Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

С учетом единичной функции найдем

t	г
0 ( 0 = 1 ж (т) * (Л т ) 1 ( ^ - т ) Л	=
о
» = \| в ( ' . т ) 1 ( < - х ) б ' ( т ) Л » в ' ( < , 0 ) l ( 0	+ g(<. 0)б(<),
о

т. е. при использовании обычной формулы в этом случае оказывается потерян ной составляющая сигнала на выходе g (t, 0) б (f).

Представление функции веса в виде (1.53) дает возможность определения функции веса линейной системы.

Функция веса Р (t, т) линейной системы, описываемой диффе ренциальным уравнением

п т

Е в / ( * ) у ( / )	( ' ) = 2 М 0 * ( / ) ( 0		(1.54)
/=0	/=0
или, что то же самое,
y(f) =	F(p,	t)x(t),
т
где Z7 (р, /) =	оператор	системы,	представляет

собой решение этого уравнения при

' х (t) = б (* —т).

Функцию веса можно представить в виде формулы (1.53). Подставив (1.53) и (1.54), получим

п т

2 ] а і (о					і^ & т ) 1 (^ - ти == 2 ] */ ( о б /					- т ) - ( j - 5 5 )
/=Ю			'			/=0
Так как
	d'		[g(t,		х)	1 (* - . т )1= 1 {t-x)g{i)	(t,	т)	+
	dt>
+	6	(f	-	т)	g {	l - l ) {t, x) + 6'(t-x)	g('-2)(t,		X)	+
	+	. . . +			6<f e >(^-t) g « - k - l ) (t,		X) + • • •		+
+	6 (		/ - 2 )	(/ - 1		) £ (f, T) + 6 ( / - ! ) (t	T) g	(t,	X),

уравнение	(1.55)	принимает	вид
1 (t -	т ) ' £	а, (0 g(l) (t,	т) + б (/ -	т) t a, (t) gl'-l> (t, т) +
	/=о			/=1
	+	б ' ( / - т ) І	ai(t)g«-2)(t,	*)•+•••	+

+	в<">(<-т) s мо"--4 (,)+••• +
	/ = т + 1
+	б( "~2 ) (* - т) [а„_х (Ог ' (/, т) + an it) g (t, т)] - f

+	(* - т) а„ (t) g (t, т) = b0 (t) 8(t-r)

^b1(t)8(t-x)+..-+bm(t)8(m)(t-r).

"(1.56)

Для того чтобы уравнение (1.56) было тождеством,					необходимо
равенство		«коэффициентов»	при	1 (t — т), б (t — т), . . .
. . . . . б " - 1		(^-*-т) и т. д. в левой и		правой частях.
Так	как единичная функция		1 (t — т) в правой		части отсут
ствует,	будем иметь
		ta1(t)g^(t,x)		= 0,	(1.57)

т. е. функция g (t, т) является решением однородного уравнения, соответствующего уравнению (1.54).

Далее необходимо соблюдение условий

	6<>(-т)		І	a1(t)gU-b-1)(t,T)				=	6W(t-T)btf),
		k =		0,	1,	2, . . ., n — 1,					(1.58)
где bk (t) = 0, k >			m.		(1.58)		соблюдаются		тождественно, так
При	t=h% уравнения
как при этом		условии		6<ft)		(t — т) =		0.
При	t — х	уравнения				(1.58)	принимаюї вид
І	a/ (T)g</-*-1 >(T,T) = MT),							k = 0, 1.2		n—1.
/=&+	m										(1.59)

Заметим,	что выражения				(1.59) представляют				собой	п начальных
условий	уравнения		(1.57).
Таким образом,			функция веса определяется по формуле (1.53)
как Р (t, т) =		g (t,	т) 1 (t — т), где функция g						(t, т) есть		решение
однородного уравнения					(1.57) при начальных				условиях		(1.59).

П р и м е р

Найдем функцию веса системы, описываемой дифференциаль

ным

уравнением

(t+

1) у" (0 —(* + 2) у'

(0 + (/ (0 =

2Л; (0 +

(/ +

1) х' (О-

этом случае

ао (0 =• 1; fl! (О =

—( / + 2);

а 2

( 0 =

< +

6о (0 =

2; 6Х

(0 =

Решением однородного уравнения

(1.57), которое в нашем случае имеет вид

(* +

1) g" (t, %) -

(t +

2) g'

(t,

x) + g (t,

T) =

будет

(t, T) = d

(T) (/

2) +

C 2 (T) e<'>-

(1.60)

в чем монСно убедиться

непосредственной подстановкой.

