Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Фхх, определяемую формулами (Ш.21) или (III.22), и Фхг, опреде ляемую формулами (III.23) или (III.24).

Следовательно,

F —

'Н (Фтт + Фпт)

° ~

Ф +

Так как

НА

+ Ф

Н,

где А

и В — произвольные функции

S, то

HFl,

где Fl И FO — оптимальные

передаточные функции, соответствую

щие операторам идеального преобразования Я (р) =

1 и Я (р) =

= Я .

Рассмотрим

несложные

примеры.

П р и м е р

Пусть

спектральные

плотности

Фтт =

о /

9\~ > Фпп — —5~" Ї

Фпт = Фщп ~

а\ (с ґ — s

)

а\

Из

входного

сигнала

х (t)

т (t) +

п (t)

необходимо

выделить

полезный

сигнал

т (t). Это — задача

получения

оптимальной оценки

полезного

сигнала.

По

формуле

(II 1.22)

Фхх =

Фтт +

Фпп =

а\а2

а\ — a\s2

а\а\

( a 2 - s 2 )

Очевидно, что

Ф +

ахаг

(a +

Фх х

А — a,s

ахаг

(а — s) '

где

А2

= а 2 а 2 +

по формуле (III.24)

Фхг = Ф,

~ 2 ( a 2 - s 2

) •

xz — ^тт •

По формуле

(III. 19)

«1«2 (° + S )

аха2

(а — s)

A -f- ax s

a 2

( a 2 — s2 )

(А — otjs)

"2 ( а

(а + s) (Л - al S ) j +

Поскольку

	1		1	1
(а + s) (Л — ax s) J + " A + axa a -f- s '
«2 (« + s )	1	1	„2	1
«2 (« + s )	1	1		1
A + a^s	Л -J- « t a	a + s	Л -\|- a2 a	A + ax s
	„2	1
		1
Л (Л + at a)		1 + •	1 + t s '
		1 + •

где

A (A + a i a )

a 2 a 2 + fl2 ^ a + ^ a 2 a 2 + a 2 j '

Заметим, что /Сх является безразмерной величиной, а т имеет размерность вре мени.

П р и м е р .		2. Спектральные плотности те же, что в примере 1, но Н = es 9 .
Это — задача получения				оптимальной	оценки упрежденного значения полезного
сигнала	z (t) =	m(t-\- 6).
По	формуле		(III.19)	получим
			aia2	( a + s )	а^Оз (a — s) еs91
	^ 2		Л + %s
			a 2 (a + s)			„s9	(III.25)
				Л + ajS L (a + s)		— «is)	(III.25)
				Л + ajS L (a + s)		— «is)	+
							+

Так как

(a + s) (Л — ajS)

не является дробно-рациональной дикой, изложенной ранее.

Найдем

	і СО
и(0 =	1 Г	.
и(0 =

„s8

= £/(s)

ai(a + s ) ( — - s )

функцией, необходимо воспользоваться мето

		I со
i	f	е ^ + Є ) .

При / + 8 ^ 0 или при ? ^ —6 этот интеграл находится путем интегриро вания по контуру, охватывающему левую полуплоскость, так как значение интеграла на полуокружности, охватывающей левую полуплоскость, равно

нулю. Так как подынтегральное выражение имеет в левой полуплоскости един ственный полюс s = — а,

и (О	1 „s (t+в)	1
и (О	А_	Л + а х а
	А_	Л + а х а
	• « і

При t + б <С 0 или при < << —9 этот интеграл находится путем интегриро вания по контуру, охватывающему правую полуплоскость, так как значение интеграла на полуокружности, охватывающей правую полуплоскость, равно нулю. Подынтегральное выражение имеет в правой полуплоскости единственный

u(t)

полюс

s =

Поэтому

" (О

а + s

0+Є)

-в

Л + «іО

График функции

и (t)

изображен на

Рис.

рис.

15.

Теперь

[U (s)]+ — L[u (0] =

J е - а С + в ) е - « ' Л

Л—ад

- а9

(IIL26)

Подставив (III.26) в

(III.25),

получим

аі

о - а Є

-ав

Л -f- а х а

Л +

Л (Л + #!<*)

или

К2

1 + TS'

где К 2 =

КгЄ~аЄ.

Заметим, что

П р и м е р 3.

