книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

Аргумент 6-го комплексного коэффициента равен фазе соот­

2

Таким образом, любая периодическая функция вполне опре­ деляется своими гармониками, совокупность которых и состав­ ляет ее спектр.

3. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА

Во многих случаях представляет значительный практический интерес определение частотного содержания непериодических функций. При этом непериодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, рассматривается как периодическая с беско­ нечным периодом.

Оказывается, что такая постановка вопроса целесообразна и дает весьма полезные результаты применительно к абсолютно интегрируемым функциям, т. е. функциям, удовлетворяющим усло­ вию

—0 0

ю

Поэтому для таких функций / (t) применяется преобразование Лапласа, которое можно рассматривать как обобщение преобра­ зования Фурье для функций

ствием, так как если бы второе условие не соблюдалось, было бы невозможно найти число с, обеспечивающее абсолютную интег­ рируемость функции q (t).

Иными словами, функция / (t) должна расти не быстрее экс­ поненты и быть равной нулю при отрицательных значениях аргу­ мента t. Такое сужение пределов интегрирования не является существенным ограничением: в большинстве прикладных вопросов нас интересует не прошлое той или иной функции, а ее будущее, начиная с некоторого момента времени (например, с момента включения, момента приложения воздействия и т. д.), поскольку в реальных (физически осуществимых) системах реакция или эффект является следствием приложенного воздействия, являю­ щегося причиной.

Получим необходимые соотношения, определяющие преобра­ зование Лапласа.

Интеграл Фурье для абсолютно интегрируемой функции q (t) имеет вид

Выражение в квадратных скобках представляет собой преобра­ зование Фурье функции q (t).

С учетом (1.18) и второго условия (1.19) выражение (1.20) примет вид

является преобразованием Лапласа для функции времени / (£)• Выражение (1.21) представляет собой обратное преобразование Лапласа.

Прямое и обратное преобразования Лапласа [выражения (1.21) и (1.22)] символически записываются в виде

Функция / (0 называется оригиналом, а функция F (s) — изо­ бражением.

Введем еще одно важное понятие. Положим, что интеграл

оо

со

Таким образом, интеграл, определяющий обратное преобразо­ вание Лапласа (1.21), берется вдоль любой бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и расположенной правее абсциссы абсолютной сходимости, в то время как интеграл, определяющий обратное преобразование Фурье (1.17), берется вдоль бесконечной мнимой оси. Очень важное для решения практических задач вы­ числение этих интегралов будет рассмотрено в следующих пара­ графах.

Формулы для прямого и обратного преобразования Лапласа (1.23) могут быть представлены в виде

Для соблюдения этого равенства необходимо, чтобы как веществен­ ная, так и мнимая части (1.30) равнялись нулю, т. е.

Таким образом, выражение (1.27) справедливо, т. е.

W = ф (х, у) + (х, у) = F(z) = F(x+ iy)

только в том случае, если соблюдаются условия (1.31), называемые условиями Коши—Римана.

18

Заметим, что уравнение (1.30), из которого следуют условия Коши—Римана, можно записать в виде

где определитель, стоящий в левой части, есть функциональный определитель (якобиан) функций W и z. Известно, что якобиан отличен от нуля, если функции W (х, у) и z (х, у) независимы, и равен нулю, если они зависимы, т. е. если W есть функция от г.

Найдем производную функции W по г. Когда х и у получают бесконечно малые приращения dx и dy, г получит приращение

dz = dx + і dy,

а функция W — приращение

AW = Дф + і Д-ф

или, при ограничении бесконечно малыми первого порядка,

z + dz = х + dx + і {у + dy).