Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

и, следовательно, имеет	полюсы		только в		левой полуплоскости;
Г_ (s) есть преобразование		Фурье		функции	времени
		(	0,	• * > 0
y A t )	=	\y(t),		t<0

и, следовательно, имеет полюсы только в правой полуплоскости. Из выражения (11.28) следует

Ф^(8 ) = ег *<< ) ег -<< ) .

Так как показательная функция комплексного переменного не может иметь полюсов в области, где отсутствуют полюсы показа теля степени, то

ф £ і » = е г + ( , ) ; ф ^ ) = е г - ( 8 ) .

Таким образом, передаточная функция формирующего фильтра

если на вход этого фильтра поступает белый шум единичного уровня (N = 1), или

	H(s)=0+(s),
Фуу (s)
где Фуу (s) — -г—ш—безразмерная			«приведенная»		спектральная
Wyy (UJ
плотность и уровень белого шума			yV = oyD^ (0).
Из определения	белого шума как случайного процесса, спект
ральная плотность	которого	постоянна (N =		const),	следует, что
дисперсия белого	шума D	= •—•	со	со бесконечна.
			\| N dco =

— с о

Разумеется, что реальных процессов с бесконечной дисперсией не существует. Поэтому белый шум является не реальным процес сом, а удобной математической абстракцией. На практике белым шумом можно аппроксимировать случайный процесс, спектраль ная плотность которого приблизительно постоянна в пределах полосы пропускания системы, так как вид спектральной плотности вне полосы пропускания системы не оказывает влияния на резуль таты преобразования данного сигнала данной системой.

Следует иметь в виду, что для вычисления интегралов от спек тральных плотностей

		і со	І со
И У -	2лі	і ^УУ ( S > A S - 2ni	J B+ (s) B- (s) a S >
	—	tco	— ї с о

определяющих значения дисперсии, составлены специальные таб лицы, использование которых значительно сокращает объем вы числительной работы, избавляя от необходимости нахождения вы-

четов. Указанные таблицы имеются в работах [7, 11] и др. Наи более полные таблицы, к тому же не содержащие ошибок в одном из интегралов (77 ), приведены в [7].

16. К О Р Р Е Л Я Ц И О Н Н А Я Ф У Н К Ц И Я И СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ ПРОИЗВОДНОЙ СТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

*Как было показано ранее (пример 2, стр. 68), корреляционная функция производной х' (t) случайного процесса х (t) в общем случае равна

			V- /+ І \	д2Кхх	(tly	t2)
			кх>Х' (tu t2) =	d h	d h	.
Если	x	(t)	— стационарный процесс
	Kxx		h) — Kxx {h —	— Kxx (t-2 — h) = Kxx (T),
где T =	/ А	—	tx.

Поэтому корреляционная функция производной стационар

ного случайного процесса будет
Дх'х'(х)=	^г— •

Для существования второй производной необходима непрерыв ность первой производной корреляционной функции Кхх (т). Производные многих корреляционных функций не являются

непрерывными			и, в	частности,		терпят		разрыв (первого рода)
в	точке	т = 0.								Кхх (т) =
	Например,		ПрОИЗВОДНаЯ		КОрреЛЯЦИОННОЙ фуНКЦИИ					Кхх (т) =
=	а 2 е	равна
			dx		\|	ao е	,	т <	0,	(11.29)
						ao е	,	т <	0,
						„с?*™
ИЛИ
			dKXxJy)		_	l T l . g g	2 c - ° 4 T '
				dx		х
График этой функции				приведен		на рис.		12.	В точке т =	0 произ

водная терпит разрыв первого рода. Величина этого разрыва равна 2aa2 . Такие функции принято называть недифференцируемыми. Однако если воспользоваться некоторым формальным приемом, то можно дифференцировать и недифференцируемые функции. При этом оказывается, что производная недифференцируемого процесса, т. е. такого процесса, первая производная кор

реляционной функции которого претерпевает разрыв	первого
рода, содержит компоненту, представляющую собой	белый
шум.

Существо указанного приема поясним на примерах.

П р и м е р 1. Корреляционная функция случайного процесса

Кхх (Т) =

Первую производную этой корреляционной функции, определяемую форму лой (11.29), можно представить в виде

dKxxW dx

\dKxx(z> dv

г• •

/у 'ссб

-ссбг>

-2асбг1(г)

Рис. 12

-Щ- а а 2 е - а	М + 2аа2 1	(т) j	— 2ао2 1 (т),			(11.30)
где	1 (т) =	1,	т >	0	— единичная функ-
		0,	т <	0

ция.

