Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2520 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Динамическая эквивалентность			состоит		в соблюдении равенства,
откуда следует,	что	Z — ZX	—	Z2 ,

Ф а	= Fa	= 1 - F l 5		Ф 2 = F, = 1 - F a .
При соблюдении	этих	условий	каждая		из трех рассмотренных

схем решает одну и ту же задачу с одной и той же точностью. Для случая, когда число источников информации N ^> 2, про

зрачность второго подхода теряется и его непосредственное при менение затрудняется, так как появляется произвол в использо вании всевозможных разностей у{ — г/у-, i=f=j. Первый же подход и в этом случае остается в силе, позволяя сравнительно просто получить однозначное оптимальное решение.

29. СИНТЕЗ АБСОЛЮТНО ИНВАРИАНТНОГО ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОКАНАЛЬНОГО ФИЛЬТРА С БЕСКОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ [12]

Задача состоит в установлении метода целесообразной обра ботки информации, поступающей от ряда измерительных устройств, приборов или систем (именуемых в дальнейшем датчиками инфор мации), на выходе каждого (каждой) из которых имеется сигнал

укЦ) = т + пкЦ), k=\,2,...,N,

(V . l)

где х (t) — интересующий нас полезный сигнал, являющийся про извольной детерминированной или случайной функцией времени; nk{t) — помеха (ошибка данного датчика информации), представ ляющая собой стационарую случайную функцию либо результат преобразования такой функции произвольным линейным опера тором.

Необходимо получить оптимальную (в смысле минимума дис персии результирующей ошибки) несмещенную оценку функции

X (t).

Ограничиваясь классом линейных систем, можно, имея набор линейных операторов F k (р), сформировать некоторый новый сигнал

	*(') =	S Fkip)Ун	(0,	(V.2)
который с учетом	(V.1) принимает вид
	г (0 =	2 " (0 + є(0,
где
z ° ( 0 =	S Fk(p)x(t);	8 ( 0 =	%Fk(p)nk(t)	(V.3)

— новый полезный сигнал и помеха.

Для того чтобы функция (V.2) представляла собой оптималь ную несмещенную оценку функции х (t), необходимо и достаточно обеспечить соблюдение следующих двух условий:

N	1
	I ;	(V.4)
D [е (t)] =De	= min, ]

первое из которых является условием абсолютной инвариант ности системы по отношению к полезному сигналу, т. е. условием несмещенности оценки 2° (t) = М [х (t) ], и второе—условием оптимальности (в смысле минимума дисперсии ошибки в установив шемся режиме).

В случае линейных систем с бесконечной памятью установив
шаяся дисперсия результирующей помехи є (t) равна
і со
— ico
где Ф 8 Є (s) — спектральная плотность результирующей		ошибки
(V-3).
Будем считать, что помехи в различных каналах nt	(t)	незави
симы (или, по крайней мере, не коррелированы). На	практике
это часто имеет место, поскольку датчики информации	(например,

оптические, радиолокационные и магнитометрические измерители расстояния) являются, как правило, приборами, принцип дей ствия которых основан на различных физических законах и, сле довательно, нет оснований предполагать наличие зависимости

между их ошибками. Тогда взаимные

корреляционные

функции

и спектральные

плотности

будут

К/, (т) =

Ф , /

( 8 ) =

Ф / / ( 8

) =

i=hj.

(V.5)

С учетом (V.5) спектральная

плотность

сигнала

є (t)

Ф е Е (s) =

S Ф, (s) Ft

(s) Ft(-

s),

(V.6)

где

Ф(. (s) =

Ф^ (s) спектральные

плотности

помех

(t)\

(s) =

(p)

\ p

= s — передаточные

функции

фильтров

в соот

ветствующих

каналах.

Таким образом, задача состоит в определении

передаточных

функций

(s),

минимизирующих

функционал D g

удовлетво

ряющих

условию абсолютной

инвариантности

[первое

уравнение

(V-4)].

Найдем

условия минимума

функционала

Iсо

—t o o

где Ф Ё Е (s) определяется выражением (V.6).

Пусть
• Fk(s) = F°k(s) +	akfk(s),	k=l,2,...,M,	(V.7)
где Fl (s) — передаточная	функция	оптимального фильтра;	ак —

произвольная константа; fk — произвольная функция с полюсами в левой полуплоскости.

Последнее требование вытекает из того, что как оптимальный фильтр с передаточной функцией F°k (s), так и любой (неоптималь ный) с передаточной функцией Fk (s) должны быть устойчивыми системами.

