Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Функция Фхх (s), определяемая формулами (11.23), назы вается спектральной плотностью случайного процесса х (t).

Рассмотрим

свойства

спектральных

плотностей.

Спектральная плотность

(11.23) случайного процесса

является

четной функцией,

т.

е.

что непосредственно следует из ее определения

Фхх($)

ПтМ

ХТ

s) ХТ (s)

Г->-со і Y1L |

74-со

Укажем простой способ

вычисления

спектральной плотности.

Представим

выражение

Фхх

(s)

виде

со

Ф * с ф = | ^ ( t ) e - S T d T =

С О

со

J. Кхх

(т) е - " Л +

{ Кхх

(т) e-S T

dr.

—

со

Заменив

т на

—и

в первом

интеграле

правой

части,

получим

оо

Фхх

(«) =

и) es" d « +

Кхх

(т) e-S T dt.

(11.24)

Так

как корреляционная

функция

Кхх

(и)

является четной

функцией, то

Кхх{—и) = Кхх{и).

Поэтому

(11.24)

можно

переписать,

заменив

букву и

буквой т:

оо

со

Фхх

00 =• J

Кхх

(т) e-S T d t

J Кхх

(т) es t dx.

Первый из интегралов правой части является обычным одно сторонним преобразованием Лапласа корреляционной функции Кхх (т ) и может быть взят из таблиц преобразований Лапласа:

0 0
j Кхх (т) e-s t dx = L [Кхх(х)}=	Щ.

СГ Второй интеграл правой части представляет собой

со
1 Kxx(x)esxdx	=	R(-s).
о

Таким образом,

O^(s) = /?(*) + Я ( - s ) ,

т. е. спектральная плотность Фхх (s) = Фхх (—s) является четной функцией, как было показано ранее. Эта формула является алго ритмом для вычисления, так как R (s) = L [Кхх (т)] берется из таблиц преобразования Лапласа.

Взаимная спектральная плотность не обладает свойством чет ности. По определению

Фху

s) =

lim -LМ

[Хт

(s) YT

s)] =

Фух

(s).

Аналогично

Фух

s) =

lim - L М [Хт

( - s) Г г

(s)] =

Ф е д

(s).

Г->со

Сложив

эти

выражения,

получим

ФХу

( - S) + Ф„, ( -

S) = Ф , , (S) + Фух

(S),

т. е.- сумма взаимных спектральных плотностей

Фху

(s)

+ Фух (s)

является

четной

функцией. Взаимная

спектральная

плотность

может быть

вычислена по

формуле

со

Ф„()=	1 Kxy(x)e-sxdx=:
	—	со
со
+ \|	Кху	(т) e~ST dx =
о
ш		со

{ Kxy(T)e-sxdr	+
—-со
со	1
J ^ ( - т) es T dx	+
о
со

+ \| ^	(т) e-S T dx = J * w (т) e-S T dr +	J Kyx (T) eS T dx,
о	о	0

так как взаимная корреляционная функция обладает свойством

Кху(-г) = Кух(х).

Следовательно,

где
Rxy (s) = L [Кху (х)] и ^ (s) = I	(т)]

— обычные односторонние преобразования Лапласа соответствую

щих	взаимных корреляционных			функций.
Аналогичным		образом
		Фyx(s)^Ryxїs)		+	Rxy(-s).
Если	произвести	замену	переменной
		s =	гсо, г =-У—		Ґ,

6 Я . М. Цейтлин

формулы для спектральных плотностей принимают вид:

со

Ф е д ( И =		[ Кху	(т) t~imdx		=lim~M[XT(—		т) YT (ко)];
		- с о			Г + с о	'
		со
Ф ^ 0 ' » ) =		f / C ^ ( T ) e - ' e r t d T			= l i m ~ A l [ K 7 . ( —		tco) Х г (гю)];
		- c o			Г->со
		со
Фхх	(/со) =	f /С^ (т) е - / в		т rft = l i m 4 М [Хг ( -			(со) Хт(т)]	=
			- l i m		-\гМ{\Хт{т)\*};
			Г->со	'
				со
				—	со
Так	как квадрат		модуля	\| Хт	(г'со) \| 2	— это вещественная		неот

рицательная величина, спектральная плотность Фхх (ш) является четной вещественной неотрицательной функцией частоты со.