Выражение в правой части равенства (11.30), заключенное в квадратные скобки, представляет собой непрерывную дифферен цируемую функцию, изображенную на рис. 12 штриховой линией. Действительно, в результате прибавления функции 2сео"21 (т) правая часть кривой поднимается параллель но самой себе на величину 2сш2 (т. е. на ве личину разрыва в точке т = 0 ) , а левая часть кривой остается без изменения.

Дифференцируя выражение (11.30), по лучим

<РКхх{т)		= а 2	р 2 е - а 1 т \| _ 2 а а 2 0	( т ) ;
д т 2			х	"
X где б (т) =			1 (т) — б-функция.
Наконец,
х	х	( '	dx*
=	а 2	[2аб(т) — а 2 е - а \| т \| ] .		(11.31)

Найдем спектральную плотность, соот ветствующую корреляционной функции (11.31), т. е. спектральную плотность про цесса х' (t). Выполнив преобразование Фурье правой части (11.31), получим

Ф,.Я . (.) = а 2 ( 2 а - а 2

= - - Щ , .

(11.32)

Выражение для спектральной плотности $>Х'Х> (s) можно получить и непо средственно, не обращаясь к корреляционным функциям.

Обозначим

у (0 = х' (0 или Y (s) = s X (s).

По определению

®yy{s)=®xx(s)H(s)H{-s).

Так как

Н (s) - s,

то

ФУУ (s) = Ф*'И«) = -

Поскольку

, .

2сго2

получим

окончательно

2cro2s2

a2 — s2

Это выражение совпадает с (11.32).

П р и м е р

Пусть х (t) — случайный

стационарный

процесс

корреля

ционной

функцией

Кхх{х)

=a 2 e - a l T lco s

Рт.

(11.33)

Очевидно, что

- a 2

a e - a T

^cos Рт +

-~- sin Рт^,

T > 0

Кхх{х)

a 2 ae a T ^cos Рт

^- sin PT^, T < 0,

или

«хх (x) -

a 2 a e - « 14 [cos Рт + - j L

sin p | т |] .

(11.34)

Графики функций

(11.33)

и (11.34) изображены на рис. 13.

Снова прибавим к правой части 2aa2 1 (т) и вычтем такой же член. Функция

• a 2 a e - a | T |

cos Р т + 4

sin р | т j

2сго21 (т),

изображенная

на рис. 13 штриховой

линией,, является

непрерывной

дифферен

цируемой

функцией,

производная которой

равна

о 2 е - а

I т і [(а2 — р2 ) cos Рт +

2ар sin р | т | ] .

Таким

образом

(по аналогии с примером

1),

Куу

(х) =

Кх.х.

(х) =

а 2

{2а6 (т) -

е ~ а

I т і [(а2 -

р 2 ) cos рт

2ар sin

р | т | ] } ,

где у (t) =

-!~-х

(0,

или Y

(s) = sX (s).

Спектральная плотность производной сигнала х' (t), найденная как преоб

разование

Фурье

корреляционной функции

Куу (х),

равна

2a— (а2 —

Р2 )

2а (а2 + р2

— s2)

s4 — 2 (а2 — р2 ) s2 + (а2 + Р 2 ) 2

9 o ft

2Рр (aа22 + pР2

+ s22)

"і

s4 — 2 ( а 2 — Р2 ) s2 + (а2 + Р 2 ) 2 J

2a8 as2 ( а 2 + Р 2

—s2 )

(11.35)

S* — 2 (а2 — р2 ) s2 + (а2 + р 2 ) 2 *

С другой стороны, так как спектральная плотность

Фхх

2а2 а (а2 + Р2 _ . s z)

(s)

= s4 — 2 (а2

— Р2 ) s2

+ (а2 +

р2 )2 '

Ф„

(S) = -

8«ФЖ_ (S)

— 2o2as2 (а2 + Р2 — s2)

.(11.36)

s* — 2 (а2 — р2 ) s2

+ (а 2 + Р2 )2

Выражения (IL35) и (11.36) совпадают.

Таким же образом можно находить корреляционные

функции

(и спектральные

плотности)

других

недифференцируемых

про

цессов.

Поскольку

белый

шум яв

ляется удобной

математической

абстракцией,

не

реальным

процессом

(дисперсия

белого

шума равна

бесконечности,

что

ЧУ

'г

невозможно

для реального про

цесса),

недифференцируемые

случайные функции — это такие

функции,

производные

кото

рых

не

имеют

конечной

дис

персии.