Спектральные плотности те же, что и в примере 1, но Н •

_ e -se

Это — задача получения оптимальной

оценки запаздывающего сигнала

z(t)='m(t

— Є).

По формуле

(II 1.19)

получим

ata2

(a + s)

ax a2 (a — s) e"

A +

ajS

( a 2 — s 2 ) (Л — ajs)

«1 (a + s)

(III.27)

A + ax s

(a + s) (Л — ^s ) J+

Обозначим
	U(s).		e -se		j	e _s e
	U(s).		(a -f- s) (A — axs)		a x
			(a -f- s) (A — axs)		a x
Найдем
	(CO				i o o
...	I f		e - s 9 e s <	.	1 Г		e s « - e >
" ( ) = = 2 я ї		,	. / A	> 7 d s =	2яТ	,	^ , ( A
При	^— 0 ^ 0		или при t^Q	интеграл	обращается		в нуль на полуокруж

ности, охватывающей левую полуплоскость. Подынтегральное выражение имеет

единственный полюс s = — а в левой	полуплоскости. Поэтому
t.s (/-Є)	e - a (<-Є)
и (0 = •	Л -f- аха	^ 6 .
	Л -f- аха

s=>s—a

При f — 9 < 0 или при t<^Q интеграл обращается в нуль на полуокруж ности, охватывающей правую полуплоскость. Подынтегральное выражение имеет

единственный	А
	полюс s = — в правой	1
	«і
полуплоскости.
	Поэтому

11	«ае*<'\ь—-ви;> j		-±«_Є)
11	«ае*<'\ь—-ви;> j	Л =
и(0 =		Л =	Л 4- a x a	'
		at
	t <	9.
График функции и (t) изображен нарис. 16-
Теперь				0	в	t
				0	в	t
[U	(s)]+ :	-st	dt =		Рис.	16
					Рис.	16
	1		•<<-в)	- a « -	e)e -s/	d /
		Lo

8 Я . M. Цейтлин

и з

Заметим, что первое	слагаемое в квадратных скобках выражения (III.28)
			А
не имеет полюса в правой	полуплоскости	s =	, так	как
lim	lim	о е	= Єє	а ' = 9 е % фоо.

А—1

Подставив	(III.28) в		(III.27),		получим
		Ъ	(s) =	а\	(а + s)
		Ъ	(s) =			[tf	(*)]+ =
							л
А +	а х а	1	ajS	[a + s) ( e - s 0 - e ~				О	-ев
А +	а х а	Л +	ajS
						а,
		1	e~s 6	+	ат 1 — ts
	1	+TS	e~s 6	+	ат 1 — ts
где
					_	J _
					1 ~'	a
Замечаем снова,		что
Как было сказано выше,			функция Fs			(s) не имеет полюса s =			— в правой
полуплоскости,	и, следовательно,			оптимальная			система	является	устойчивой.

20. ДИСПЕРСИЯ ОШИБКИ НА ВЫХОДЕ ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

Согласно (III.3) дисперсия ошибки на выходе оптимальной системы

т . \	( Ф 2 г - Ф ^ о - ф , ? о + ф ^ а д ^ =
2m'
-ICO
І CO
2m		- ^ + 2т" I
I J	Ф	- ^ + 2т" I
	Ф

-І - С О

іCO

2%i \ OxzF0ds-±-.

J (D2XF0ds.

(111.29)

Алгебраическая сумма второго и третьего интегралов в правой части (III.29) равна нулю. Действительно, приравняв нулю эту сумму, получим

_1 , } (OxxF0-Oxz)F0ds	= Q,	(II 1.30)
2т'

-too

Так как F0 имеет все полюсы в левой полуплоскости, то F0 имеет все полюсы,в правой плоскости. Поэтому для того чтобы интеграл (III.30) был равен нулю, необходимо чтобы множитель, заключенный в скобки, также имел все полюсы в правой полу плоскости, т. е.

Ф » Л - Ф « = 1,

( ш .зі)

где | — функция, все полюсы которой расположены в правой полуплоскости.

Заметим, что условие (III.31) тождественно совпадает с урав нением ( I I I . 11), являющимся условием минимума дисперсии.

Таким образом, выражение (III.30) справедливо и установив шаяся дисперсия ошибки на выходе оптимальной системы, т. е. минимальная дисперсия из всех возможных, равна

і со

Anm =

J V o * .

