Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

— неслучайная составляющая ошибки (динамическая ошибка), обусловленная искажением детерминированного сигнала систе мой;

s2	(0 =	j	[tn (х) +		п {%) ] Р	{t —	х) dx —
		t-T
			со
			— J m(x)P°(t — x)dx				(IV.26)
			— с о
— случайная	составляющая			ошибки.
Перепишем	(IV.26)		в виде
			t
	е 2 (0	=	J х (т)	Р	(t — т)	dx —	г (t),
			t-T

где х (t) = т (t) + п (t) — случайный сигнал на входе; z (t) =

со

= j т (т) Р° (t — т) dx — желаемое значение случайного сигнала

—со

на выходе.

Синтез оптимальной системы, т. е. определение функции веса Р (t), сводится, очевидно, к минимизации дисперсии случай

ной	ошибки	в2 (0 при некоторых ограничениях,	накладываемых
на	неслучайную (детерминированную) ошибку є х		(t).
Рассмотрим два метода решения этой задачи,			отличающиеся
характером		представления неслучайного (детерминированного)

сигнала £ (t) и ограничений, накладываемых на ошибку воспроиз

ведения этого		сигнала		[11, 13].
М е т о д	1	[11]. Обозначив				t—т	=	г\, представим	выраже
ния (IV.2a)	и	(IV.26)	в	виде
		Т					оо
Є ї ( t ) = \ l ( t - n ) P O l ) d y \ —							J I	(t — r\)P°(ц)<%	(IV.3)
		0		'			—oo
				T
		Zl(t)^^x{t-r\)P{^)dy\-z{t).							(IV.4)
				0
Выразив желаемое значение неслучайного полезного сигнала
на выходе	как
		со
		\|	^(^-r1 )P»(r] )dr1 =					i o (0,
		•—оо
перепишем	выражение			(IV.3)	в	виде
				т
		Єї (0 =		J l(t	— i\)P(i\)			Л \| - g » ( ' ) -
				о

Если детерминированный сигнал на входе £ (t) — непрерывная дифференцируемая функция, то, разлагая функцию \ (t — т]) в ряд Тейлора в окрестности точки t, получим

(t - ті) =

(0 -

tig' (0 +

£ I " (0

V (0 + • • •

(IV.5)

После подстановки (IV.5) в (IV.3) найдем выражение для є х

(t)

в виде

ві (0 =

J [і (t)

тіГ (/) + £

І" (0 -

Г (0

+ • • • ] Р (ті) d4

I й

(t) =

l(t)\P

(Л) dt, -

Г (0 J т|Р (т|) А) +

+ 4"

( 0 1

Wd T i -

Г (0

j ^

(л) <*л + • • •

• • • + ТГ ( -

(0 |

ч{Р (Л) ^

1° (О-

(IV.6)

Интегралы

вида

{ т / Р

(г)) dr| =

(х,

(А; =

О,

. . .),

(IV.7)

входящие в левую часть (IV.6), назовем моментами функции веса порядка k.

Предположим, что желаемый полезный сигнал на выходе £° (t) можно представить в виде

		£°(') = S	№k)(t),
	о	k=0
	о	константы.	Принимается,
где (л* — известные		константы.	Принимается,
при	k > ЛЛ
С	учетом (IV.7)	и (IV.8) выражение (IV.6)

(IV.8)

что dkт-£ (0 = 0

—

принимает вид

M 0 = 2 [ ( - i ) ' # - r f 6*.

Для того чтобы эта ошибка была равна нулю, необходимо

соблюдение следующих	условий:
( _ 1)\| . =	\| Л °, k = 0,l,	2,...N,

откуда

следует

или с

учетом

(IV.7)

l4kP(4)d4

(-l)kk\v°k,

k =

2,...,N.

(IV.9)

П р и м е р ы (N = 4).

Случай

тождественного

воспроизведения

сигнала:

| °

(t)

= | (t). При

этом

И § = 1 ; ^ = ^ = ^з = ^ = 0.

Условия

(IV.9)

будут:

J p ( T ) ) d r |

= l;

г]Р (ті) dr\

л 2

^ 0l)

т)3 Р

(ті) йц =

т]4 Р (ті) eft]

Определение

первой

производной:

этом

случае

ио =

°;

и ? = 1 ;

^2 =

о ;

р° =

о.

Условия

(IV.9):

jP(Ti)dT ] = 0;

г)Р(т))с(т| =

—1;

t]»P (TJ) dx\ =

TfP(Tj)dr] =

T)*P(T])ufri

= 0 .

Определение

третьей

производной:

(t)

dt3

В этом

случае

#о =

°;

|*i =

_|х§ =

| і ° = 1 ;

^ = 0 .