Взаимные спектральные плотности Фху (/со)						и Фух (ш) в	общем
случае не являются четными и вещественными функциями,							однако
их сумма
			Фху(І<О) +		ФуХ(і<0)
— это четная и вещественная				функция частоты со.
Дисперсия стационарного случайного процесса, как известно,
равна			Dx	=	Kxx(0).
Так как			Dx	=	Kxx(0).
Так как	І	со			со
	І	со			со
= Ш		I	^As)^ds		= - L . \|	Фхх(т)еш^о>,
то, положив здесь	—	і со			— со
то, положив здесь	т =		0, получим
			І со			со
Dx = Kxx(0)	= ^r		J	Oxx(s)ds = -^-		j Ф „ ( И < і в .
			— і со			— со

Таким образом, дисперсия стационарного случайного процесса равна точностью до постоянного множителя - ^ - ^ интегралу от спектральной плотности по всей области изменения частоты. Отсюда следует, что спектральная плотность является плотностью распределения дисперсии по частотам.

Величина

<Й2

A D = 2 Тх 1 Ф « ( T O ) D ( 0 = 2 I ф «

d/>

представляет собой долю дисперсии стационарного случайного

процесса х (t),	обусловленную его составляющими, частоты						кото
рых находятся	в диапазоне от			до со2 (или, что то же самое, от
/ і Д ° /г) - Множитель 2 обусловлен четностью спектральной							плот
ности, которая	интегрируется			как	при	положительных,	так и
при отрицательных		частотах.
Величина
dD = 2 -L-	\	Фхх (т) da> ~		2	Фхх	(ко) d<o = 2ФХХ (if) df
представляет собой		элемент	дисперсии.
Иногда вводится		в рассмотрение нормированная спектральная
плотность
	Ч>ХХ W —		D x	—		£ оо
или
		= Ф"£а)				Фхх(Ш)-
				4 f	\|	®xx(i<u)d<>>
Размерность	спектральной			плотности

где [х] — размерность функции х (t); [Т] — размерности вре мени.

Нормированная спектральная плотность имеет размерность времени, так как размерность дисперсии (так же как и размер ность корреляционной функции)

=(*)] = М 8 .

Очевидно, что нормированная спектральная плотность и нор мированная корреляционная функция представляют собой пару преобразований Фурье:

ісо

—і со

14. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СИГНАЛОВ, ПРОШЕДШИХ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ

Пусть на вход линейной стационарной системы с передаточной

функцией	F (s) поступает стационарный случайный сигнал			х (t),
спектральная плотность которого		равна Фхх	(s). Сигнал на вы
ходе этой	системы обозначим у (t).	Найдем	спектральную	плот

ность сигнала у (t) в установившемся режиме, а также взаимные

спектральные плотности

Фху

(s) и

Фух

(s). (Ранее было

показано,

что сигнал у (t) будет

стационарным

только в установившемся

режиме, поэтому и рассматривается установившийся

режим.)

Так же как это было сделано

ранее,

поставим

в соответствие

с сигналами х

(t)

сигналы хт

(t)

ут

(t),

определяемые

согласно

( I I . 16).

Преобразования

Лапласа

(изображения)

этих

сигналов

будут

Хт

(s)

(s). Очевидно,

что

YT (s) =

F (s) XT

(s) и

s) = F (-

s) XT

s).

Теперь

можно

непосредственно

воспользоваться

определением

спектральной

плотности

Фуу

(s) =

lim 4

M [YT (-

s)YT

(s)]

lim 4

M [F (— s) XT

(— s) F (s) X r

(s)]

= F (s) F ( -

s) lim 4

М [Хт

s) Хт

(s)] =

Фхх

(s) F (s) F (-

s),

поскольку F (s) является неслучайной функцией и не зависит от Т. Следовательно,

	© w ( s ) = © J W - ( s ) F ( s ) F ( - s ) ;				(11.25)
	Фд а (/©) = Ф„(ію)\|Р(іа))\|».

