книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

N

к=1

(V.32)

D [е (0] = De = min.

При соблюдении первого условия (V.32)

z° (t) = j x(t — x)6(x)dx =

x(t).

разованию

Лапласа,

имея

в виду,

что

Lr 1

[F

(s) ] =

Р (t) и

Zr 1 [ 1 ] =

L~1 [ 1 (t)]

=

6(0-

Второе условие (V.32) является обычным условием оптималь­

ности

в

смысле максимума

дисперсии результирующей

ошибки

є (t)

в

установившемся

режиме.

Дисперсия

сигнала

е (t),

если считать

помехи

(t)

[незави­

симыми

(или

некоррелированными)

равна

N

Т Т

De

= 2

j

\ K

k

~~ Т «) Pk

( T l ) P k

(^)dXl

d%*

k=l 0

0

т т

N-1

N—1

+ j J KN

( t x - т.)

6

- 2 Pk (Ті)

б (т а ) - 2 Pk (т.) dxx dx2 .

о о

ft=l

* = 1

(V.33)

Найдем условие минимума функционала (V.33).

Пусть

функция

веса

(V.31)

Pk(t)

= P°k(t) +

akg;(t),

(V.34)

где uk — произвольные

константы;

gk

(t)

— произвольная

функ­

ция, обращающаяся в нуль при t

< 0

и

t>T.

Подставив

(V.34)

и

(V.33),

получим

N

Т Т

De = 2

J j" Кк (ті -

та) [Pi (ті) Р°* (та) +

akP\

(т,) ^

(т2)

+

4=1

0

0

+

акР% (т2)

(ті) +

algk (ті) ^

(т2)] dxt dx2

+

+

j j

KN (ТІ -

т2 )

Іб Ы) — J

Р°А (ті) -

akgk

( T T )

X

JV-1

X

S (Т2) —

S

^ * ( Т 2 ) ~ ~

fl*£*

^

—

d

% i d % 2

ЛГ—1

T

T

2

J j * * (ті -

та) [Pi (ті) P* (та) + akP% (ті)

(т2 )

+

k=l

о б

+

akP°k

(T 2 )

(ті) +

a2kgk

fa)

gk (та)] <fa гіт2

- f

г

г

+

1 і К "

(ті -

т2 ) [Р% fa) -

а*«г* (ті)]

X

о о

X

[P°N (т2) -

ад

(Т 2 )] dTi dT2 ,

(V.35)

так

как

б (t)

— 2

(0

=

^

(О-

Дифференцируя выражение (V.35) по каждому ак и приравни­

вая

полученные

производные

нулю

в

точке

(аг

=

а 2

= . . .

, . . — aN_x

=

0),

будем

иметь

т т

оI

оІ

Кк (ті — т2 ) P°k (ті) gk (т2) <fa dx2 - f

т т

+

J J Kk (ті — т2 ) Р° (т2) gk (ті) <fa </т2

—

J

J KN

( Т І

— та) Р% (ті) g& ( T 2 )

<fa dx2

—

о о

т т

-

j j

KN

( Т І -

та) P5v ( Т 2 ) £ * (ті) dx, dx2

=

0,

(V.36)

k

=

1,

2

о 0

/V — 1.

Заметим,

что

г т

j j

Kj (ТІ — т2 ) P- (т2 ) g, (ті) dTi

dt2

=

о о

т т

—

\ \

К,- (ті — т2 ) Р/ (ті) gj (та) dti

dx2,

•

j

=

1,

2,

о о

.

. ,

ЛГ.

Действительно, при замене т х

на т 2

и т 2

на хх величина интеграла

не

изменится,

так

как

корреляционная

функция

/С/(тх

— т2 )

=

=

Kj

(т2

— Т]) является четной

функцией. Поэтому

выражения

(V.36)

можно

переписать в виде

•т т

\

j Kk

(ті — т2 ) Р° (тх) gk (т2) dti dt2

—

Lo о

г

г

= 0.

J

J КЛЛ (ті — т2 ) P% (ті) gk

( T 2 ) dTi dxi

или

о 0

T

Г T

T

•

J gk (та)

J /С* (ti -

та) P° (ті) dT! —

\ KN

Ы — та) ^

(ті) Л і

dn =

0,

о

Lo

о

откуда

следует

т

т

J Кк(г

^

та) РІ (ті) Лх,— J ./Cv (ті -

та) Р% Ы) dxx

=

0,

о

о

к = 1,2,

. . .,

N—

1.

(V.37)

Таким

образом, для определения

N

искомых функций веса

Рк (t) имеются N

— 1

интегральных уравнений (V.37) и усло­

вие

абсолютной

инвариантности — первое условие (V.32).

Полученная система уравнений имеет вид:

т

т

f

/Сі (' — т) Рі

(т) dx -

J

KN

(t -

т) PN

(т) dx =

0;

о

о

т

т

\

К,

(t +

т) Р2

(т) <*т- J

KN

(t-x)

PN

(т) dx =

0;

J

/Слг.х (* -

т) Рдг., (т) dx-\KN

(t— X) PN (т) dx =

0;

о

о

Pi(t) +

P*(t)+---+PN(t)

=

8(t).

j" Ki(t-x)P){x)dx—

J KN(t-r)P*N(x)dx

= 0,

—со

—со

(V.38)

/ = 1 , 2 , . . . , # - 1 ;

Pl(t) + Pl(t)+---

+ P'N(t) =

8(t)

Уравнение

(V.41)

принимает

вид

_ * _ *

Fk®k = 1.