Любую

дробно-рацио

нальную

спектральную

плот

' J

ность можно представить

в виде

Кб

/і

////

v . /

(11.37)

Спектральная

плотность бе

-2cc6*1(Z)

лого

шума

N = const,

спек

тральная

плотность

производ

ной

порядка

от белого шума

равна (—l)*iVs2 f e . Дисперсия Рис. 13 как белого шума, так и его

производных равна бесконеч ности. Производная порядка г случайного процесса х (f) со спектральной плотностью (11.37) «существует», т. е. имеет ко нечное значение, если

т. < п — г.

Действительно, если

drx(t)

y(t) = d(r

Ф г а ( 5 ) = ( - І ) ' Ф « ( 5 ) 5 2 ' ^

			т
			Е ( - i ) 4 s 2 ( f t + r )
			= ( - 1/ - * ^ L	.	.	(И.38)
			S (-l)V2*
	При	m <Cn — г порядок полинома в знаменателе (11.38) выше
порядка		полинома в числителе (по крайней			мере на два при т=
=	п — г— 1) и дисперсия процесса у (t) конечна, т. е. производ
ная порядка г случайного процесса				х (t) «существует». При т =
=	п — г числитель и знаменатель			(11.38)	являются полиномами
одинакового порядка. Поэтому
			<byy{s) = N + <S>yu(s),
где	N =	const	и Ф*^ (s) — дробно-рациональная			функция, у ко
торой порядок			полинома в знаменателе выше порядка полинома

в числителе по крайней мере на два.

Постоянная составляющая N соответствует белому шуму, вследствие чего дисперсия у (t) бесконечна, т. е. производная порядка г случайного процесса х (t) не существует. Заметим, что если существует производная порядка г, то существуют и все производные более низкого порядка и если не существует произ водная порядка г, то не существует и производных более высокого порядка. Если же пользоваться изложенным приемом, то все про изводные существуют, но могут иметь компоненты, представляю щие собой белый шум и (или) его производные.

Такая трактовка чрезвычайно удобна при решении задач син теза линейных систем, так как не требует сложной аппроксимации корреляционных функций, которые при традиционном подходе должны соответствовать процессам, «дифференцируемым» нужное количество раз. Действительно, в любой инженерной задаче кор реляционные функции не задаются (и не могут быть заданы) априори, так как интересующие нас случайные процессы задаются либо конечным числом реализаций, либо некоторыми общими со ображениями. Из такого «статистического» задания случайных процессов следует, что проектант должен пользоваться не «истин ными» корреляционными функциями, а их оценками, которые могут аппроксимироваться выражениями большей или меньшей сложности. Широко распространенные в инженерной практике методы обработки статистических данных приводят обычно к та ким (сравнительно простым) выражениям для оценок корреля ционных функций, которые очень часто соответствуют «недифференцируемым» процессам. Последнее обстоятельство не должно смущать, так как конечность (а если требуется, то и минималь ность) дисперсии окончательного результата гарантируется реше нием задачи синтеза.

Иными словами, если спектральная плотность на входе имеет «слишком высокий» (для того чтобы процесс был дифференцируе мым) порядок полинома в числителе, то найденный оператор синтезируемой системы (ее передаточная функция) будет иметь «достаточно высокий» порядок полинома в знаменателе, в резуль тате чего спектральная плотность процесса на выходе окажется такой, что интеграл от нее (т. е. дисперсия окончательного резуль тата) будет конечной (а если требуется, то и минимальной) вели чиной. Эта простая и чрезвычайно плодотворная идея уже была использована в п. 15 при рассмотрении формирующих фильтров, позволяющих получить любой реальный процесс, имеющий конеч ную дисперсию, из удобной математической абстракции — белого шума, дисперсия которого бесконечна.

17. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ОЦЕНКИ ИХ ХАРАКТЕРИСТИК

В рамках корреляционной теории случайных функций огра ничиваются моментами первого и второго порядка, т. е. матема тическим ожиданием и корреляционной функцией, которая сама является математическим ожиданием произведения центрирован

ных случайных	функций.
Математическое		ожидание,		определяемое		по формуле
				со
	М	[х (t)] =	тх	(t) = J xf (х,	t)	dx,
				•—со
есть среднее по множеству			реализаций.
Так как в большинстве практических ситуаций плотность ве
роятности / (х,	f)	неизвестна,		приходится	пользоваться оценкой
математического	ожидания

/»£(*) = _ ! _ £ * , (О,

П (=1

представляющей собой среднее по конечному множеству реали заций. Эта оценка является состоятельной, так как можно пока зать, что

\\mmx(t) — mx(t).

Найдем теперь другую оценку

	т
mx(t) =	-^\x{t)dt,

представляющую собой среднее по времени на интервале [0—Т] одной из реализаций случайной функции.