Аналогичным	образом найдем
Фху	(s) =	lim 4" М [Хт ( - s) Г г		(s)]	=
=	lim 4" M [ * r		( - s) F (s) X r	(s)]	=
- F (s) lim 4		M [Xr ( -	s) XT (s)] -	(s) F (s),

или

а Также
Фух (s) =	lim ±-	М [YT(-	s) Хт	(s)l
	Г->с
= lim ~M[F(—		s) X r (— s) X r		(s)] =
Г-*со
F ( - s) lim -L	M [ X r	( - s) XT	(s)] = Ф „ (s) F ( - s),
7"-»co
ИЛИ
( I ) „(s) =		0 „ ( s ) / r ( - s ) ;

	F(P)	ЕЮ
	F(P)	о -
		о -

z(tJ

Рис. 11

Заметим, что эти выражения можно получить непосредственно из выражений (11.26), так как

Дисперсия процесса у	(t)	на выходе будет
і С О		{	0 0
°« = Ш 1 ФУУ^й8:=-Ш		I	®xAs)F{s)F{-s)ds	=
	С О
2я1	J ф«(HI^('•«>) 1'^-

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 11. Здесь у (t) — фактический сигнал на выходе; z (t) — желаемый сигнал на вы

ходе; & (t) = у (0 — z (t)				— ошибка		системы.	Спектральные
плотности Фхх	(s),	Фх2	(s),	(s),	Фг2	(s) известны.
Очевидны	соотношения:
			YT(s)	=	F(s)XT(s);
Ет	(s) =	YT	(s) -ZT(s)=-F			(s) Хт (s) +	ZT(s).

Следовательно,

Ф £ 8

(s) =

lim ~-М

[Ет

( - s) Ет

(&)] =

Г->со

1 im 4 г М {IF (— s) Х г (— s) — ZT

(— s)] [F (s) Х г (s) — Z r

(s)]} =

ф х х

(s) F (S) F(—s)

— Ф„ (s) F (

- s) - Фгх

(s) F (s) + Ф а

(s).

Заметим,

что Ф є е

(s) равна

Ф Є 8

(—s), т. е. является

четной

функ

цией, как и должно

быть.

Пусть, например,

x(t)

= m (t) + п (();

z{t)

Н (p) m (t),

где m (t) — полезный

сигнал;

n (t) — помеха; Я (p) — оператор

желаемого преобразования.

Тогда

Oxx(s)

= lim±MlXT(-s)XT(s)]

Г-»со 1

lim ~М

\[МТ

(— s) +

NT (— s)\ [Мт (s) + NT

(s)]} =

= Ф™ (s) + Ф т „ (s) + Ф „ т (s) +

Ф„„ (s);

Ф и

(s) =

l i m 4

Л1 [ Z r ( - s) Z r

(s)] =

: lim ^

M [ Я ( - s ) Л 1 Г ( - s ) Я(s)MT (s)] = Фтт(s)Я(s)

Я ( - s ) .

Заметим, что

Ф«(«) =

Ф « ( - « ) ;

Теперь

Фг г (з) =

Ф г г

( - s).

Ф« (s) =

lim ±М

[ X r ( - s) Z r

(s)] =

= lim —М \[МТ(— s) + NT(— s)] Я (s)Mr (s)} =

Г-»со 1

=[Фтт (5) + Ф „ т ( 8 ) ] Я ( 8 ) ;


Ф« (S ) = Ф	« ( - S) =		[Фтт (S) + Ф«„ (S)] Я ( - S).
Нетрудно показать	также, что
Фхг(8)		=	Фхх(з)Р(8)-Фхг(5);
Фг* (S)		= Ф*Л«) ^ Н S) - Ф г , ( 5 ) ;
	Ф,г(5) =		Ф , 2 ( 5 ) / Г ( - 5 ) ;

Ф е д ( 5 ) = ф г , ( ^ ( « ) ;

%г (s) = Фхх (s) F (s) F (— s) — Ф„ (s);

Ф£ „ (s) = Ф « (s) F (s) F	( - s) - Ф„ (s).
Рассмотрим более общий случай.	Пусть

b(t)=%H,(p)y,(t).

Найдем взаимную спектральную плотность ФаЬ (s) и спектраль ные плотности Ф а а (s) и ФЬь (s).

