Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Следовательно,

а3 Г8

S ' ( - g «r » + 40)

+ 12а272

+ 60аГ +120

Яз —-

—

6 0

~ а3 Г3

+ 12а2Г2

+ бОаГ + 120

Система

уравнений

для

определения

коэффициентов Кі і

выражается

следующим

образом:

Х\ (20аТ2

+ 240сх ) +

Яз* (ЗЙГ* — 20&37'2

- f 24(к3 ) =

120;

Я! (28яТ2

560ci) +

Яд (5аТ2

— 2ЪЪЪТ%

+ Ь№съ)

= 280.

Отсюда

D = 16Т2

(а2 Т4

280ос3 — -ЗОо^Г2

+ 280сЛ)

= - ^ Ц г (8а4 Т 4

190а 3 7 3

+ 1500а2 Т2

6720аГ +

13 440);

Dx =

80Г2 ( -

З а Г -

2863) =

( - « 2 Т 2 + 56);

£>3 =

2240аГ2

U2f£T*

Следовательно,

. . _

240 ( -

а 2 Г 2 +

56)

8а*Г4 +

1 9 0 а 3 Г 3 + 1500а 3 Г 3 +6720а 3 Г 3 +

13440

2240а3

8а4 Т* +

190а3 Т8 +

1500а2 Г2

+ 6720аГ +

13 440

Обозначим аТ

= х. При этом

3 ( - х Ч - 4 0 )

2 =

° ~

л: 3 +12д: 2

60лг+120

1Г°2

, ,

12 ,

120 =

Т - а 2 / о

;

1 +

- *

240 (—л:2

56)

ха2

А\

190x3 -f-

1500л:2 +

6720л; +

13 440)

Г (8л:* +

1 -

•

_ _ _30_ 2 f

* Г

23,75

187,5

840

1680

0 '

i W '

, ! T

T .

, t

л Ж

60*%г

1\>2

Т2 (х3 +

12х* +

60х +

120)

п..

/ .

хТ2

"а2

, ,

60 .

120

х Г 2

Я3 *

2240лг8а2

Т3(8х* +

190x3

J-

1500л2

6720л: + 13440)

280

. .

23,75

. 187,5

840

1680

1 + — д - + ~ ^ r - + — + —

Заметим, что

lim /о (х) — lim fx (х) t= lim / 2

(*) = lim /з (x) — 1.

Л Г - > С О

*->oo

Параметры

функций

веса

имеют вид:

2а2 ~

2Гст2

2а2

о 2 * '

1 - 1 ~ 4а2

V ^ л: У '

ЗГ .

/ , , _4_\ .

ав*

а2 *

С г

8а 2 V+

) '

Со

= Ж 2 "

Функция веса

Л э = 2 „ ^ ; ( э = [ - . - з г Ы * ) -

х2Т

(=0

= [-frM*)

840

f8 (*)] g•+

f2 (*)] ga

[ -

/з (х)] s8 +

х 2 Г 2

+ [ -

4 - /о <*) +

ч4-

( і + 4 ) ь < * > + ^

( 1 + 4 - )

/ . .(*>+

_ і ^ ( і + А ) М х ) б ] ( , _ ^ ) .

Из полученного выражения следует, что
lim/>*(Е ) = _ 3		3 0 _ g 2 _ J i ^ g s =	p * ( E ) .
Г \	16	120 , , 240 , 2	140 t3.

Заметим, что мы получили бы выражение Р (t), если бы искали оптимальную функцию веса для случая, когда помеха представ ляет собой белый шум.

Расчеты показывают, что при х = аТ > 50

P(t)~P (/),

т. е. выполненный выше предельный переход справедлив. Иными словами, при достаточно большом значении наблюдательного вре-

50
мени, т. е. если Т >•	помеху	с корреляционными функциями,
содержащими множитель	е-а1х>,	можно заменять эквивалентным

белым шумом, что существенно упрощает определение динамиче ских характеристик оптимальных систем.

