигналы на выходе (/ = 1 , 2 , . . . , пг); е, (/) — ошибка реального выходного сигнала yt (t).

Если в качестве критерия оптимальности многомерной системы выберем минимум сумм взвешенных дисперсий ошибок всех ка налов

т
Q = Е	ViDei	=	min,
/=і
где у і — весовые коэффициенты,		то	этот	критерий сводится
к следующему:
Dsl = min,	/ = 1,	2,	. . .,	т.

Так как рассматривается система с конечной памятью, т. е. выполняются условия

	Ри	(/)	= 0 , t < 0 ,	t > Т,	(V.71)
то	система уравнений	для	каждого из	выходов	представляется
в	виде

пТ

		2	J Рік (т) Kjk (t -x)dx-		KXjZl	(0	= 0,		(V.72)
где	/Су/	(т) — корреляционные функции					входных	сигналов;
Kjk	(т) — взаимные			корреляционные	функции		тех же	сигналов;
KXJZI (т ) — взаимные				корреляционные функции входных и					жела
емых сигналов.
	Если не учитывать условие (V.71), то преобразование								Фурье
уравнений		(V.72)	даст
п
2	Ф,кҐ1к-Фхгі		= 0, / = 1, 2, . . .,		п, / =	1,	2, . . .,	m.	(V.73)
k=i

(аргумент s опущен). Формальные решения системы (V.73) имеют вид

F'ik = 2g,			(V.74)
где D — определитель этой системы, а определитель			Dlk получен
из определителя D заменой &-го столбца столбцом из свободных
членов. Решение (V.74) можно	переписать	в виде
flkD	= Dtk.		(V.75)
Выражение (V.75) еще не	определяет	искомую	функцию Ftk

непосредственно, так как здесь не учитывается в явном виде память системы Т. Поэтому представим (V.75) следующими эквивалент ными интегральными уравнениями, куда время наблюдения Т входит уже непосредственно:

г
\	Pik (т) Ко V -	т) dx = KDlk	(t),	(V.76)
о
где
Ко (0 =	LY1 [D (s)];	KDlk (t) =	L - 1 [Dlk	(s)].

Каждое уравнение (V.76) решается по известному методу. Огра ничиваясь случаем дробно-рациональных спектральных плотно стей, представим D (s) в виде

п	(s) -	АІ£І
и	( S ) ~	в (s) •

Применив к обеим частям уравнения (V.76) сначала оператор

А(р)

затем

(р),

где р

~соответственно

получим:і:

^ "

І М

A(p)f(t)

KDlk(t);

(V.77)

P!k

B(p)f(f),

0<t<T

Общее

решение уравнения (V-76) примет вид

B+(p)H(t)y1(f)],

= 0

Рш (0

B(p)f{t)

0<t<T

(V.78)

(p)[l

(T-t)

y2(t)},

t=T

<0,

t>T

где

произведена

факторизация

функции

В (р) = В* (р) В~ (р).

Функции уг (t)

и у2

(t) определяются следующим образом:

У і

(І)

В-

(р) / (/);

у2

(/) =

В+ (р) f

(t).

Необходимые 2т произвольных постоянных, входящих в функцию

/	(t), определяются граничными условиями:
	y[k) (t) \ t = 0 = 0,		(t)\i=T	= О, k = 0,	1,	. . ., т -	1,
где 2т — порядок полинома А				(р).
	П р и м е р .	Рассмотрим	двухмерную систему,		схема	которой	приведена
на	рис. 27.
	Пусть тх (t)	= т2 (t) =	т (t) — полезный сигнал — случайная				функция,

корреляционная функция и спектральная плотность которой известны: Кт (т) —

= о 2 е ~ a l х I; Фт (s) = J^a°^ ; Пх (t) и п2 (0 — помехи (белый шум), корреля

ционная функция и спектральная плотность которых соответственно равны:

КПі	(т) =	а\Ь	(т); K„t (т) = а\Ь	(т);	Ф ^ (s) = а\;	Ф „ 2 (s ) = а\. Помехи меж-
ду	собой	не	коррелированы,	т. е.	^ n l n 2 ( s ) =	0.

Надо определить оптимальные передаточные функции (или оптимальные функции веса) для случая, когда г (t) = т (t).

Необходимые спектральные-плотности имеют вид:

«т.

а ° 2

А1

- а Ь

х і Х і

Ф П = Фт

®п>

-tfZTs*

а \

~ 5 І Г Г Р - 5

і *

2 а ° 2

^ - а 2

Фх,*,

= Ф 2 2

Ф,1 2 =

- 0

7 — Г + а

2 =

A 2 _ S 2

где

А\

2аа2

а 2 а 2 ;

А\

2аа2

а 2 а 2 ;

^ .

