Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Это отношение не зависит от		как следует из (1.32), тогда и
только тогда, если			. д$
дф , .		Эф	. д$
дх	дх	ду	ду
.	-	-.	,

или

т. е. если соблюдаются условия Коши—Римана (1.31). Когда эти условия выполнены, функция W = W (г) называется аналитиче ской функцией или просто функцией комплексного переменного Z,

а отношение	=	W	(z) — производной этой функции				ПО Z.
Эта производная,		которая, как следует из (1.32) и (1.33),					равна
dW _	w ,	, .	_ _Эф_ ,	• _£Ф =	JN>_ _	• _5ф_
dz		^ '	дх '	дх	ду	ду '

находится путем обычного дифференцирования по аргументу г аналитической функции комплексной переменной W (z). Функция W (z) — аналитическая в данной области R; в каждой точке этой области она однозначна, непрерывна и имеет конечную произ водную.

Точки, в которых функция W (z) не аналитическая, называются особыми. Особенности функции комплексного переменного очень важны, так как они определяют ее поведение в комплексной пло скости. В особой точке производная функции W (г) или не суще ствует или зависит от способа (пути) приближения к этой точке.

Различают три типа особых точек: полюсы, существенно осо бые точки и точки ветвления. Нас в дальнейшем будут интересо вать полюсы.

5. ИНТЕГРАЛ от Ф У Н К Ц И И КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО
Пусть функция / (г) = ср (х,	у) + ity (х, у)	и ее производная
/' (г) однозначны и непрерывны	во всех точках	некоторой части

плоскости. Положим, что Г есть дуга некоторой кривой, проведен ной в этой части плоскости.

Интегралом функции /		(z), взятым по дуге Г, называется		кри
волинейный интеграл
	J f (z) dz =	J (ф +	Щ (dx + і dy) =
	г	г
-	} (ф dx -	tydy) +	/ j (i\|> dx + ф dy),	(1.34)
	г		г
взятый по этой	кривой.

Заметим, что оба подынтегральные выражения в правой части (1.34) представляют собой полные дифференциалы. Действи тельно, если первое подынтегральное выражение — полный диф ференциал некоторой функции Р (х, у), а второе — полный диф ференциал некоторой функции Q (х, у), то

Ф dx —1|5 dy

tydx •

дР . , дР ,

	дх	(1.35)
	dQ	(1.35)
	dQ

Из первого выражения (1.35) следует, что

9 =	дР		дР
9 =	дх		ду
откуда
д*Р	_	ду	dty	(1.36)
дхду		ду	дх '	(1.36)
Из второго выражения	(1.35) вытекает, что
,	dQ		dQ
откуда
	=	а ф =	_ ^ _		(1.37)
дхду		дх	ду	v	'
Выражения (1.36) и (1.37) представляют собой условия				Коши—
Римана (1.31).

Таким образом, подынтегральные выражения (1.34) действи тельно являются полными дифференциалами, в результате чего интеграл (1.34) не зависит от пути интегрирования, т. е. от кри вой Г, а зависит только от положения начальной и конечной то чек z0 и гг этой дуги.

Таким образом, условия независимости контурного интеграла (1.34) от пути интегрирования совпадают с условиями Коши— Римана (1.31), т. е. с условием аналитичности (регулярности) функции. Отсюда следует основная теорема Коши, состоящая в том, что интеграл, взятый по произвольному простому замкнутому контуру от любой аналитической функции комплексного пере менного, как для всех точек плоскости внутри контура, так и на самом контуре равен нулю.

Рассмотрим случай, когда функция F (z) при некотором г = а обращается в бесконечность, причем точка z = а расположена внутри замкнутого-контура Г.

В точке z = а функция F (г) имеет полюс. В этой точке она не аналитическая 1 . Во всех же других точках внутри контура Г и на контуре функция F (г) является аналитической.

Замкнутый контур Г изображен на рис. 1, а. Точке М соот ветствует г = а. Опишем вокруг точки М круг радиусом р, вы берем на этом круге две точки G и F и соединим их произволь ными линиями с произвольными точками А и В контура. В ре зультате получатся два простых замкнутых контура I (ABFCGA)

и I I (AGDFBA), обходимых	в положительном направлении, т. е.
так, чтобы ограничиваемая	площадь оставалась слева.

Рис. 1

Для каждого из этих двух контуров

\F(z)dz = 0;	\F{z)dz = 0,
і	и

так как точка М лежит вне этих контуров. Поэтому

\F(z)dz+

\F(z)dz = Q.

іи

В состав этих двух интегралов вошли

J F (z) dz = — f F (z) dz

AG	GA
И

\F(z)dz =	—	JF(z)dz,
BF -	FB
которые можно не учитывать,	так	как в сумме они исчезают.

Тогда из остальных частей образуются два контура — первона чальный контур Г, обходимый в положительном направлении, и

1	Если в некоторой точке z —. b функция F (г) обращается в нуль, то функ
ция	F (г) имеет нуль в этой точке.