Применив в этому уравнению обратное преобразование Лапласа,

получим

\

Kl(t-T)Pl(x)dx

=

8(t),

где

Kk (т) — фиктивная корреляционная

функция, соответствую­

щая

фиктивной

спектральной плотности

(s).

ходимы для «развязки» системы,

уравнения

примут вид:

і

\KUt-^Pk(r)dx

= 8(ty,

(V.42)

о

Pk(t) = 0, t<0, t>T,

t = \ , 2,

. . . . N.

рены ранее (гл. IV).

Решениями

этих

уравнений

будут:

(Qt(p)[ZkAt)i(t)],

t = o

Pk(t)

=

Qk(p)f(t)

,o<t<T

(V.43)

Qj(p)[zk,

(t)\{T-t)),

t =

T,

где

г*

«) =

(£"(p)f(*) = E

ak.pl

f(t)(-l)1;

1

;=o

1

(V.44)

1

i=0

Функция / (t) является решением линейного дифференциаль­

ного уравнения

с постоянными

коэффициентами

AD

(Р) f

(0

=

б

(t),

которое совпадает

с" однородным

уравнением

AD

(р)

f(t)=0

AD(P)=

Е Qk(p).

Так как Qk

(р) = Qt (р) Q\~ (р), то по крайней мере один из

полиномов Qt

(р) имеет порядок пи = т. Такой же порядок имеет

из функций веса Pk

(f)

содержит

т

обобщенных

функций

б (t)>

б' (t),

. . .,

б*"1-1) (t)

в

точке t =

О и т

обобщенных

функций

б (t—

Т),

б' ( / — Т),

. . ., 6С"-1» (t—

Т) в

точке

t =

Т —

всего

функций, вычисленные в точках t = 0 и t

= Т.

Функции zx (t) и z2 (t), определяемые согласно

(V.44),

содер­

жат те же 2т произвольных постоянных,

что и

функция

f (t).

абсолютной

инвариантности — первого

уравнения (V-32).

Представив предварительно выражения (V.43) в виде

Pk (0 +

Qk (р) / (0 +

Е

S( v )

(t)

Е

a k / t ^ 1 ) l ( 0 ) -

v=o

/=v+i

'

-

Е

b™(t-T)

S

(-W

анЛ'Ґ""

(T)

(V.45)

v=0

/=v+l

'

и подставив

их

в

(V.32),

получим

п

Im—I "

(* -

1

6 (О,

Е

Е

[«*vS<v) (/) 4- M

( v )

Г)]

=

(V.46)

*=i

U=o

. J

так

как

2iQk(p)fif)

=

AD(p)f(t)

=

0.

Смысл выражений akv

и В&у ясен из сопоставления

(V.46) и

(V.45).

Очевидно, что выражение (V.46) можно представить в виде

т—1

Е

Шь6&Щ

+

Wky№

(t -

Т)\ = б (О,

(V.47)

v=0

где

U/w, Wky — суммы

произведений

искомых

произвольных

постоянных

С{ и известных коэффициентов.

Для выполнения тождества (V.47) достаточно выполнение ус­

ловий

Uk0

=

1;

Ukv =

°. v

=

1»

2, . .

m — 1;

(V.48)

Wkv

=

0,

у =

0,

1,

2, . .

., m — 1,

П р и м е р .

Для

пояснения

применения изложенной методики произведем

синтез

системы,

расчет

которой

в

случае

бесконечной

памяти

был

приведен

в п. 29. Там

мы

имели

'

AD(P)

=

A * - B V = - B * ( P - P I ) .

Поэтому

/ (t)

=

de""*

+

С2е-р°<.

Из

выражений

спектральных

плотностей

Qi (р) =

в?;

Q2

(р) =

4

(а2

-

р 2 ) ;

Q3

(р) =

а\ ( а 2 -

р 2 ) ;

Q+ (р) =

а 2

( а 2

+

р);

Q+ (р) =

а 3 ( а 3

+

р)\

Q-

(р) =

а2

( а 2

— р);

Qg~ (р) =

а 3

( а 3

— р ) .

Следовательно,

согласно

(V.43),

(V.44)

р 1 ( 0 = « | ( с 1 е ' » 4 с 2 е - ' ' ' ) ;

Р 2

(0 =

а 2

( а 2 -

pi) (CfiP'* + Cje-*') +

а2

[сх

( а 2

-

Р0}+

+

С 2

( а 2

+

Ре)] S

(0

+

а 1 [С 1 ( « 2 +

Ро) е Р о

Т

+

+ С 2 ( а 2 - Р о ) е - р о Г ] б ( ^ - Г ) ;

J

(IV.49)

Ръ

{/) =

а 2 ( а 2

-

р 2 )

( С і Є " . '

+

С2 е-"»')

+

+ аї [Сі («з -

Ро) +

С2 ( а 3

+

р 0 ) ] б it)

+

+

«a [Cj ( а 3

+

р 0 ) е"°г

+

С 2 (а 8

-

Ро) е - "» 7 ]

8 (f -

Г).

Решив

уравнения

(V.48),

получим:

И

( « 2 -

Ро) +

а з ( а з - Р о ) ] е ~ Р о Г

И

(«2 -

Ро)

+

«3 («3 -

Ро)} 2

е _ Р

° 7

-

[а 2

(«2

+

Ро) •

с2

=

[а2

( а 2

+

Р 0 )

+

а\ ( « 3

+

Ро)] * " ° Т

[а\ ( а 2 +р0)

+

4

( а 3

+

р 0 ) ] 2

tp°T

[а\ ( а 2 -

р 0 )