2аа2

ФіЯ =

Ф21 =

^ 2

ч'х2хх

—

— ^х2 г — ^іг — ^гг—

_ s 2

Фх,х»

Ф*»*, =

Фх,г = Фхог =

Фіг = Ф

Уравнения

(V.73) для

этого

примера

будут:

F 1Ф 11

F 2Ф 12

Фи;

(V.79)

f 1Ф 21 + ^ Ф 2 2

= Ф? г-

223

С учетом выражений спектральных плотностей систему уравнений (V.79) можно написать в виде '

Ft	Д2	Q2S%	2cra2a2	,42 ^_ 52^2			2ал?а\
Ft	а 2	— s2	а 2 — ss -;	F2 а 2	— s2		а 2 — s2 '
где
		А2 = 2аст2	(а\ + а\)	+ а2а\а\\	В1	=	а\а\

	Рис.	27
Эти два уравнения можно привести		к	одному
А2	— B2s2			2а	(V.80)
	— s2		а 2	— s2 '	(V.80)
	— s2		а 2	— s2 '
так как
Fx =	o2 a2 F;	F 2	=	o2a\F,

Уравнение (V.76), соответствующее уравнению (V.80), имеет вид

J P(*)KD{t — t)dT! = KD1{t)1

где

Л 2 — B 2 s 2

0"= —

Р (t)

L-4F (s)].

Уравнение, соответствующее (V.77), примет вид

(A*-BV)f(t):

-at

(V.81)

Решая уравнение (V.81), получим

— і

- — t

Определим функции yt (t) и у2 (/):

* w = - i ^ W e ~ ° " + с - ( ° - 4 ) ^ + с

( а

+ 4 ) г

й ( 0 = С 1 ( а + 4-)ев

+ С 2 ( а - А ) е

Найдем коэффициенты Cj и С 2

из условий

I/J (0) = 0,

у2

(Т) — 0.

Получим

(

-~вт

Л2 — В 2 а 2

'(-°

2а

Л \

Д 2

П О _ . о 1

r\ I

—

С2

( ° - 4 ) v * L K 4 )

Выражение (V.78) примет

вид

2 2

- - Л

Я (0 = ( а 2 - р 2 ) / ( 0 =

а 2 В д 7 Л 2 ( С і е й + С з е

) ( ° ^

^ ^

р (0 = о, * < о , f > г.

б-функции и их производные в данном примере отсутствуют, поскольку поли номы А (р) и В (р) имеют одинаковый порядок. Таким образом,

P1(t)	=	a2alP(t);
Р 2	(0 =	а2а\Р	(Q.
Решим теперь этот же пример для системы с бесконечной памятью. Урав
нения (V.61) принимают вид:
^ Ф ц + ^ Ф і г = Ф т + lu
F ^ 2 1 + F ^ 2 2 = 0 m			+ \| 2 .

Передаточные функции Fx и F 2 согласно (V.62)

_ ki + k2s ,	_ /t + 4 s
l ~ Л + Bs	2 ~ Л + Ss '

Подставив их в уравнения, приведенные выше, получим тождества, из ко торых

2ао2а\ 2ахга\ k l = А + Ва ' г і = Л + Ва '

&2 = /2 = 0.

Таким образом,

2ao2 a\|	1	^	2ao2 aj	j
А+Ва	A + Bs '	2	Л + Ba	Л + Bs

15 Я. М. Цейтлин

225

Эти же выражения можно получить, положив Т -*оо в

выражениях для

системы

с конечной

памятью.

Тогда

Cj = C j = 0;

С 2

= С 2

Функции

веса

примут

вид:

„

2ao2«2

- —

2аа2а\

Р і { і ) = =

(А +

Ва)В Є

Р з ( 0

= (Л +

В а ) В

Интересующие

нас

передаточные

функции

получим

как

преобразования

Лапласа

найденных

функций

веса:

2ao2al

2аага\

Г1

Л I

Во,

Л І

С '

Г 21

—

А +

Ва

A +

Естественно, что эти выражения тождественно совпадают с выражениями, полученными ранее.

33. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВИНЕРА—БУТОНА

Сформулируем задачу синтеза оптимальной линейной неста ционарной системы, обеспечивающей минимальное значение дис персии ошибки в любой момент времени.

Сигнал на входе

	х (/) = m (t) +	п (t),
где- m	(t) — полезный случайный	сигнал;	п (t) — случайная
помеха.	Обе эти функции предполагаются		нестационарными.

Через z (f) обозначим желаемый полезный сигнал на выходе идеальной системы.

Реальный сигнал на выходе синтезируемой системы

y(t)=,\x(x)P(t,x)dx,

где Р (t, т) — функция	веса синтезируемой			линейной нестацио
нарной системы, т. е. системы		с переменными параметрами.
Ошибка системы в любой момент времени				t
			t
e(t) = z(t) -	y(t) =	z(t) — \	x(т)P(t,x)dx.
		0

Дисперсия этой ошибки равна

D (t) = М[гЦЩ = M J[z (0 — J х (т) Р {t, х) dt]2J ,

или

D(t) — M z2 (t) — 2Jz (t) x (x)P (t, x) dx

t t

j jx (T) x (a) P (t, x) P (t, a) dx do

о0

Так как функция веса является неслучайной (детерминирован ной) функцией и по определению

М [z2 (t)] = К2г (t, t);