Среднеквадратическое значение помехи на выходе системы с функцией веса Р (t) будет

Найденной выше оптимальной функции веса соответствует трансцендентная передаточная функция. В связи с этим возникает задача аппроксимации оптимального СУ линейной системой с бес конечной памятью, динамические параметры которой достаточно

близки		к оптимальным.
Пользуясь известным методом, изложенным, например, в ра
боте	[2] , можно показать, что дробно-рациональная'передаточ
ная	функция «оптимального»				линейного СУ должна				иметь вид
		р	_	1 + ats + a2s2			+ a3s3
		^ '		1 + ats + a2 s2 + a 3 s 3 -f- a 4 s 4 '
где
аг	= 0,45 T; a2 =			0,086 T 2 ; as		=	0,0135	T3; a4 =	0,0006 T 4 .
Среднеквадратическая ошибка						на	выходе	такого СУ, вычис
ленная		по формуле
					і со
		а	- х	= - 2 І Г			lFSs)F(-s)ds
				—ісо
(так как помеха с корреляционной							функцией К (0		заменена
эквивалентным белым				шумом),	оказывается			равной	,
				_	3,96

°вых — yj,

Заметим, что на выходе оптимального СУ с функцией веса Р (t)

<*вых =

Yfa-

Динамическая ошибка данного СУ, равная динамической ошибке оптимального СУ, равна

Д(*) = —0,0006 х<4> (t)T\

где х (t) — полезный сигнал на входе.

Тот факт, что среднеквадратическая ошибка на выходе аппрок симирующей системы оказалась несколько меньше, чем у опти мального СУ, не является логическим противоречием, а просто

1 аз Р

Рис. 23

отражает тот факт, что переходный процесс аппроксимирующей линейной системы продолжается бесконечно долго и «заканчи- ваетс-я» к концу интервала времени Т с точностью до заданной величины, в то время как переходный процесс оптимальной системы строго ограничен промежутком времени Т.

Передаточной функции F (s) соответствует структурная схема, изображенная на рис. 23.

Функция веса оптимального дифференцирующе-сглаживаю- щего устройства (ДСУ). Пусть на вход линейной динамической системы поступает полезный сигнал, представляющий собой линейную функцию времени, с помехой, нормированная корреля ционная функция которой

К«(т) = е-«'1Ч .

Требуется определить сглаженное значение скорости изменения полезного сигнала. Заметим, что эта скорость постоянна.

Корреляционная функция помехи в скорости будет

Kvo (т) = -К"хх (т) = 2аб (т) - а 2 е - а ' *'.

Спектральная	плотность		этой	помехи
		/	ч	2as2
		Ф Р 0 ( 8 ) = — Q 2 _ S 2 •
Интегральное	уравнение		имеет вид
	т
	\Kvv(t	— x)P(x)dT =			const,	(IV.80)
	о
так как скорость	постоянна.
Пользуясь традиционным методом [11], получим
Р (0 =	— At2	+	Bt +	С,	Г.	(IV.81)

Так как правая часть интегрального уравнения постоянна, функция веса симметрична относительно середины интервала [О—Г], т. е.

		Р (t) =	Р (Г — f).
Отсюда	В = AT, поэтому
	Р (t) = A t (Т — t) + С			(IV-82)
Подставив (IV.82)		в (IV.80),	найдем
т
J	[А (т) (Т — т) +	С] [2аб (t — х) — а 2 е~ а 1		I] dx = const.
о

Представив левую часть этого выражения в виде

т t т

1 - 1 + 1

О О t '

и вычислив соответствующие определенные интегралы, что яв ляется достаточно трудоемкой операцией, получим

а	1	са —	(аТ + 2)1 {e~at + e - a				<г-<>) =	const.
а	1
Отсюда
					а2
		т
Условие		\| Р (x)dx =		1 дает
		о
				^ + П Г		=
Таким образом,
Л _		6а 2		с	_	6 ( а Г + 2)		a	v g	3 )
		Т ( а 2 Г 2 +	баГ +	12) ' °	~~	Г ( а 2 Г 2	+ баГ +	12) ' к	'	'

Воспользуемся теперь методом, изложенным в п. 26.

Имеем В (р) = р 2 (постоянный множитель 2а можно не учи тывать, так как все равно требуется находить неопределенный множитель Лагранжа Я) и Л (р) = р 2 — а 2 .

Дифференциальное уравнение (IV.75)

т|г<Р*(6)=1.