Начальные условия (1.59) имеют вид:

% (т) £ (т, т) +

а2

(т) g' (т, т) = 60 (т);

«г М ^ (т, т) =

&! (т),

или

(т +

1)г(т,

т) =

т +

(1.61)

( т +

1)«г'(т.

2)йГ(т,т)=

Следовательно,

#(т,

т) =

g'(t . t)

т + 4

Из (1.60)

следует,

что

g (т,

т) = СІ (т) (т +

2) +

С2 (т) е%\

С*, т) = . Сг

(т) +

С 2

(т) е т .

С учетом этого начальные условия

(1.61) принимают вид:

С 1 ( т ) ( т + 2 ) + С ' 2 ( т ) е т = 1 ;

С, (т) +

С,(т) е

" т + 1 '

откуда

С 1 ( т ) = -

(1 +

т)*'

Таким'образом,	функция веса
		Р ( * , т ) = г ( / , т ) 1 ( * - т ) =
1		[ _ 3 ( f + 2) f (т2	+ 5т + 7) е ' - т ] 1 ( * - т )
( 1 + t 2 )

Заметим, что рассматриваемая линейная система в силу переменности коэф фициентов является нестационарной. У такой системы

Р	(t, х)фР	(t-x),
что иллюстрируется последним	выражением.

Реакция этой системы на любое возмущение (в частности, на возмущение вида 6-функции) зависит не только от промежутка времени t—т, прошедшего после приложения возмущения, но и от момента времени т, когда было приложено

возмущение. Последнее очевидно, так как при любых

t =

т,- и

t—

Xj (/ =j=j)

коэффициенты

уравнения

(t)

и bk (t)

различны.

П р и м е р

2. Найдем

функцию

веса

системы,

описываемой

дифферен

циальным

уравнением

(0 +

у"

(t) + (а +

Ь) у'

aby

(t) =

сх (t) +

dx' (t).

В этом случае коэффициенты постоянны:

ао (t) = ао = ab; ах

(t) =

ах

а +

а2

(t) =

а 2

bo (t) =

bo =

с;

&! (О =

Однородное

уравнение

g" (^ т) +

(а +

6) g' (t, т) + afcg (f,

т) = О

имеет решение

g(t,x)

(т) е - а '

С 2

( т ) е - " .

Начальные

условия

(а + & ) £ (т . т ) + £ ' (т . т) = с;

g (т,

т) =

или, с учетом того, что

g(x, х) =

(т) е - а т

С2

(т) е ~ Ь т

;

они имеют

вид:

g' (т, т) =

аСх

(т) е ~ а т -

ЬС2

(т) е - Ь т ,

С 1 ( т ) е - о

С 2 ( т ) е - Ь т

гі;

•

• aCj (т) е - а х

— ЬС%

(х) е - Ь

т =

с — (а + 6) d.

ОтСюда

a d — с

ах.

а — Ь

с — bd

j , x

—

С .

а — b

Функция веса

P(t,x)Р

==•-^—^[{ad-c)e-a(t-T)

(c-bd)

f r b (

t - x

) ]

(t-x),

В данном примере

Р (t, t ) = P ( t - х),

как и должно быть у стационарной линейной системы.

9. СТАЦИОНАРНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ФУНКЦИЯ ВЕСА

Широкий	и важный класс систем автоматического		управления
описывается	линейными дифференциальными уравнениями с по
стоянными коэффициентами		вида
	N (р) y(t)	= M (р) х (0,	(1-62)

где

			п				т.
	N(p)	= £		akpk;		М(р)=Ъ		bkPK
		fe =0				ft		=0
	Уравнение (1.62) можно представить в виде
где		y(t)	= F (р) х (t),					(1.63)
где				F(p)	=	М(р)
				F(p)	=	М(р)
						N(p)
—	стационарный оператор.
	Полагая начальные		условия			нулевыми,		подвергнем уравне
ние	(1.62) преобразованию			Лапласа. В			результате, получим
	N (s) Y (s) = М (s) X (s),							(1.65)
где
	Y (s)	= L	[y(t)h			X (s) =	L	[x(t)];
	N (s) =	N ( p ) \| p = s ;			M (s) = M			( p ) \| p = s .

