книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

Оценкой

корреляционной функции

является

iCxx (К

ti) = - = - Ц - 1

[xt (h) -

тх

(U)] [xi (t2) - mx (t2)],

где mx (t) определяется по

формуле

(II.2).

ционную

функцию.

Выражение для а2 (t)

можно

представить

в виде

а2

(0

= М {lx° (r\) +

тх

(*,)]

[х° (t2)

+ тх

(*,)]}

=

- М

lx° (tj) х° (tt)

+

хй (tx)

тх

(t2)

+ х° (t2)

тх

(tj

+

+

тх

(r\) тх

(t2)]

=

Кхх

(tlt

t2)

+ тх (t{) тх

{t%),

так как

х (t)

=

х° (0 +

т Л

(О

и

М

[JC° ( f j тх

(t2)}

=

тх (t2)

М [х° (t,)}

=

0;

М

lx° (t2)

тх

(tj)]

-

тх

(tj)

М

[х° (/,)]

=

0.

Заметим,

что

при

t± — t2

= t

корреляционная

функция

Кхх (^i>

обращается

в

дисперсию. Действительно,

Кхх

(/, 0 = М [х° (t) х° (О] = М {[*° (0121 = Dx (0.

ных

случайных

функций — х (t)

в моменты

времени

tu

t2, .

. .,

tk,

и

у (t)

в

моменты

времени

ti, t2, .

. .,

t'k2 — характери­

зуется

неслучайными

функциями — смешанными

(взаимными)

начальными и центральными моментами этих случайных

функций.

Смешанный

начальный

момент

порядка

kx

+ k2

случайных

функций х (f) и у (Ґ) определяется

как

a*,*,(h,

h,

• • •, hi,

ti, t2,

...,

t'kl)

=

=

M[x

(ti) x (t2)

...x

(tkl)

у (t[)y (ti):

. . у (/J,)]

=

CO

CO

==

J . . . J

xxx2

. . . xklyxy2

. . . ykjk^k,

X

—

CO

— C O

X (Xl, X2, .

. ., Xkt,

У , У2,

.. ., Укг,

К t2, . . .,

tkl,

t{, t2,

. . ., t'k)

X

X dxi dx2

. ..

dxki

dyi dy2...

dyk%,

Соответствующий

смешанный

центральный

момент

порядка

кх

+

k2

определяется

как

f ^ M s ^ i . h

4,,

t{, t2, ..

.,

t'k2)~

=

M{[x(h)

— mx (h)] [x(t2)

— mx{Щ

.. - . [* ( K )

— mx(tkt))

x

X [y (ti) -

my (ti)] [у (t2)

-

my

(Щ] ..

Ay

(**,) -

my

(«,)]}

=

CO

CO

—

j

. . . j

[JCI — mx{h)\

. . . [xkl

—mx(tkl)]

x

CO

-co

X

[yi~my{t[)\

.. ,[ykt

—my(t'kt)]

fkl,

kt(xi,

x2

xkx%

yu

№....

. ..

Укг, h, t2, ...,

thx,

t'u ti,

..., t'kl)

dxi

dxl...

dxkl

dyi dy2 . . .

dyk%.

Наибольший интерес представляет второй смешанный цент­

ральный

момент

«) =

ц і л ( * ь

t2) = M{[x(ti)

— mx{tx)\{y{t2)

— ту(Щ

=

=

j"

J

їх — тх

(tx)] [у — ту

(tt)] fx,

х (х,

у,

tx,

t2)

dxdy

= Кху

(tlt

t2),

—со —со

взаимная

корреляционная

функция

случайных

функций

х (t)

и у (t)

при фиксированных значениях аргументов tx

и t2

представ­

ляют

собой корреляционный момент

(момент

связи)

случайных

величин х

(tx)

и у

(t2).

и у (t) являются коррелированными,

Случайные функции х (t)

если их взаимная корреляционная функция Кху

(tx,

t2)

не

равна

тождественно нулю. Если же Кху

(tx,

t2) = 0,

случайные

функ­

ции х

(t)

и у

(t) являются

некоррелированными.

Второй

случайный

начальный

момент можно выразить

через

= M lx« (tx)

у* (t2)\

+ my

(t2) M [x° (tx)]

+mx

(tx) M [y* (t2)] +

+ mx

(tx) my

{t2) =

Кху (k, t2) +

mx

(tx) my (t2).

iCy (tu І2) =

t \xt (U) - mx (h)) [yi {U) - my (t2)],

yt(t) = \P(t,x)Xi(x)dx.

(II.3)

о

і

M[y{t)] = my{t) = M j Р [t, х) х (т) dx = J M[P{t,

x)x{x)]dx.

t

t

ту {t) = \P(tK

т)М [х(г)] dx =• \ Р(t,

х)тх(т)dx.

о

о

y { t ) = d x M _ =

p x { t ) i

у (t) = \x{x)dx=

-^-х(0,

m. (t) = \ tnx(x)dx =

-^mx(t).

Это следует их определения

Kxx(tx,

t2)

=

М

[х° (tx)

х°

(t2)];

Kxx(t2,

tx)

=

М

[х° (t2)

х°

(tx)).

и равенство

левых

частей.