С учетом

(V.7) функционал

£>£

принимает

вид

І со

\ Ф «

( s

) d s

= Ш

1 Ф

« ^

(*). Рг ( s ) , . . .

• •., FN(s),

(—s),

Фг

(s),

...,Фц

(s)] ds =

fa, a3,

. .

. ,

aN).

Поскольку

Fk{s)

f%(s) +

akfk{s);

Fk(—s)

FU—S)

fk{-s),

условиями стационарности функционала Ds

будут

ЙОД Іа^а^-.^Одг-о

2JU

ЙОД

j a

=• •

-=aN=0'

—і CO

k=\,2,...,N.

Так как Ф Е 8

(s) зависит от

(s) и Z7* (—s),

Fk (s)

(—s)

зависят от ak,

производная

дФге(в)

^ d0££(s)

dFk(s)

а Ф £ Ё ( 5 )

dFk(-s)

dak

dFk(s)

dak

dFk(-s)

дак

дФе е (s) f

/„-,

дФЄе (S) f

„ч

поскольку

3FA (S)

dak

—i^""

dak

Условия стационарности принимают вид

		1	г	a 0 E e ( s )	,	,
	да.	2лГ	J	- В Д Г / Л (	)	+
		l си
	+ -Ш	I - ^ W ^ n ~ s ) d s		= 0, * ( s )	=	rt(S)f	(V.8)
k=\,	2	/W.

(так как в точке ах

=1, 2,. . ., Заметим, что Ф 8 8

функции Fk (s) и Ff t тому

= а2 = • • • = ам = 0 Fk (s) = F°k (s), & =

(s) является четной функцией s, в которую (— s) входят совершенно симметрично, поэ

дФее	(и)	дФее (V)
dFM	(«)	dFk{-v)
д Ф Е е	(")	дФгв(у)

(и)u=s dFk(—v)

Следовательно, заменив s на (—s) в одном из интегралов, входя щих в (V.8), получим второй интеграл.

Таким образом, условиями стационарности интересующего нас функционала будут

і ОО	100
2я і
Fk(s) = F°k($),	k=l,2,...,N.

Аналогично тому как это было сделано ранее при рассмотрении одномерного случая, можно показать, что условия стационарно сти (V.9) являются условиями минимума. Все дальнейшие рассуж дения полностью совпадают с приведенными в гл. I I I .

Окончательный результат состоит в следующем. Передаточные функции Fk (s) оптимальных фильтров, обеспе

чивающих минимум установившейся дисперсии результирующей

ошибки	є (t),	определяются системой функциональных уравнений
		д Ф Е е (s) =	Ь,	k=l,2,...,N,	(V.10)
		OFк (s)
где 1й — пока		неизвестная	функция,	все полюсы которой	распо
ложены	в правой полуплоскости.

13 Я. М. Цейтлин

193

С учетом условия абсолютной инвариантности S Fk (S ) 1

число	уравнений		(V.10)	уменьшится			на единицу,		т, е. их будет
яе N,	а N—	1, так как
			FN(s)=l-		S		Fk(s).
Поэтому					k=i
Поэтому				N-l
				N-l
		Ф в е ( 5 ) = S ® * ( S ) ^ ( S ) ^ ( - S ) +
				fe=l			N—l
	+ Ф*		1	S Fk(s)	1	-	S	Fk(-s)
					1	-	S	Fk(-s)
Функциональные уравнения (V.10)							примут вид
							JV-I
	^ \| .	= O A ( S ) F A ( S ) - O J V ( S )					*=1
							*=1
k=l,	2, . .	N—	1.
Так как
			1 - У ^ ( 8 ) = М 8 ) , '
уравнения -(V.10)			можно	переписать		в виде
	®k(s)Fk(s)-Q)N(s)FN(s)			=	tk,		k=\,	2,	N=l.

Эти N— 1 уравнений вместе с условием абсолютной инвариант ности дают систему N уравнений, решение которой определяет N искомых передаточных функций Fk.