Определим математическое ожидание оценки mx(t):

	M[mx{t)]=M	л
	M[mx{t)]=M	J х {t) At
		J х {t) At

=Ar\M[x{t)]dt=;-±r\mx{t)dt.

Если

x (t) — стационарная

случайная

функция,

тх

= const.

При

этом

M[mx{t)\

= тх

mxdt

= тх

т. е. среднее по времени является

несмещенной оценкой матема

тического ожидания стационарной случайной функции.

Найдем теперь дисперсию оценки тх (t) = тх;

D[mx]

= M[(mx-mxf}

T T

М | J L J J [х (4) -

mx\ [x (4) -

mx] dtx

dt2

\ =

T T

о 0

T T

J j M їх» (4) x° (4)] dtx

= J L . J J Kxx

(4 -

4) dti dtt

о 0

Перейдем

к переменным

1 =

'ч=

Тогда

Т т

D[mx\

-^-\\Kxx{t1-ti)dtxdti=-^r\

KJCX (I) d\ d\] •

\Kxx{l){T-l)dl=^r\Kxx{l)(\~\)dl.

Оценка

будет состоятельной, если

lim D [mx] = lim 4 f /C„ (g) (1 -

7 4 - 0 3

7 Я . M . Цейтлин

Стационарная случайная функция х (t), для которой соблю дается это условие, называется эргодической (по отношению к ма тематическому ожиданию). Для такой функции

	оэ	Г
mr	[ xf(x,	t)dx = lim тх — l i m — [ x{t)dt,
		Г->с

т.е. среднее по множеству совпадает со средним по времени. Практическая проверка этого условия весьма затруднительна.

Можно показать, что достаточным (но, вообще говоря, не необ ходимым) условием эргодичности стационарной случайной функ ции х (t) является

lim Кхх (т) = 0.

Стационарная случайная функция х (t) является эргодической по отношению к корреляционной функции, если

1	Т			Kxx (T) =
lim -jr	j хо { t ) хо { t + T )	d t = =	U m	Kxx (T) =
1 -± CO	У		7 - >co
1 -± CO	У		T	і
= J J" (*i — mx) {x2 — mx)		f {xlt	x2,	x) dXl dx2 = Kxx (x),
—со —00
где
	T
Kxx	(T)=^r\x°(t)x»(t			+ %)dt

— оценка корреляционной функции, найденная как среднее по времени для одной реализации, которое также должно совпадать с соответствующим средним по множеству. Несмещенность

		т
М [Кхх	(х)] = М —	( х° (t) х° (t +	т) Л =
	1	о
т		т
= ±\М[х°	(0 х0 (t + х)] dt = ±r\ Кхх		(х) dt = Кхх (х).

Для проверки состоятельности оценки необходимо, вычислить дисперсию оценки, которая равна

	f21	т т
D[Kxx(x)]=M	f21	Ц х° (tj) х° & + х) х° (t2) х° (t2 + х) dtt dt,

о о

1Кхх(т)]\

так как
КххЮ =	М[Кхх(т)Ъ
или
т т
D [Кхх (x)] = -±rjJM[х°ft)х°ft)х°ft	+ т ) х й f t + т)] <ft<ft —

о о

-1Кхх(т)].2

Для вычисления этого интеграла нужно знать момент четвер того порядка случайной функции х (t). В общем случае произволь ного закона распределения момент четвертого порядка не выра жается через известные моменты второго порядка. В том же случае, когда функция х (t) подчинена нормальному закону распреде ления,

М [х° ft) х° ft) х» ft 4- т) х° ft 4- т)] =

=• Mx* (к - к)? 4- [Кхх (т)]2 4- Кхх (к - к 4- т) Кхх ft ~ к ~ т). Поэтому для нормальной случайной функции дисперсия оценки Кхх М равна

т т
D [Кхх (т)] = - р - J J [Klx ft -	h) 4- Кхх	ft - h + т) х
о о
X Кхх ik — к ~	%)\ &к&к.

Можно показать, что достаточное условие эргодичности по отношению к математическому ожиданию

Нт/С«(т) = 0

Т-»со

является достаточным также и для того, чтобы

1ішЯ«(г) = /С„(т),

7"->со

т. е. для того, чтобы стационарная случайная функция х (t) была эргодической и по отношению к корреляционной функции. Это условие выполняется весьма часто. Поэтому многие стационарные случайные функции являются эргодическими, что дает возможность определения оценок их математических ожиданий и корреляцион ных функций по формулам

т
mx = -ljr\x(t)	dt;
о
7
Кхх (т) = -^r j [х (0 — шх]	[х (t + x) — щ] dt,
о
где х (t) — одна реализация.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