	М	[z (t) x	(т) ]		-	Kzx (t,	т);
M		[x ( T ) X(O)]			=	Kx» ( T , a),
выражение для D (t)		принимает			вид
				t
D {t) =	/Сгг (4 0 -		2	оJ Kzx		{t, x) P(t,	x) dx +
	t	t
+	\\Kxx(x,o)P(t,x)P(t,					a)dxda.
	о	0

Задача состоит в определении функции веса оптимальной си стемы, т. е. функции Р0 (t, т), минимизирующей функционал D (t). Если представить Р (t, х) в виде

(t,

х) = Р0

(t,

х)

ag (t, т),

где

а—произвольная

константа;

(t,

х) — произвольная функ

ция

веса,

получим

D (0

Кл

(t, 0 -

J* К2Х

(t, т) Р0 (/, т) dx

\\Кхх

(т, о) Р0

it,

х) Р0

(t, a) dx da +

о о

J j Kxx ( T ,

a) £

(f, t).g

(/, a) dt da

о 0

2a j Kzx

(t, T ) g (t, x) dx +

a j

a) P 0 ft x) g ft a) dxda +

4- я j

K * (T, a) P 0

a) g ft T) dt da.

(V.82)

о 0

227

Заметим, чїо первые три члена правой части (V.82) представ ляют собой дисперсию на выходе оптимальной системы, т. е. си стемы с фунцией веса Р0 (t, т). Иными словами,

				і
Dmln	(0	=	Кгг (t, t) -	2\KZX	it, х) Р0 (t,x)	dx -f
	t	t		о
	t	t
+	j \КХХ		(T, a) P0	(t, x) P0	it, a) dx da.	(V.83)
	о о

Четвертый член является положительной величиной

іt

I = a2\ J Kxx{x,o)g(t,x)g{t,o)dxdo,

о 0

так как он представляет собой дисперсию сигнала на выходе си стемы с функцией веса g (t, х) при поступлении на вход этой си стемы функции ах (t), а дисперсия не может быть отрицательной.

Два последних члена правой части (V-82) равны между собой, в чем можно легко убедиться, заменив переменную в любом из интегралов, учтя при этом симметричность корреляционной

Ф У Н К Ц И И

Кхх

( Т ,

О).

Таким

образом,

- t

D(0 =

D m m ( 0

+ / + 2 a

\Кхх

(т, о) g (t, х) Р0

(t, a) dx da —

— \ Kzx(t,

x)g(t,

x)dx\

Так как дисперсия на выходе неоптимальной системы не может

быть меньше дисперсии

на

выходе оптимальной

системы, причем

/ — величина положительная,

константа

функция веса

g (t, т),

произвольны,

необходимым

условием

оптимальности"

является

равенство нулю выражения в квадратных

скобках, т. е.

J Кхх (T> a )

8 V,

т)

(t, a) dx da

—

о 0

-JKzx((,T)g(t,x)dx

= 0.

(V.84)

Поскольку

согласно условию

физической

осуществимости

(t,

т ) ^ 0 , т < ( ;

8(t,

T ) '

= 0,

т >

выражение (V.84) оказывается справедливым только в том случае, когда имеет место равенство

lKxx(r,a)PQ(t,a)da	= Kzx(t,x),	x<t,	(V.85)
о

называемое интегральным уравнением Винера—Бутона или моди фицированным интегральным уравнением Винера—Хопфа.

Подставив (V.85) в (V-83), получим

t
£>m,n (0 = Ка (t, t) - J Р0 (t, Т) Кгх it, х) dx.	(V.86)
О
Таким образом, получены два важных результата —	интеграль

ное уравнение оптимальной системы (уравнение Винера—Бутона) и выражение для дисперсии ошибки на выходе оптимальной системы.

Заметим, что первый член правой части (V.86) — это та часть дисперсии ошибки, которая имеет место при отсутствии системы,

т. е. в том случае, когда к полезному входному сигналу	приме
няется оператор желаемого преобразования. Второй член	правой

части (V.86) характеризует влияние системы, наличие которой уменьшает рассмотренную выше ошибку за счет оптимального подавления преобразованной помехи.

При некоторых ограничениях, наложенных на статистические характеристики случайных функций, интегральное уравнение (V.85) можно свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которые достаточно просто решаются на цифровой вычислительной машине. В 1956 г. М. Шинброт предложил метод решения уравнения Винера—Бутона, основанный на предполо жении о том, что входящие в это уравнение корреляционные функции могут быть представлены в следующем виде:

їл(')Мт ). т < ' ;

Kxx(t,x) = 9 = 1

«7=1

Q	cg-(t)bv(x)
= 2

иди, если воспользоваться векторными обозначениями,

К х Л Г ' Т , - 1 а ( т ) - Ь ( * ) ,	x>t;
/С»(*,т) = с(9-Ь(т),

(V.87)

(V.88)

где а (і),	МО» с (0 — векторы, компонентами которых являются
aq (t), bg	(t), сч (t); точкой обозначены скалярные произведения
соответствующих векторов.
Такое	представление корреляционных функций является до

статочно общим для множества задач, интересных в практическом отношении.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 2523 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