книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

сходящегося, по крайней мере, при малых значениях s (что со­ ответствует большим значениям t), то из сравнения двух выраже­ ний для Y (s) следует, что

Си = С* •

Коэффициенты С* находятся путем деления полинома М (s), являющегося числителем передаточной функции, на полином N (s), являющийся ее знаменателем. Деление осуществляется по обыч­ ному правилу деления полинома на полином.

Таким образом, моменты функции веса, найденные по каждому из трех способов (делением числителя передаточной функции на знаменатель, дифференцированием передаточной функции по s с последующим приравниванием s нулю и интегрированием произ­ ведения функции веса на время в соответствующей степени), ока­ зываются одинаковыми, как и должно быть.

Заметим, что если функция на входе х (t) такова, что ее про­ изводными порядка, большего, чем /, можно пренебречь, т. е. если входное воздействие меняется достаточно медленно, то функ­ ция на выходе у (t) в установившемся режиме полностью опре­

Моменты функции веса играют важную роль при синтезе систем. Предположим, что задача состоит в заданном преобразо­ вании сигнала на входе, т. е. функция х (t) должна быть преобра­

цию веса, соответствующую оператору идеального преобразова­

ствующей оператору идеального преобразования. Такие условия имеют вид

со

lxkP(x)dx=[i0k,

О

даточная функция системы F (s) в результате подстановки в нее

s = /СО.

Фаза гармонического колебания на выходе отличается от фазы соответствующего гармонического колебания на входе на величину аргумента того комплексного выражения, в которое обращается передаточная функция системы F(s) в результате подстановки

внее s =^т

Всвязи с изложенным функция

F (/со) = F (s) | s = 1 ( 0 = Re [F (/со)] + Im [F (ico)]

называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой си­ стемы.

в последнем заменить букву р, имеющую смысл оператора диффе­ ренцирования, буквой s, имеющей смысл комплексного перемен­ ного — аргумента преобразования Лапласа), следует, что зна­ менатель передаточной функции формально совпадает с левой частью характеристического уравнения (если в последнем заме­ нить обычно принятую букву К буквой s).

Таким образом, полюсы передаточной функции (те значения s, при которых ее знаменатель обращается в нуль) являются кор­ нями характеристического уравнения.

Так как стационарная система, описываемая линейным диф­ ференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, будет устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части всех корней характеристического уравнения отрицательны, условием устойчивости системы является требование нахождения всех по­ люсов передаточной функции в левой полуплоскости.

Иными словами, передаточная функция устойчивой системы не должна иметь ни одного полюса в правой полуплоскости, т. е. должна быть аналитической функцией в правой полуплоскости (включая мнимую ось). Существуют алгебраические (Гурвица, Раусса) и частотные (Найквиста, Михайлова и др.) критерии

устойчивости. Сущность упомянутых критериев достаточно хо­ рошо изложена в обширной литературе'тю теории автоматического регулирования и управления.

Не будем касаться здесь этих вопросов, так как при синтезе оптимальных систем требование устойчивости учитывается авто­ матически: оптимальная система (т. е. система, удовлетворяющая заданному критерию оптимальности) ищется в классе устойчивых систем — таких систем, передаточные функции которых не имеют полюсов в правой полуплоскости.

Заметим, что не только передаточная функция, но и функция веса позволяет судить об устойчивости системы. Действительно, если система устойчива, функция у (t) на выходе системы должна быть ограниченной при поступлении ограниченной функции х (t) на вход системы.

В соответствии с выражением (1.68) функция на выходе выра­ жается через производные функции х (t) на входе и моменты функ­ ции веса. Для того чтобы функция у (t) была ограниченной, тре­ буется ограниченность моментов функции веса.

dtv

Глава II

СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

И . С Л У Ч А Й Н Ы Е Ф У Н К Ц И И

ИИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Вреальных системах автоматического управления сигналы на их входе и выходе весьма часто являются не детерминированными,

аслучайными функциями, т. е. функциями, конкретный вид ко­ торых меняется от опыта к опыту.

Иногда случайные изменения характера протекания процессов

вотдельных конкретных опытах невелики и ими можно прене­ бречь. В этих случаях допустима идеализация, сводящаяся к тому, что соответствующие процессы считаются детерминированными функциями. Однако во многих очень важных ситуациях указанная идеализация оказывается недопустимой и соответствующие про­ цессы следует считать случайными функциями. Система автомати­ ческого управления осуществляет, таким образом, преобразование случайных функций, в связи с чем возникает проблема установле­ ния закономерностей такого преобразования.

Прежде чем перейти к установлению этих закономерностей, необходимо дать определение случайной функции и ее основных характеристик [10].

Под случайной функцией х (t) понимается функция, значение которой при каждом фиксированном значении аргумента t яв­ ляется случайной величиной, а при каждом фиксированном опы­ те — некоторой неслучайной функцией (данной реализацией слу­ чайной функции).

Это определение иллюстрируется рис. 9, где изображено не­ сколько реализаций случайной функции х (t). Реализации обо­

является детерминированной функцией— кривой 1, при фикси­ рованном опыте № 2 — детерминированной функцией — кривой 2 и т. д.

мента / равна математическому ожиданию той случайной вели­ чины, в которую обращается случайная функция х (t) при данном значении аргумента.

На практике, когда плотность вероятности f1 (х, t) неизвестна, использование формулы ( I I . 1) не представляется возможным. В этом случае оценка математического ожидания может быть опре­ делена в результате статистической обработки полученных реали­

Начальные и центральные моменты порядка к, характери­ зующие степень разброса случайной функции х (t) в любой мо­ мент времени t, являются неслучайными функциями и опреде­ ляются по формулам:

со

Очевидно, что эти функции при каждом значении аргумента t равны соответствующим моментам той случайной величины, в ко­ торую обращается случайная функция х (t) при данном значении аргумента. Наибольший интерес из них представляет уже рас­ смотренное математическое ожидание случайной функции

со