круг	радиусом	р,	обходимый	в	отрицательном	направлении
(рис.	1, а). Поэтому
	\F(z)dz	+	\ F ( Z ) dz =	j F(z)d(z) — \F{z)dz		= 0,
	і		а	г	p
откуда следует, что
			\F(z)dz	= \F	(2) dz.
			Г	p

Таким' образом, интересующий нас интеграл по замкнутому кон туру равен интегралу по окружности радиусом р, описанной

вокруг	полюса, при неограниченном убывании радиуса					р, так
как величина этого интеграла не зависит			от него.
Аналогичное положение		имеет место	и	в том случае,		когда
внутри	замкнутого контура	Г функция F (г), имеет более				одного
полюса,	т. е. обращается в	бесконечность		в точках	z = at (і =
~- I , 2,	. . ., п) (рис. 1, б).	Описав вокруг		каждого	из полюсов

круг радиусом р^, выполнив построения, изображенные на рис. 1, б,

и рассуждая таким же образом, как и в случае одного					полюса,
получим
	\F{z)dz=	£	\F{z)dz.
		i = i	р( -
Таким образом,	J F (z) dz	равен	сумме интегралов	j	F (г) dz
по окружностям	радиусами	р,-, описанным, вокруг полюсов, при
неограниченном	убывании этих радиусов.
Интеграл, взятый по бесконечно малому круговому				контуру,

который описан, как из центра, из той точки, где подынтегральная функция обращается в бесконечность (т. е. из полюса), и разде ленный на 2яі (і = У—1), называется вычетом и обозначается Resa [F (z)]. [Символ Res— сокращение термина «residu» (вычет),

предложенного Коши]. Таким		образом,
		п
j	F (г) dz = 2ш 2 Resa . [F (г)].
Предположим,	что функция	F (z) может быть представлена
в виде

F ( г )

где / (z) — функция, аналитическая во всех точках внутри зам кнутого контура Г (в том числе и в точке z = а) и на контуре. Точка z — а является простым полюсом функции F (г). Этот полюс имеет кратность, равную единице.

Рассмотрим

функцию

1 w

2 — а

Эта функция [в отличие от функции F (г) ] является

аналитической

во всех точках внутри контура

(в том

числе

и в точке г

= а)

и на контуре. Действительно, в точке z =

а функция

(z)

обра

щается не в бесконечность, а в производную аналитической

функ

ции,

вычисленную

точке

= а.

как функция F\

(z)—

Так

аналитическая,

Отсюда

следует,

что

fl')

dz-

Рис. 2

или, в

соответствии

пока

занным ранее,

\F{z)dz

(г) dz = J

-±&L

dz =

/ (a)

где I — интеграл

по

окружности

бесконечно

малого

радиуса,

описанной вокруг точки г — а.

Для всех точек

окружности

радиусом

(рис.

z — а

ре'и .

Отсюда

dz — г'ре1'9 dQ.

Поэтому

JF(z)dZ=:j.	f{z)	dz	=
JF(z)dZ=:j.		dz	=
2я		2я
toe*9 dQ =	/(a)t j * d0		2nif (a),
pe'e

так как обходу точки г = а по окружности соответствует измене ние угла 0 от 0 до 2л, или

	Resa F(z) =	f (a).
Отсюда	становится понятным смысл	множителя	, вводимого
Коши	в определение вычета.

Если функция F (z), имеющая простой полюс в точке z = а, не может быть представлена в виде F (г) = / І ! д» вычет в полюсе

г = а определяется по формуле
Resa [F(z)] = lim				l(z-a)F(z)].
Предположим, что функция F			(z)	может быть представлена
в виде
F(z)		/(*)
F(z)	(г		— a ) 2	'
	(г		— a ) 2	'

где / (z) — аналитическая функция во всех точках замкнутого контура Г (в том числе и в точке z = а) и на контуре. Точка z = а является кратным (имеющим кратность два) полюсом функции F (z).

Продифференцировав выражение

\ ^ d z = 2mf(a)

по-параметру а, получим

	г
откуда	Resa[F(z)] = f (a) =
	dFdz(г)

Если функция F (z), имеющая полюс кратности два в точке г — а,

не может быть представлена в виде						F (z) = ^J^ay	, вычет в по
люсе z = а определяется	по формуле
Resa IF (z)] = lim					d	l(z - a? F (z)].
Продифференцировав	выражение
\ 1 i	^	¥	d	z	=	2nir(a)
г
по параметру а, получим
2 \ 1	^	¥	d	z	=	2nir>(a),
г

ОТкуДа

Следовательно, вычет функции F (z) в точке

z =

а, являющейся

полюсом кратности три,

или

Rese [F(2)] =

[(z-ayF(z)]

- ^ - l i m -d^ -

dz*

Аналогичным

образом

можно

показать,

что

вычет функции

в точке z = а, являющейся полюсом кратности четыре,

Rese lF(z)] =

( a

) =

или

Resa [F (г)] =

± - lim - g f -

[(г -

af F (г)].

as г ^ а

иг.