Уравнение (1.65) является обычным алгебраическим уравнением, из которого следует

	Y(s) = ^ X	( s ) = F(s)X(s).	(1.66)
Функция	комплексного	переменного F (s), равная	оператору
системы F (р) (1.64) при замене в последнем оператора р перемен
ной s, т. е. F	(s) == F (р) \| p = s , называется передаточной		функцией

системы и представляет собой тот множитель, на который нужно умножить изображение функции на входе для того, чтобы полу чить ее изображение на выходе.

Выражение (1.66) позволяет весьма просто установить физи

ческий	смысл	передаточной функции. Действительно, положив
в (1.66)	X (s)	= 1, получим

Y(s) = F (s),

т.е. передаточная функция F (s) представляет собой изображение функции времени на выходе системы при воздействии на ее вход такой функции времени, изображение которой равно единице.

Функцией времени, изображение которой равно единице, яв ляется б-функция. Действительно,

со

t(6(*)] = J6 ( * ) e - « ' f t t = t.

Кроме того, очевидно,

Так как умножению изображения на s соответствует дифферей* цирование оригинала, то единица представляет собой изображение производной по времени той функции, изображение которой равно

—. Такой функцией является единичная функция. Действительно,

<-и	со
L [1 (*)] = J 1 (0 e-s < dt =	j e~st Л = — l e •
о	o	s

Таким образом, функцией времени, изображение которой равно единице, является производная единичной функции, т. е. 6-функ-

ция, поскольку 6(t) — -^- I (t). Следовательно, передаточная

функция F (s) есть преобразование Лапласа реакции системы, обусловленной воздействием на ее вход б-функции.

Эту реакцию системы, т. е. обратное преобразование переда точной функции, назовем функцией веса системы Р (t), т. е.

Р (0 = I - * [F (s)].

Так как б-функция б (t) отлична от нуля только в точке t — 0, то функция веса Р (t) представляет собой реакцию системы в мо мент времени t, обусловленную воздействием б-функции на вход системы в начальный момент времени t — 0.

Предположим, что на вход системы поступает б-функция в мо мент времени т, т. е.

X (t) = б (t— т). Уравнение (1.66) при этом примет вид

Y (s) = F (s) L [б (* — т) ] = F (s) е - " ,

откуда

у (t) = L-4F (s) е-«] = Р — ті.

так как

F (s) = L [Р (t)};

F (S) e~s* = L [P (t — x)l

Таким образом, функция веса Р (t — т) представляет собой реакцию системы в момент времени t, обусловленную воздействием на ее вход б-функции, поступившей в момент времени т. Заметим, что данное определение полностью совпадает с определением функции веса Р (t, т), полученным в предыдущем параграфе.

Существенным является то обстоятельство, что в случае ста ционарной системы-функция веса

Р (t, т) = Р (t — т) =± Р (и)

зависит не от двух	аргументов	t и т, а только от их разности		и =
= t — т. Иными словами, реакция стационарной			системы в	мо
мент времени t на	воздействие	зависит только от	интервала	вре-

мени,

прошедшего

от

момента

приложения воздействия до

данного момента

времени.

Разумеется, остается в силе условие физической осуществи

мости

(1.52),

принимающее вид

(t — т) =

t < т ;

Р (и) = 0, ы < 0 .

Снова обратимся к уравнению (1.66), подвергнув его обратному

преобразованию

Лапласа

d + l

со

y{t)

= L-4F(s)X(s)]-±r

F(s)X(s)e"ds.

Имея

в виду, что

c2-\~i со

P(t)

L-HF(s)]

-±f

F(s)e*tds;

Сг — 1

0 0

С з - Н со

x(t)

L-4X(s)]

- ± r

X{s)&*ds;

C 5

— І

со

F (s) =

L [P (t)] =

\ P (T) e-"dt;

X (s) =

L [x (t)]

= J x (T) e-S T dT,

представим

(t)

виде

С + ІСО

J* (T) e-" dx es ' ds =

[

F (s)

с —•iccoo

c + i c o

j Я (т) e - «

X(s)es i ds,

2rti

C— ico І

Изменив

порядок интегрирования,

запишем

со

c + i c o

y = {t) =

]x{x)

F(s)e-"es 'ds dx.

Очевидно, что

С +

ІСО

2п1-

F (s) е - S T e s ' ds = L~~l [F (s) e— S T ] = P (t — т).