Условия

(IV.9):

|p(Ti)dT ] = 0;

цР(ц)йц

if P

(і))Л] =

т)3 Р (ті) di\

= — 6;

т]4 Р (ті) йт| =

4. Определение сигнала, запаздывающего на Y единиц времени: 1° (t) =

=l(t-y)-

Очевидно, что

6 ° ( 0 = 6 ( < - Y ) = * E ( 0 - Y 6 ' ( ' ) + - ^ - I ' ( O -

Поэтому

Y3 .

fx4 =

Условия

(IV.9):

Р (ті) dx\ — 1;

г)Я (ті) rfT) =

J т)2 Р (ц) гіт) =

Y2I

rfP (rj)

dt)

Y3;

Ч 4

^ (ч) ^Ч =

Y4-

5. Определение сигнала,

упрежденного

на

единиц

времени:

Условия

(IV. 9):

1° (t) =

l(t+y).

Р ( т ) ) Л | =

тіЯ (т|) dt\

— Y;

Т)2 Р (Т!) dT) = Y2;

т)3 Р (ті)

dT) =

— Y3;

Tl4 P

(т))

dTi =

Y4-

Таким образом, при соблюдении условий (IV.9) ошибка вос произведения неслучайного (детерминированного) сигнала равна нулю.

Обратимся к случайной ошибке (IV.26).

Дисперсия этой ошибки, представляющая собой математиче

ское ожидание		квадрата		выражения		(IV.26), равна
	De	= M	\	х^ — г\)Р(у])(1ц —			Щ
			о
		т т
=	М	J J	x(t	— r\)x{t	—	&)P(r\)P($)d4d®-
		о 0
		T
	— 2 J x(t			— r\)z(t)P(r\)dr]-{			z2(t)
		0
	T T
=	J J Р(ц)Р(ЩМ[хЦ				— i\)x(t —		#)]dr\d&-
	о 0	T
		T					(IV. 10)
	— 2 J P (T))M [x (t — T0 z (t)] dr\ +						(IV. 10)
	— 2 J P (T))M [x (t — T0 z (t)] dr\ +						M [z2 (t)].

153

По

определению

M[x(t—i\)x(t-Щ

Кхх

(t — т], / -

0 ) ;

[х (t

— п)

г (t)] =

K x

z { t - r \ ,

t);

М [г2

(0] =

К„

(t,

t).

Учитывая стационарность случайных функций, можем за

писать:

л. * - *) = Кхх

(л -

#) =

(* - л);

Кхх (t

*«(л);

# г г (*, о

Ка

(0).

Подставив эти выражения в (IV. 10),

получим окончательное выра

жение

для дисперсии

случайной

ошибки

т т

= \

Кхх

{ц-ЩР

(л) Р

(Щ dy] db —

о о

2 }

Кхг

(л) Р

(л) ^л +

Кгг

(0).

(IV. 11)

Задача синтеза оптимальной системы с конечной памятью сво

дится теперь к минимизации функционала

(IV. 11) при соблюдении

условий (IV.9).

Для этого, как известно, необходимо найти минимум следую

щего

функционала:

т т

D =

\ j

Кхх

(Л — Щ Р (Л) Р (G) <*Л <Ю —

о о

- ї \

Кхг (Л) Я (Л) <*Л + Ка

(0) 4- 2

tfP

(л)

гіЛ, (IV. 12)

ft=0

где ^

— неопределенные

множители

Лагранжа.

Представив

функцию

веса Р

(t)

виде

Р (0

Р о ( 0

af(t),

—произвольная

(IV. 13)

где а — произвольная константа и / (t)

функция,

удовлетворяющая условию, которому должна удовлетворять лю

бая функция веса с конечной памятью, т. е. условию / (t) =							0 при
t < 0	и	t >	Т,	подставив (IV. 13) в (IV. 12), получим
		т т
D	=	j j Кхх (Л -			О) [Л, (Л) -f а/ (Л)1 [Ро (Щ +	()] <Л *Ъ	-
		о о		г
				г
		-	2 \	Кхг	(Л) [Я0 (Л) + af (л)] ^л + # г 2	(0) +
				о

+2 * * J л"[П(л) + «/(л)]^л-

/г=0 о

Дифференцируя это выражение по а и положив а = О, найдем

т т

L = J J * « Ь - ^ М / W d T i +

1о о

тт

+ j J / С « ( т і - в ) Р 0 ( О ) / ( т \| ) А і Л > -
	о о
Т	N	T
- 2 j	/(„(т,) f (Л)гіт, +	І	/ (TOrfn = 0.	(IV.14)
	&=о	о