Система уравнений имеет вид:

<S>1F1-0NFIR = t1;

• Ф А = Е.;

		(V.11)
®N-IFN-I—®NFn	=.	l N . i ,
F1 + F T + . . . + F t t		= l , J

где для простоты аргумент s не указан. Формально алгебраически

разрешив систему уравнений		(IV. 11),		получим
	Fk	=	Dk	(V.12)
			D
где	О	. . .
Фі	О	. . .	О	- Ф
О	ф 2	. . .	О
	о		ФN-1	(V.13)
О	о		ФN-1	- Ф л г
1	1		1	1

Определитель Dk	получается				из определителя				(V.13) в		резуль
тате замены элементов k-vo столбца правыми								частями		соответст
вующих уравнений.				определитель D — это сумма							N сла
Нетрудно показать,		что		определитель D — это сумма							N сла
гаемых, каждое из которых представляет собой произведение N— 1
различных спектральных			плотностей Ф^, т. е.
	Л = 2 П , Ф А										(V.14)
						П	вк
где	Аь
	Аь
Ф/г =	~ -	(Ak,		Bk	— полиномы			от	s2);
				N							(V.15)
		AD=.%Bt				UtAk.					(V.15)
		AD=.%Bt				UtAk.
				1=1		ИФІ
Например, при	N — 3
D = Ф 2 Ф 3 + ФХ Ф3 + ФХ Ф2 = В і А * А з +							Вхага3		+ B * A l A * .
							Вхага3
Определитель Dk можно				представить			в виде
					АГ—1
	Dk		= Qh + S								(V.16)
где
				Є*=	П	Ф ;					(V.17)
(т. е. 6Й является	одним		из слагаемых				определителя			D);
				Е	П т	Ф Л	/ =	*
ФА/ =		\|	-	П		Ф т ,	/	*			(V.18)

О , j = N.

Выражение (V.18) можно переписать в виде

іфк	тфі		1
П Ві		П в, '	1
П Ві		П в, '
іфк			(V.19)
П	Л^		(V.19)
П	Л^
іфк,	іФ\
П	в*
\|^ іфк,	іФі

із*

195

Например, при N = 3

Фи

ф 2

+ ф з .

f i 2

= —Ф»,

Ч>« =

* и

— ф з .

^22 =

ф і

+ Ф3 .

^23

= 0;

Подставив

^31

— Ф 2 .

*32

- ф і .

* м =

(V.16)

в (V.12),

получим

-5- (в* +

ЕЖ,),

6 =

/V.

(V.20)

Заметим, что полученное формальное решение (V.20) имеет полюсы как в левой, так и вправой полуплоскости, и следовательно, не определяет искомую передаточную функцию Fk (s) устойчивой системы.

Представим полученное решение в виде

f * D - e * = 2 S i ^ , k=l, 2, N. (V.21) Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравнения

Винера—Хопфа	в комплексной области (Fk — искомая	функция
с полюсами в левой полуплоскости; D—известная четная функция;
0£ — известная	функция), а правая часть не совпадает	(так как

в правой части уравнения Винера—Хопфа стоит одна неизвестная функция | с полюсами в правой полуплоскости).

Представим

искомую

функцию

виде

Fk =

Nf!

Fkh

k=l,2,...,N,

.(V.22)

l=l

где функции Fkj,

так же как и функция Fk,

имеют полюсы только

в левой

полуплоскости.

Теперь с учетом (V.22) каждое

уравнение

(V.21)

эквивалентно

следующим

N—1

уравнениям:

Fkp

ckjQk

ltfkh

k=l,2,...,N,

j =

1, 2,

.. ., N - 1,

где Ckj — неизвестные

(V.23)

постоянные

коэффициенты,

удовлетворяю

щие

условию

ck,=

/=1

виде

Перепишем уравнения (V.23) в

еь

Каждое из этих уравнений уже имеет вид уравнения Винера— Хопфа в комплексной области. Решением такого уравнения будет

Fkj =	1	J U J	efc	(V.24)
Fkj =	Ckj D+ *k,D-\+	*' D+	^tjD-	(V.24)
так как г\|?ft/				+
так как г\|?ft/

196

С учетом (V.14), (V.15), (V.17) и (V.19) получим из (V.24) сле

дующие	выражения.	k
1. Для случая / • =		k
		4 ^ B t		П	А,. П		в+Пвт
	Р	4 ^ B t		іфк	іфк
	At		YlS+	ПВ+П			В^А+АЪ
		іфк		іфк	іфк
			А$В+	Вк	П At
	Ckk		А$В+		іфк
			А+		іфк
				і ЧАъ		j
				і ЧАъ		j	+
		Apt		Mkk	Ckk'			(V.25)
		4		Ч	Ckk'		A+	(V.25)
							A+
где M k k
где M k k	— полином, коэффициенты				которого могут быть опреде

лены по известным правилам разложения на элементарные дроби. Однако определять их, как будет показано ниже, нет необходи