Поэтому

y(t) = $x{x)P{t — x)dx

или, с учетом того, что Р (t — т) = 0 при t < т ,

		у (t) =	J * (т) Р it — х) dx.		(1.67)
Так как			о
Так как
	С + І С О
2лі	}	X (s) e~srestds = L - 1		[X (s) е-"] = x(t	— т),
2лі		со
	С—і	со
получим
			со
		y(t)=	\x{t —	x)P(x)dx.
			о

Учитывая, что

х (t — т) = 0, t < т,

так как функция х (t) не существует при отрицательных значениях аргумента, т. е. система включается в момент времени t = 0, получим

	t
y{f)=>\	x(t — x)P(x)dx.
	о

Заметим, что это выражение можно получить из выражения (1.67) путем замены переменной

Действительно,	t — х =	I.
Действительно,
і	0		I
\x(x)P(t-x)dx	= -\x(t-l)P(t)dl	=	\x(t-l)P(l)dl;
о	t		о
t	0		(
\x{t-x)P{x)dx	= -\x{l)P(t-l)	d\=	\x(l)P(t-l)dt
0	t		о

Если допустить существование х (t) при отрицательных зна чениях аргумента, т. е. предположить, что система была включена в момент времени t = —оо и, следовательно, в текущий момент времени t имеет место установившийся режим, то, выполнив ука занную замену, получим

t	. с о
УУ)= \	x®P(t-®d\=\x(t-l)P(l)dl.
- с о .	0

Это-— переменная на выходе устойчивой системы в установив шемся режиме.

П р и м е р . Найдем функцию веса для системы, рассмотренной в п. 8. Дифференциальному уравнению

у" (0 + (а + Ъ) у' (0 + aby (t) = сх (/) + dx' (t)

соответствует	система		с передаточной			функцией
	F ( : y .		ab +	c +	d s		,,,	c	+	d s
	к	'	ab +	(а +	b) s + s2			(s +	a) (s + 6) '
Функция	веса	найдется		как
						-		- - . 8 /
			2ш"		J	(s +	a) (s +		6)
					С — I CO

Ц - [(ad —c) t~at	+ (c — 6d)e~ 6 '] .
a — &

Полученное выражение естественно совпадет с выражением, полученным ранее в п. 8.

Итак, если известна функция веса линейной стационарной системы Р (t), то функция у (t) на ее выходе при любой функции х (0 на входе определяется как

t	t
y(t) = \x(x)P(t—x)dx=\x(t	— x)P(x)dx.
о	о ,

Если под у (t) понимать значение функции на выходе в установив шемся режиме, то верхние пределы интегралов в правой части можно положить равными бесконечности и считать

со

			y(t) =	lx(t	— x)P(x)dx.
				о
Разложив		х	(t — т ) ' в	ряд	Тейлора	в окрестности			точки t,
получим
			со		+ -J- х" (t) -
	У(*) =		\ [х (9 -	хх' (t)	+ -J- х" (t) -		^-х'°	(t)	+
			о
	+		. . . + ( _ l ) * ^ ( 0 + . . . ] P ( T ) d T = =					-
	со			со			со
=	x(t)\P		(т) dx — х'	(t) J хР (т) dx +			j" х2Р	(т) dx —
							о
х"'	(t) J хаР	{x)dx^		h (— 1 )*		j	* k p (t)dx-\		(1.68)
6	о					о
	о					о

Интегралы вида

со
\ik = \xkP{x)dx,	k = 0, 1, 2, . . .
о
называются моментами функции	веса.
Моменты функции веса можно выразить и через		передаточную
функцию системы. Действительно, в соответствии		с (1.67)

со

F (s) = [Р (т) е-"Аг.

Продифференцировав это уравнение k раз по s, получим

	dkF(s)		= J (—x)kP (т) e-ST dx.
	ds		6
Положив здесь	s = О, найдем
	dhF	(s)		со
	dhF	(s)	=	H l ) f e	\xkP(x)dx,
	ds		=	H l ) f e	\xkP(x)dx,
	ds		s=0
откуда
	о				ds*	s=0
	о
Выражение	(1.68)	можно переписать			в	виде
			со
			fc=0
где
	С* =	( - 1)* - ^ - ;		ц* = ( - 1 ) * а д . •

Подвергнув (1.69) преобразованию Лапласа, получим

га

F(s) = S C*s*X(s)t

fc=0

так как L [*<*> (t)] = skX (s).

С другой стороны,

Y(s) = F (s) X (s).

Если F (s) можно представить в виде ряда

4 я. м. Цейтлин

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