(ІП.32)

Преобразуем второй интеграл в правой части (III.32). Перейдя

новой переменной

s x

= —

найдем

і со

( со

2йї

{

®zAs)Fo(s)ds

J Ozx(-Sl)F0(-Sl)dSl.

(ІІІ.ЗЗ)

— tOO

(ОО

Так как

Ф « (s)

« (s) = Ф« ;

(s)

=~F0,

из

(111.33)

получим

і со

— (

ОО

— ( *

ОО

Подставив

(III.34)

(III.32),

найдем

( С О

( О О

Dm* = m \

J ® J « d s -

< ш - 3 5 >

— t o o

— ( 0 0

Согласно

(111. ЗО)

t o o

а 5

= Ш

WoFods.

(Ш.36)

— ( 0 0

— ( C O

Подставив

(III.36) в

(III.35), получим

(CO

l o o '

I Ф

^oFods.

(111.37)

— (CO

— ( C O

115

Учтя, что

перепишем (III.37) в виде

і со

= Ш { 1 Ф т т Я Я ~ ( Ф т т + Ф т п + Ф „ т + Ф „ л ) е д ^ .

—/со

В том случае, если полезный сигнал т (t) и помеха п (t) не коррелированы,

і со

= ш 1 [ ф т т я я - ( Ф т т + ф п „ ) е д ^ .

—і со

21.ОБЩАЯ ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА

Левую часть функционального уравнения ( I I I . 11), решение которого дает передаточную функцию линейной устойчивой опти мальной системы, можно очень просто получить путем формального дифференцирования по F подынтегрального выражения — функ ционала (III.3), определяющего дисперсию на выходе системы.

Действительно, обозначим это подынтегральное выражение буквой Q:

Q =	_	<D^F _ Ф , / +	Ф^ї.
Частная производная
	§	= Ф , ^ - Ф , 2
	дг

тождественно совпадает с левой частью функционального уравне

ния ( I I I . 11), если	в последнем F0	обозначить через F. Следова
тельно, уравнение	( I I I . 11) можно	записать как

dF £ '

где 1 — функция со всеми полюсами в правой полуплоскости. Отмеченное обстоятельство не является случайным совпадением. Имеет место следующая теорема. Если функционал D имеет вид

ico

	D	= Ш J	f « . • • Л	? ь Рг, • • • Л ) ds,	(111.38)
		—ico
где Fj (j	=	1,2,. . ., п) — функции, все полюсы которых			находятся
в левой	полуплоскости,		и функция	Q обладает свойством

dQ	(Ш.39)

dF}

то необходимыми и достаточными условиями стационарности

функционала D по отношению к	бесконечно малым	вариациям
функций Fj и Fj являются
dQ = l h j=l,	2, . . . . n,	(111.40)
dFj

где |y — функции, все полюсы которых находятся в правой полу плоскости.

Приведем доказательство	этой	теоремы.
Пусть
F, = F0, + aifh			(Ш.41)
где Foj — соответствующие	оптимальные		операторы; а;- — про
извольные константы; fj — произвольные			функции.
Разумеется, что функции Fj, Foj,		f,- имеют все полюсы в левой

полуплоскости. Условиями стационарности функционала (III.38) являются

= 0 ,

п.

(III.42)

daj

Теперь

дР

dFj _

да.

dFj dctj+

df.

daj ~~

ico

'і

J (

£ f , + f

7 / U / = 1 . 2 , . . . , n ,

(ПІ.43)

2лі

\dF,"

dFj

—too

так как согласно

(III.41)

д 1 і - і .

І І - 1

daj

І»

daj

'і'

Произведя замену

переменных

s = —sx в

первом

слагаемом

подынтегрального

выражения

(III.43), получим

f / ( - * i )

= § ? / ,

(Ш.44)

s = - S i

Or j

т. е. второе

слагаемое.

Справедливость (III.44) следует из (III.39)

и очевидного соот

ношения fj (—s)

— fj.

С учетом

(III.44)

выражения

(III.43) примут вид

дР

і со

2 - 4

dSfjds

да.