Так как

г т

\ \ Кхх{г\-Ъ)РоЬ\)!(Ъ)ЛцйЪ =

о о

гг

=J J я*Лл-*)Л,(*)/(ті)Л]<«>,

оо

выражение (IV. 14) принимает вид

т т

		2 J J	кхМ-Ъ)РЛЩ1Шч<и>-
		о о
		1	1\	і
	-	2 J /С„ (Л) / (л) А) + Ц ЯJ			п V	(г]) А) =		О,
или			=0	о
или
Т	Г Т						N
2 j	/(її)	1 / С « ( л — » ) Я 0	( * ) й * - К „ ( л )		+	4	- Е	W dn = 0.
							А=0
Отсюда,		учтя производительность		функции			/ (п), получим

| І ( « . ( Ч - ¥ О ( # ) ^ - 4 ( Ч ) + Т Ї М ' = О

				fe=0
или, обозначив переменные ц и # буквами f и т, положив						—
= Я/і и опустив индекс	0 у	оптимальной		функции веса		Р0 (t),
найдем окончательно:
т				N
J Кхх {t-x)P	(т)dx = кхг		(0 +	2 я;**;		(IV. 15)
		* <о,		fe=0		(IV. 15)
р (0	= о,	* <о,	/ > о.
Таким образом, оптимальная функция				веса	Р (t) находится
в результате решения интегрального			уравнения		(IV.15).

Множители Лагранжа К\ определяются в				результате	подста.
новки найденной функции веса Р (t) в условия				(IV.9).
Способ решения интегрального			уравнения	(IV. 15) будет рас
смотрен в п.	26.
Метод 2.	Потребуем, чтобы неслучайная составляющая ошибки
(динамическая ошибка)		равнялась	нулю [13].
В соответствии с (IV.2а) будем			иметь
	/		со
	J l(x)P(t	— x)dx =	f l(t)P°(t — x)dx.		(IV. 16)
	t—T	— oo

Представим неслучайный сигнал на входе \ (t) в виде линейной комбинации известных функций ft (t) с неизвестными коэффи циентами А{, т. е.

5(0	= 1 ^ , ( 0 -	(IV. 17)
	і
Положим также, что известные функции ft (t)		удовлетворяют
уравнениям
ft (t + 6) = S at,	(Є) fi (t), » = 1 , 2	N. (IV. 18)
і

Заметим, что этому условию удовлетворяют многие часто встре чающиеся функции, такие, как экспоненты, тригонометрические функции, полиномы.

П р и м е р ы

М 0

е о < ;

(' +

Є) =

е а

«+ е > =

e*V <

а п (0) h

(t);

ап

(9)

е а 9 .

/ х

(г1) =

sin

at;

f2 (f)

cos cot*;

/і

9) =

s ' n

со (г* +

0) =

cos Ш0 sin

ыг1 +

sin

0)0 cos

(e )

/і

«12

(в) / 2

(0;

«11

(6) =

cos

0)8;

a 1 2 (0) =

sin

0)0;

(t +

9) =

cos

о) (г* -J-

cos соб cos

at — sin

a>0 sin

a.i

(в) /і

«2 2

(9) h

(0;

«21

(9)

— s i

w 9 ;

a 2 2 (9) =

cos

a>0.

/ і ( 0 =

i; /2

( 0 =

t; м о = <*;

(г +.fl)

1 =

a x l

(Є) / г

al2

(0) / 2

(f)

a13 (0) / , (0;

«11 (9)

= 1 ;

a 1 2

(0)

= a 2 1

(0) =

ft (t + 0)

t +

6 =

a 2 1

(0) / г

(0 +

a 2 2 (0)

f2 (0 + a 2 3 (0) /,

(0;

e „

( 0 ) = 0;

а 2 г ( 0 ) =

a 2 3

(0)

/з

(t+

6 ) =

(t+

9 ) 2 =

<« +

2 в / +

«зі (9)

(t) +

a3 2

(0) / , (0 +

a 3 3 (0) /з (Q;

« з і ( 9 ) = 9 2 ,

a3 8

( 0 ) =

20, a 3 3 ( 0 ) = J .

J 56

Ряд функций не удовлетворяет условию (IV. 18), например

функции,

в которые входит

В дальнейшем будем считать, что

функции

/,• (t), входящие

выражение

.детерминированного

сиг

нала (IV.17), удовлетворяют

условию (IV. 18). Выражение (IV. 16)

с учетом

(IV. 17)

можно представить

виде

со

} ft(x)P(t~x)dx

I fi(x)P»(t-x)dx,

1, 2,

. . .,

t-T

—

со

Произведя замену

переменной

получим

x =

y +

(t—T),

j MY + С -

Т)\

P(T-y)dy

со

IfilV

d -

T)]P°(T-y)db

(IV.19)

— CO

(i=\,

. .,

N).