Примем в силу симметрии
Тогда	Ф*(Ю =	£2 + Яо.
Тогда
У (1) =	(Р - «) (І2 +	«о) =	2& -	аб» -	аа 0 ;
Граничное условие	имеет вид г/ ^		^	= 0,	откуда

Так как в данном случае т — п = 1, члены с б-функциями отсутствуют. Поэтому согласно (IV.76)

Ш =

(Р2 -

a2 ) {f

Об) =

2 -

а2 £2

а \ .

P*0(r\)dr\

= %*0

[ ( 2 - a 2 a 0

) T

а а Г

12.

—г

откуда

° ~ Г ( а 2 Г +

6 а Г + 12)"

Следовательно,

* ®

Т ( а 2 Г 2

6аГ4 - 12). ( 2 " «

+ « Г +

)

•

, Для

перехода

переменной

подставим

сюда

== f — 2 >

после чего

получим

6а2

P*(t)=

t (Т

~ 0

г ( а 2 Г 2 +

6 а Г + 1 2 )

r ( a#°U?W=-Г ) +С *-

(IV-84)

185

Из сравнения выражений (IV.84) и (IV-82) с учетом (IV.83) следует, что

А* = А, С* = С, P*(t) = P(t),

т.е. оба метода дают один и тот же результат. Обратимся еще раз к сравнению двух методов.

В соответствии с традиционным методом функция						веса ищется
в виде
г	2т			п—т+1
^ ( 0 = S V + S V ' +				S [ck6lk){t)		+Dk8{k)(t-Tj\,
где pk — корни	числителя		спектральной плотности.			коэффициен
Эта функция	содержит		г +	2/г + 1 неизвестных
тов, которые определяются следующим образом.
Фукнция Р (t), будучи подставлена в интегральное уравнение,
должна обратить	его в	тождество.			При этом получается 2п		урав
нений. Остальные г +		1 уравнений			находятся из условий,		накла

дываемых на моменты функции веса, или из аналогичных условий. Вычисление определенного интеграла, в который обращается левая часть интегрального уравнения при подстановке в него функции, является весьма трудоемкой операцией.

Метод, излагаемый в данной работе, не требует вычисления сложных определенных интегралов и решения систем уравнений высокого порядка. Предложенный в п. 26 метод введения четных и нечетных функций с переходом к симметричным пределам дает дополнительное сокращение вычислительной работы.

Глава V

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ.

ОПТИМАЛЬНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ

28. ОПТИМАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТНЫЕ СИСТЕМЫ

Детальное изложение теории многомерных систем, схематично изображенных на рис. 7, б, требует широкого применения мат ричного исчисления и концепции состояния, из которой выте кают понятия управляемости, наблюдаемости и идентифицируе мости.

Изложение этих вопросов, которое можно найти в [ 5 ] , вы ходит за рамки данной работы, где используются в основном спек тральные методы анализа и синтеза линейных систем.

В начале этой главы рассматриваются оптимальные инвариант ные (по отношению к полезному сигналу) системы [12], находя щие широкое применение на практике.

Далее методы синтеза таких систем распространяются на общий случай обработки информации, поступающей по нескольким, вообще говоря, зависимым каналам, когда не накладывается усло вие несмещенности оценки, т. е. условие абсолютной инвариант ности.

В заключительной части главы приводится простейший слу чай синтеза нестационарной системы, для которой решение можно получить в аналитическом виде.

Среди многомерных систем особое место занимают инвариант ные (по отношению к полезному сигналу) системы, обеспечивающие получение несмещенных оценок интересующего нас параметра,' что принципиально возможно, если информация о данном пара метре (разумеется, вместе с аддитивными случайными помехами) поступает от нескольких, как правило, независимых источников.

Часто решение этой задачи называют комплексированием. Оптимизация таких систем сводится к обеспечению минимума среднеквадратической ошибки искомой несмещенной оценки. Зна чение многомерных инвариантных систем особенно велико в об ласти автоматического определения навигационных параметров — одной из важнейших задач современной навигации. В известной монографии Мак-Клура [6] рассмотрено несколько возможных схем объединения «чистой» инерциальной системы с независи мыми датчиками внешней информации (в частности, с лагом).

Задача оптимизации таких систем в работах по комплексированию не поставлена.