мости.				j ф k
2.	Для случая			j ф k
р			П		A+UB+	U	А , П			в , Ш г
р			іфк, іФі		BfA+	і+к	іфк,	кФі
			П		BfA+	ТІВ+ПВь		П		А+АЪ
Г	kj	L-kj	іфк,	"ІФі		іфк	іфк	іфк,		іФі
				В+В+ П		А+	ЧЧ	п	А	Т
			Chi		іфк, ІФі			іфк
			Chi		А+		ЧЧ
					А+		ЧЧ			+
										+
	_ ґ	В+В+		П	Af	lkj	В+	П		А+М.кі-
	_ ґ		іфк,		іФі	lkj		іфк,	іФі		(V.26)
	СкІ			Л+	'	D+ • _	Lkl		А +		(V.26)
	СкІ			Л+	'	D+ • _	Lkl		А +
						ч

где M k ] - — полином, коэффициенты которого могут быть опреде лены, однако в этом нет необходимости.

Выражения (V.25) и (V.26) имеют один и тот же вид

Fki = ^ ~ ,

k=l,2,...,N,

/ = 1 , 2

N - l ,

(V.27)

где M l j — некоторые полиномы, коэффициенты которых не опре делены.

Теперь, подставив (V.27) в (V.22), получим

, k=l,

чч

(V.28)

197

где M/t — некоторые полиномы с неопределенными коэффициен тами.

Коэффициенты этих полиномов однозначно определяются в результате подстановки (V.28) в исходные уравнения (V.11), которые должны обратиться в тождества. Выполнив подстановку, получим:

	ли*
	BUk	А+	BP*
S	M k 4			N— 1
k-1	= 1,	к	=1,2,	N— 1
	A+

или

						(V.29)
k=i	1, k=	1,	2,	. . .,	W — 1.
4
Д л я соблюдения первых N—1			тождеств (V.29)			необходимо
соблюдение условий:
MkAkB-J,-MNANBj	=	0,	k=	1,	2, . . . .	(V.30).
	=	0,	k=	1,	2, . . . .	(V.30).

Если степень полинома в числителе (V.30) оказывается выше сте пени полинома в знаменателе, то к [••• ]+ следует относить также целую часть и члены, содержащие s в положительных степенях.

Для соблюдения последнего тождества (V.29) необходимо ра венство коэффициентов числителя и знаменателя при одинаковых степенях S.

Следовательно, если степень полиномов в числителе оказы вается выше степени полинома в знаменателе, то следует поло жить равными нулю коэффициенты при s в степенях, превышаю щих наивысшую степень s в знаменателе. Заметим, что коэффи циенты числителей тождеств (V.29) представляют собой суммы произведений искомых коэффициентов полиномов Mk и известных коэффициентов числителей и знаменателей спектральных плот ностей.

П р и м е р . Пусть
Л/ = 3;
2„—а.	* з ( т )	•2р-а„ \| х I

Тогда

9 1 2 a 2 C T 2 1

Фз (s);

'2а3 ст3

«зЧ«з-*2 )

° з ^ 2

Отсюда

1 — 2 ' "2 — „ 2 ' "3 — - 9

2а2 о2

2а2 а3

л і

— ^2 —

— 1;

B x = e ? . fi2 = a 2

2 ( a 2

2 - S

2 ) ,

B 3 = 4 ( a i - s 2 ) ;

B+ = a i ,

B + = a 2

( a 2

s),

B + = a 3 ( a 3 + s);

B f = e I ,

B2-=a2(a2

— s),

Bi - =

a 3 ( a 3 - s ) ;

В соответствии

(V.15)

До = д2 _ 52 8 2 = = в 2^2 _ р 2 0 ^

где

Л 2 = а 2

+ а 2 а | + а 2 а 2 ;

2 _

, „2.

= а 2

+ а 3 ,

Л ^ =

Л + Bs == В (р0

s);

Лд = А — Bs =

В (р0 — s

где Po = - g --

Согласно

(V.28)

І + Bs

po + s

V 1

p o + s '

__ Мг (a2 + s) a 8

'M2 a2

a 2 + s _

a 2 + s

Г 2 _

Л + Bs

po + s

A * p o + s

M 3 (a 3 + s) а 3

^ M3a3

a 8 + s _

a 3 + s

Г з

Л + Bs

po + s

Л з

Po + s

Подстановка

Fk (k — 1, 2, 3) в исходные уравнения

дает

^і«з(Ро +

« 2 ) - ^ з « і

#2а 3 (Ро + а з ) -

^За 2 (РО +

°2) =

iC2 aa +

^з«8 = Ро'.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2520 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