В общем случае, продифференцировав

выражение

І 7 = ^ ^

= 2ш7(а)

k — 1 раз по параметру а,

получим

( А - 1 ) 1 J

/ ( г )

. d

dzk~l

' v ;

£ (z-a)k

откуда следует, что, если функция F (г) имеет в точке г = а полюс

кратности

п,

( я - 1 ) !

dzn

(1.38)

или

Resa [F (z)] =

лп—1

[(z -

а)" F (г)].

( w

_ 1

} 1

lun

(1.39)

Поскольку

0! =

1! =

формулы (1.38)

(1.39)

пригодны

для

всех п.

Таким образом, если функция F (г) имеет внутри замкнутого

контура

Г в точках

z —

аи

а 2 ,

. . .,

ат т

полюсов, каждый из

которых

имеет

кратность

1,2,

. . .,

/я),

то

j F (z) dz =

2ni ^

1 g

J -

-±Tj-r\{z

a / /

F (г)] Ц

Resa.[F(z)].

В заключение приведем вычисление интегралов, определяющих обратные преобразования Фурье и Лапласа, т. е.

1 0 0

— ІСО - <

в случае преобразования Фурье и С+ІСО

С— l o o

вслучае преобразования Лапласа. В этих формулах s = a + г'со — комплексная переменная.

6.	ОБРАТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
И	ЛАПЛАСА

Обратное преобразование Фурье определяется формулой

too

—ІСО

Интегрирование выполняется по всей бесконечной длине мнимой оси. Вычисление этого интеграла можно упростить, если приме нить теорему Коши о вычетах. Для этого интеграл вдоль беско нечной мнимой оси представляется в виде разности интеграла по замкнутому контуру, состоящему из мнимой оси и дуги полу

окружности бесконечного радиуса, и интеграла по этой	дуге
(рис. 3).
Полуокружность бесконечного радиуса может быть взята	как

в правой, так и в левой полуплоскости. Рассмотрим сначала слу чай правой полуплоскости (рис. 3). Очевидно, что

1= J - J .

АВ АВСА ВСА

Найдем интеграл

по полуокружности

. Нетрудно

показать

ВСА

(см.,

например,

[7]), что при / >

0 значение этого интеграла ста

новится

бесконечным

и решение

не существует. При t

< 0

рас

сматриваемый

интеграл

равен

нулю.

Таким

образом,

интеграл

по

контуру,

охватывающему

правую

полуплоскость,

опреде

ляет

/ (0 при t

< 0 ,

причем

. Поэтому функция f(t) Ua-

ЛВ

АБСА

ходится

путем

непосредственного

применения

теоремы

Коши

вычетах

к замкнутому

контуру:

f(t)

= ^ R e s a

. [ F ( s ) ]

lim

d k

r l

d s k r l

/=1

X [(s-a,)kJF(s)],

t<0,

(1.40)

где

kj — кратность

полюса

c;-.

(1.40)

Суммирование

в формуле

производится

по

вычетам

во всех

Р и с

полюсах правой полуплоскости. Знак

минус обусловлен отрицательным на

правлением

обхода

контура

(рис. 3).

Аналогичным

образом

можно

показать,

что интеграл

по кон

туру, охватывающему левую полуплоскость, определяет функцию

времени /	(t) при t > 0. Обратное преобразование			Фурье	опре
деляется при этом формулой
	f (0 =	/=1	Re s *y [F (s)]
		/=1
		.ft,—1
=	lim	d 1	— [(s-aj)kiF(s)\,	t>0.	(1.41)
	s-»a.	ts 1

Здесь суммирование производится по вычетам a-s во всех полюсах левой полуплоскости.

П р и м е р	1. Пусть			1			1

	F	( S ) =	~~ (s •	a)(s -	Ь) ~	~(а + s) (b-s) '
Функция f (t)	при t <		0 определится полюсом первого порядка s = b в правой
полуплоскости.
По формуле (1.40) при т =				1 и kx = 1 получим
ЇМ-		_	_ _L			1	t<0.
					/ 5 = ь J	a.-j- b
			oi	s-\-a

Функция / (t) при	0 определится полюсом первого порядка
пол'уплоскости.
По формуле (1.41) при п = 1 и fcj =			1 найдем
	.si					t>o.
	О! \ b — s J$=—a			^ - h r e - < ",		t>o.
	О! \ b — s J$=—a			a +	b
Таким образом,
	1		e",		* < 0 ;
	a +	b	e",		* < 0 ;
	f(t)	b	t~	,	t>0.
	a +	b	t~	,	t>0.
	1		at
График этой функции	изображен на рис. 4.
						С
						J)
					V
						0
0	t				£
0	t
Рис.	4					Рис. 5

-а в левой

J Re

Обратное преобразование Лапласа определяется формулой

С+ІСО

Интегрирование выполняется вдоль линии АВ, параллельной мнимой оси и смещенной так, что все особенности лежат левее этой линии (рис. 5). Интеграл можно представить в виде

j	_	f	- і	-	1 -	J.
АВ		ABCDEA	CDE		ВС	EA
Если
	l i m \| F ( s ) \| < - ^			и	t>0,
	s->m		4

значение интеграла по дуге CDE стремится к нулю при стремлении радиуса R к бесконечности, как и в случае преобразования Фурье. Можно также показать [71, что при R —* оо

ВС ЕА

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