Заметим, что синтез инвариантной системы, определяющей не смещенную оценку полезного сигнала, очень тесно связан с поня тием фильтрации или с более привычным для инженера-прибо риста понятием сглаживания.

Указанная связь особенно ясно заметна в весьма прозрачных в этом отношении задачах использования двух источников инфор

а)		мации.	Действительно, в
а)		терминах инвариантности
		терминах инвариантности
О г		задача формулируется сле
О г	*	дующим	образом.
		Имеются сигналы:

## +

Уі

О*І

в)	*
Уі	*
Уі
о	•	^

Уг = X + пх, Уг=х

+"2.

где х — полезный сигнал; «і» п2—помехи (рис. 24,а).

Задача состоит в опре делении двух линейных операторов Fx и F2, пре образующих каждый из сигналов таким образом, чтобы переменная на вы ходе

г = Fxyx	+ F2y2		=
= Fx(x+nx)	+F2(x	+	n2) =
= (FX + F2)x +		Fxtix	+

+^2«2


	представляла		собой	опти
	мальную	(в смысле		мини
Рис. 24	мума	среднеквадратиче-
	ской ошибки) несмещенную
оценку полезного сигнала. Для	этого необходимо и		достаточно,

чтобы

операторы

удовлетворяли

следующим

двум усло

виям:

D [Fitii

+ F2n2}

min,

где D

[. . .] — символ

дисперсии.

Первое из

этих

условий — условие

инвариантности (несме

щенность оценки), а второе—условие

оптимальности

(минимум

дисперсии результирующей ошибки на выходе).

В терминах фильтрации (сглаживания) эта задача может быть

сформулирована

следующим образом.

ух

и у2

Фильтрация

(сглаживания) каждого

из сигналов

при

ведет не только к подавлению помех пх

и п2,

но и к

неизбежному

искажению полезного сигнала х,

если на вид этого сигнала

зара-

нее не наложены определенные ограничения, совместимые с прак тической возможностью (или целесообразностью) создания со ответствующих фильтров. Поэтому в данном случае представ ляется разумным перейти к эквивалентным схемам, где фильтрации (сглаживанию) подвергается функция, не содержащая полезного сигнала (рис. 24, б, в). Действительно, согласно этим схемам опре деляется новый сигнал у*, равный разности имеющихся на входе

сигналов: у* = ух—	У г =	пх— га2. Этот	сигнал	уже не	зависит
от полезного сигнала	х.
Теперь задача состоит		в определении	такого	фильтра	(линей

ного оператора Ф), который при поступлении на его вход сигнала у* в идеале должен «пропустить» помеху пх, и «не пролустить» по меху га2 (или наоборот).

В реальных условиях точность решения этой задачи зависит от степени различия свойств (или характеристик) случайных функ

ций пх (t) и п 2 (г).

Чем больше указанное различие, тем точнее будет «выделение» одной их помех. Практически на выходе фильтра будет иметь

место

сигнал

либо

уТ =Щу

— Фі (гаї — л2 ) =

tlx +

у7 — Ф2у

= ФІ (гаї — n2 ) =

—га2 +

є2 ,

где е х

и е 2

— ошибки

выделения

соответствующих

функций.

Искомой оценкой

полезного сигнала

является функция

2 i =

г/1 — ух

= х +

пх — (гаї +

Єї)

х - f (1 — Фі) пх

Фхпх

= x J r

n 1

— Фх

(пх — га2) = х —

гх

либо

2 2 = у2 + у" = х + га2

(—га2

є2 )

І= х +

(1 — Ф2 ) га2

Ф2пх

= х-+-п2^гФ2(пх

— п2)

= х +

є2 .

Условие

оптимальности

сводится к выполнению

требований

или

[sx]

min

[е 2 ]

min.

Нетрудно заметить,

что схемы, приведенные на рис. 24, а и

24,

б, в, динамически

эквивалентны.

Действительно,

как

было показано,

для

этих

схем

г = (Fx

+ F2)x + Fxnx

+ F2n2

= x + Fxtix

+ (Г — Fx)n2

= x + F2n2

+ (1 — F2)nx

(с

учетом условия

инвариантности

1);

x + il—

Фх)пх

Фхп2;

z2 = x + Ф2пх + (1 — Фг )гаг .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2519 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