Очевидно, что

AT(s)=IiFi(s)XT.(s);

			1=1	'
			т
	BT(s)=TiHI(s)YT(s).
По определению
Ф а Ь	(s) =	lim	М \АТ ( -	s) B r	(s)]	=
		Г-»-со
= lim 4 - М	п	m
= lim 4 - М	t=i	/=і
	t=i	/=і
	n	m
=	S	/=i	liOx.y.(s)Fi(-s)Hi(s);
Ф а а	І=І	/=i		s) AT
Ф а а	(s) =	lim -L-M [AT(-		s) AT	(S)].	=
= l i m 4 r M	liFi(-s)XT.(-s)liFj{s)XT			/=i		(s)
	i=i			/=i		'
= S S ® „ , ( s ) f , ( - s ) F / ( s )					=
	1 = 1 /=
= E « , „ , ( s ) f / ( s ) f l ( - s )					+
	1=1	*	«

r J . 2 1 < i > , . t , ( s № ( - s ) W

Совершенно аналогично

Фьь (s) = £ Ф ^ ( . (s) Я, (s) He ( - s) +

(=i

Если сигналы xt {t) независимы	или не коррелированы, то
ФХіх, (s) = 0,	іф j

Если	аналогичным	свойством	обладают и сигналы	yt	(t), то
	Фьь(*)=	т	liOym(s)Hi(s)Hl(-s).
	Фьь(*)=		liOym(s)Hi(s)Hl(-s).
15. Б Е Л Ы Й ШУМ		И ФОРМИРУЮЩИЕ Ф И Л Ь Т Р Ы
Итак,	спектральная	плотность	Фуу (s) сигнала у (t)	на выходе
линейной	стационарной	системы	с передаточной функцией		Н (s)

в установившемся режиме при поступлении на вход этой системы стационарного случайного сигнала х (t) со спектральной плот ностью Фхх (s) определяется соотношением (11.25)

<byy(s)=<I>xx(s)H.(s)H(-s)

или

Фуу(іа>) = Фхк(Щ\Н{і<й)\*.

В частном случае, если спектральная плотность сигнала х (t) постоянна, т. е. Фхх (s) — N (случайный процесс, обладающий таким свойством, называется белым шумом), то

Фуу(а)	=	NH(s)H(-s),
или		(11.27)
ФУУ(Ш)	=	N\H(w)\a.

Таким образом, любой стационарный процесс у (t) со спек тральной плотностью Фуу (s) можно рассматривать как результат прохождения белого шума через стационарную линейную систему, называемую формирующим фильтром, передаточная функция которой определяется соотношением (11.27). Из этого соотношения следует

H(s)H(-s) = ±.Om(s).

Так как формирующий фильтр должен представлять собой устойчивую систему (в противном случае не будет установивше


гося режима, а		следовательно,		и	стационарного процесса у (t)
на выходе	этой	системы), передаточная функция Н (s) должна
иметь все полюсы в левой			полуплоскости.
Спектральная		плотность Фуу		(s)	является	четной	функцией,
т. е. Фуу	(s) = Фуу (—s).		Четная		функция	всегда	может быть

представлена в виде произведения двух симметричных сомножи телей

Ф * Л 8 ) = Ф»Л«)ФИ(Я),

где Фу^у (s) содержит все нули и полюсы в левой полуплоскости,

а Ф— (s) — в	правой.
Например,	если Ф д а ( в ) = ^ _ а ^ ц ^ _ ^ . то

Такое разложение четной функции на множители, обладающие указанными свойствами, называется факторизацией.

Факторизация дробно-рациональных функций очевидна: она сводится к решению алгебраических уравнений четной степени, соответствующих полиномам по s -в числителе и знаменателе.

Факторизация трансцендентных функций выполняется сле дующим образом [10].

Рассмотрим In Фуу (s) и предположим, что выполняется условие

со

| |1пФг а (г'(о)|2 йГ(о<оо.

—С О

Тогда In Фуу ($) можно представить			в	виде	суммы
1 п Ф д а (5 )	=	Г+ («)	+	Г_00,	(И.28)
где
Г + ( * ) =		\y(t)er"dt;
	о	о
		о
r _ ( s )=		\y(t)e-stdt;
v(0 = і2m'	J	m o w W e " d s .

—I CO

Приведенные выражения следуют из рассмотренных ранее свойств преобразования Фурье. Действительно, функция времени у (t) есть обратное преобразование Фурье логарифма спектральной плотности Фуу (s), имеющей полюсы как в левой, так и в правой полуплоскости; Г+. (s) есть преобразование Фурье функции вре мени

= 1 о,

t<o

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 259 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