2лі

ЯР,

2Л1

Яр; '

и условиями

стационарности

(III.42)

будут

- L

f *г f.ds

= 0, / =

1, 2

п. (III.44a)

—too

Заменяя интеграл (III.44а) интегралом по замкнутому кон туру, включающему бесконечную мнимую ось и дугу полуокруж ности бесконечного радиуса, охватывающую левую полуплос кость1 , получим

	J L $	щЪ&	= 0, / = 1,		2	п, Fj =	F0},	(111.45)
	лпп
где Л/7 Л — обозначение			левой	полуплоскости.
Так как /;- не имеет полюсов в левой полуплоскости, для равен
ства нулю интеграла (III.45) необходимо,						чтобы второй		сомножи-
					dQ
тель подынтегрального			выражения		также не		имел	полюсов
					dFj
в левой	полуплоскости,		что равносильно			условию	(III.40)
		dFj	/ = !. 2> • • •, я, Fi = Foi-
		dFj
Теорема, таким образом, доказана.
Заметим, что соблюдение условия (III.40) гарантирует ста
ционарность функционала D. Характер экстремума (максимум,
минимум	или	точка перегиба		(седловая		точка) устанавливается

в каждом конкретном случае на основании общих математических принципов или исходя из физического существа задачи.

Совершенно элементарно можно показать, что эта теорема рас

пространяется и	на тот	случай,		когда	функционал	D имеет вид
			м
		D =	£	KmDm,
			т=0
где %т — произвольные		постоянные и
	1 0 0
2яТ	J	^2,	• •	Fn,	К К • •Fn)	ds.(III.46)

— j c o

Функционалы (III.46) появляются при учете ограничений. На пример, если Dm (т = 0, 1, 2,. . ., М) представляют собой дис персии различных переменных сложной системы, характеризуе мой набором передаточных функций Ft (j = 1, 2,. . ., я), а задача состоит в определении таких функций Fj, которые обеспечивают

D 0 = min;

Dk^Ck; k = 1, 2, . . ., M,

то Х0 = 1, ЯА (k = 1, 2,. . ., М) — множители Лагранжа, также подлежащие определению. И в этом случае справедливы условия (III.40), принимающие вид

m=0 '

1 Полагая, что интеграл на полуокружности бесконечного радиуса равен нулю, что всегда имеет место в случаях, представляющих практический интерес.

Передаточные функции Fj, найденные в результате решения системы уравнений (II 1.47), оказываются функциями множителей Лагранжа Кт. Последние определяются путем решения системы неравенств

Dk^Ck, k = 1, 2, . . ., М.

Левые части этих неравенств, вычисленные по формуле (III.46), оказываются функциями множителей Лагранжа. Заметим, что правые части уравнений (III.40) или (III.47) — неизвестные функ ции |у - — обусловлены ограничениями, накладываемыми на полюсы передаточных функций Fj. Если не требуется, чтобы полюсы функ ций Fj находились в левой полуплоскости, то правые части урав нений исчезают, т. е. | ; = 0.

Данная методика распространяется и на тот случай, когда часть рассматриваемых сигналов или даже все сигналы являются не случайными, а детерминированными функциями времени. Так же как случайные сигналы характеризуются дисперсией, не случайные (детерминированные) сигналы характеризуются интег ральной квадратичной оценкой.

Интегральной	квадратичной	оценкой неслучайного сигнала
a (t) называется	величина
	со
	/в= \	[a(t)]*dt.
	о

При помощи метода, который был использован при выводе теоремы Винера—Хинчина (см. п. 13), можно показать, что

ЇСО

7	* = 2 я Т	I	A(s)A(-s)ds,
		—ісо
где A (s) = L [a(f)].	Формально		этот интеграл	имеет ту же
				1 0 0
математическую природу,		что и интеграл Dy =		j Фуу (s) ds,
				—too

определяющий дисперсию случайной функции у (t) со спектраль

ной

плотностью Фуу

(s).

Действительно, оба интеграла берутся в одинаковых пределах,

с одним и тем же коэффициентом

2^т-, причем

подынтегральные

выражения

представляют

собой

четные функции

аргумента

Фуу (s)

= ®fy (s ) ф7У

(s ) в

случае

дисперсии

(s) А (—s)

(s) А

(—s) ] +

[A (s) А

(—s)]~

в случае

квадратичной

инте

гральной

оценки.

Для пояснения существа метода обратимся снова к схеме,

при

веденной

на рис. 14, из которой

следует є =

z —

Fx.

Пусть

х (t) = т (t) + п (t),

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