С учетом

выражения

(IV. 18)

ly +

( t -

Г)] =

аи

(t -

Т) f,

(у).

(IV.20)

Подставив (IV.20) в (IV. 19), получим

j^au(t-T)ff(y)P(T~y)dy

о/

		=	J			Yiaii(t-T)fj(y)P°(T~y)dy,
		—	0 0	/
откуда	следует
	Т					"О
	j h	(У) P(T~y)dy^=				\ h (у)	P° (T	-	y) dy.	(IV.21)
	0					-r CO
Если	перейти		к	новой	переменной
					ц =	Т - у ,
уравнения (IV.21)			примут		вид
Г				со			-			•
\fi(T-vi)P(n)d4=				j	f((Т	— гу)Р0(ц)dy\,		f=l,	2,	. . ., N.
О				— со						(IV.22)
										(IV.22)
Функция		веса		оптимальной		системы	должна		удовлетворять
N условиям		(IV.22), эквивалентным требованию							отсутствия не

случайной ошибки в установившемся режиме, и обеспечивать минимум дисперсии случайной ошибки е 2 (t).

Определение такой функции веса сводится к минимизации функционала

тт

оо

— 2 J /С« (Л) ^ (Л) ^т, + /С« (0) f

N Т

	+	5 > J	fi{T-x\)P(T\)d4.			(IV.23)
	1=1		о
Подставим	(IV. 13)	в (IV.23).		Тогда
т т
D = J j Кхх	(Ц -	Щ [Р0	(Л) +	af (ті)] [Р0 (G) +	а/	(#)] dr! d$ •
о о	т
	т
-	2 J Кхг	(л) [Р0 (л) +		а/ (Л)] Л] -Ь К-а	(0)	4-
	о
+	2 ^	J f• ( т -		л) t^o От) + of (л)] Ль
	i=l	о

Дифференцируя это выражение по а и приравнивая производную нулю, получим при а = О следующее интегральное уравнение:

\| к х х (t-x)p	(т) d x = к х г (t) + 2 я;л	(т-ty,
	1=1	(IV.24)

Р (0 = 0, t < 0 , * > 7\

Оптимальная функция Я (*) находится в результате решения этого интегрального уравнения. Множители Лагранжа %k определяются в результате подстановки найденного решения в условия (IV.22).

26. РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ОПТИМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ

В предыдущем параграфе было установлено, что определение функции веса оптимальной системы в том случае, если полезный сигнал на входе представляется в виде

6(9= S и°*6*(9.

причем

at 6(9 = 0, k>N,

сводится		к решению интегрального				уравнения		(IV. 15) и		учету
условий		(IV.9).
	В том же случае, если полезный сигнал на входе представ
ляется в		виде
			МО	= £	Atft		(О,
				(=1
где	функции		fi (0 удовлетворяют		условию (IV. 18),				определение
функции		веса оптимальной системы с конечной памятью сводится
к	решению		интегрального	уравнения			(IV.24)	и	учету	усло
вий (1V.22).
	Интегральные уравнения			(IV. 15)		и	(IV.24) различаются			лишь

видом второго слагаемого в правой части. Поэтому оба уравне ния можно представить в виде

Т N

Кхх

(* -

т) Р (т) dx =

Кхг (0 +

№

(О,

(IV.25)

k=0

где ,Fk

(t) =

tk в

первом

случае

и Fk (0

{Т—

во

втором

случае.

веса Р (t)

Искомую

функцию

можно

представить

в виде

ёо (0

+ S

bk&k it),

(IV.26)

где g0

(t) удовлетворяет

интегральному

уравнению

Кхх

(t -

т) g0 (х) dx =

Kxz

(t),

(IV.27)

eft (0 — интегральным

уравнениям

J tf« (t -

x) gk

(x) dx =

Fk {t),k

2, . . .,

(IV.28)

Действительно, сложив левые и правые части уравнения (IV.27)

уравнений

(IV.28),

которые

можно

представить

в виде

КХх

(t— х) gk{x) dx =

%kFk{t),

получим уравнение (IV.25) с уче-

том представления Р (t) в виде (IV.26). Таким образом, каждое из

интегральных уравнений имеет	вид
г
о\Kxx(t-x)g(x)dx	= f(t),	(IV.29)

где / (t) — известная функция времени; g (t) — функция веса или одна из ее составляющих.

Корреляционная функция Кхх (t) является четной функцией аргумента t. Преобразование Фурье (двустороннее преобразова ние Лапласа) этой функции, представляющее собой спектральную

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2516 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