Кхх

(tx,

t2)

вид

Геометрически

корреляционная

функция

имеет

поверхности,

симметричной

относительно вертикальной

плоскости,

проходящей

через бис­

сектрису координатного угла

txOt2

(рис.

10).

2.

При

равенстве

аргументов

tx

=

t2 =

t корреляционная

функ­

ция

(равная

дисперсии

случайной

функции

при

данном

значении

аргумента

/) неотрицательна. Дей­

ствительно,

Kxx(t,

t) = M{[x°(t)]*\=Dx(t)

=

со

=

J [x-mx(t)ffx(x,

t)dx^0;

—со

так

как

подынтегральная

функ­

ция

неотрицательна.

Кхх

Корреляционная

функция

(ht

h)

равна

нулю только в

том

случае, если

при

t

=

tk функция

Рис

10

х

(t)

имеет

неслучайное

значение,

одно и то же для всех

реализаций.

Если Кхх

(t,

І) равна нулю

при всех значениях

t,

функция

х

(t)

является

детерминированной (неслучайной),

3. Корреляционная функция Кхх

(tx,

t2)

удовлетворяет

соот­

ношению

I Kxx{tx,

t2) \^VKxx(tx,

tx)Kxx(t2,lj

= VDx(tx)Dx(t2)

.

(II.4)

Это

следует

из

очевидного

соотношения

или

м [[x°(tx)уоЖ-х°(4)УоЖУ]2}

-

^ о ,

-

М \DX (tt)

[х0

(tx)\2

+

Dx (tx)

lx° (t2)f

-

2 VDX

(tx)

Dx (t2)

x° (tx) x° (t2)}

=

= Dx

(t2)

M{t*°

+

Dx

(tx)

M

J [x° {t2)f

\

-

-

2 У Dx (tx)

Dx

(t2)

M [x9 (tx)x°

(t2))

^

0,

(II.5)

При

tx —

t% = t получим дисперсию

производной случайной

функции.

Взаимная корреляционная функция двух случайных

функций

х (t) и у

(t)

обладает

аналогичными

свойствами.

Основное

отличие

состоит в том,

что взаимная корреляцион­

своих аргументов,

т.

е.

Кху

{к,

к)

=h Кху

(t2,

tx).

Действительно,

Kxy{tx,

t2)

=

М

[х° (tx)

у°

(t2)];

(II.6)

и

Kxy(t2,

tx)

=

M

[x° (t2)

y° (tx)]

являются различными функциями. Кроме того,

Kyx(h,

t2)

=

М

[у* (ti)

х°

(t2)];

(II.7)

Kyx(t2,

tx)

=

M[y°(t2)X<>(tx)Y

также являются различными функциями. Однако из

сравнения

(II.6) и (II.7) следует,

что

Кху (^i> ^2)

=

Кух

{t2,

tx);

Кху

(^2)

^і)

=

КуХ

(tx,

t2),

\Kxy(tx,k)\^VDx(k)Dy(t2).

Доказательство

аналогично

доказательству

соотношения

П.4.

Взаимная

корреляционная

функция Кху

(tx,

t2)

тождест­

венно равна нулю при соблюдении следующих условий:

случайные функции х (t)

и

у (t) статистически

независимы

(не коррелированы);

одна из функций является неслучайной;

обе функции неслучайны.

Из этого следует, что взаимная корреляционная функция

двух

случайных функций х (t) и у

(t) не изменится,

если

к

функциям

х (t) и у (t) добавить неслучайные слагаемые

cp (t) и iji (г*).

8. Если случайная функция

непрерывна

и ее дисперсия

огра­

•x°(t2),

отчего равенство не нарушится:

Кхх (tu к) -

Кхх

(t[, h) = М [х°

х° (t2) -

х° (t[) х° (t'2)

+

+

х° (*,) х° (Q

-

х° (h) х° (Q]

= М

[х° (tl)

[х° (t2) -

х° (t2)}

+

+

х° (Q [х* (tx) -

х° (t[)]} =

М{х°

(tl) [х° (t2) - J

(Q] j

+

бой

очевидное

обобщение

(II.4)., можем написать

I Кхх (tu

t2)

- Кхх (t'u h)

I ^ VDx(ti)Mi[x°(t2)-x0(t2)]2}

+

+ VDx(QM[[x9{fO-x°(t'l)]%

(П.9)

При

непрерывности

случайной функции

х

(t)

выражения

М

(h)

—

х°(t[)Y\

и M{[x°(t2)—

x°(t'2)Y}

сколь

угодно

малы, если достаточно малы разности

] t\ —• t

| и

112

— t2\.

Следовательно, при^

ограниченной

дисперсии

Dx

(t)

правая

рывность случайной

функции.

Аналогично, если непрерывна взаимная корреляционная функ­

ция случайных функций х (t)

ну

(t),

то и эти функции непре­

рывны и наоборот.

В качестве примера найдем выражение взаимной корреляци­

онной функции Кху

(tx, tz)

для функции х {t) на входе динамической

системы и функции у (t) на ее выходе.

Обозначим функцию веса системы Р (t, х). Очевидно, что

y(t)

=

^x(x)P(t,x)dx;

о

І

my(t)

=

jmx(x)P(t,x)dx;

о

y»(t)

=

\x»(x)P(x)dx,

о

где

,v° (t) - х

(0

— тх

(t).