Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 258 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

По определению взаимная корреляционная функция

Кху(к,	t2)	= M[x°(t1)y°(t2)}				=	M	12
Кху(к,	t2)	= M[x°(t1)y°(t2)}				=	M	л:0 (^i) J ^° (t)P(U,		x) dx
"І:						1		и
= M f	* ° ( * і ) * ° ( т ) / > ( * а , т )					dx=\p(t2,			x)M[x0(t1)x°(x)}dx^
\|_o		•				J		o
			= \KXXVU					r)P(t2,x)dx,
				0
так к а к М	и	[x° (t,)	x°	(x)]	=	Kxx	(t„	x), P (t2,	x) —	неслучайная
функция	и	операции		определения				математического		ожидания и
интегрирования			можно		менять		местами.

Полученное выражение представляет собой интегральное урав нение, решив которое можно найти функцию веса системы Р (t, т), если известны (или экспериментально определены) корреляцион ная функция Кхх (t„ t2) сигнала на входе и взаимная корреля ционная функция сигналов х (t) на входе и у (t) на выходе. Это очень важная задача идентификации. Заметим, что эту же задачу можно, вообще говоря, решить, используя полученную ранее

зависимость

между

корреляционными

функциями

Кхх (t,,

t2)

сигнала

х (t)

на входе и Куу

(tlt t2) сигнала у

(t) на выходе

Куу

h)=\\

Kxx

т2 ) Р

(tlf

х,) Р (tt,

т2 ) dx,

dx2.

•

о о

Однако

эта

зависимость

значительно сложнее,

чем

Kxy{tx,

j* kxxVI.

т) р

(ta,

x)dx.

12. СТАЦИОНАРНЫЕ

СЛУЧАЙНЫЕ

ФУНКЦИИ

Удобно

считать,

что

случайные

функции

генерируются

так

называемыми порождающими механизмами; под порождающим механизмом подразумевают определенный комплекс физических или иных явлений, условий или событий, в результате реализации которых возникает данный случайный процесс.

Математически порождающий механизм можно отождествить с тем или иным оператором, применяемым к определенному, оди наковому во всех случаях, случайному процессу, выбранному в ка честве «основного», «типового» или «элементарного».

Представляется почти очевидным, что если параметры порож дающего механизма остаются неизменными во времени, т. е. если соответствующий оператор стационарен, то и основные статисти ческие характеристики генерируемого этим механизмом случан-

ного процесса должны быть инвариантны по отношению к сдвигу начала отсчета времени, что является характерной особенностью решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффи циентами.

Такие случайные процессы, статистические характеристики (моменты) которых инвариантны по отношению к сдвигу начала отсчета времени, называются стационарными случайными процес сами (в узком смысле).

Система двух случайных процессов \х (t), у (t)\ называется стационарной, если оба процесса стационарны и если они стацио нарно связаны, т. е. если все их взаимные (смешанные) моменты инвариантны к сдвигу начала отсчета времени.

Таким образом, для стационарных случайных функций имеет место указанная инвариантность, которая математически выра

жается

формулами:

тх

(t) = mx(t+

Р ) ;

Kxx(tx,

t2)

= Kxx(tx

+ t*);

Kxy

ts)

Kxy

(tx

t*,

+ **);

a« (k,

. . . ,

tn)

(tx

**, t2 +

t*,

. . . , * „

Pn (tl

. . ., tn)

= lin

(tx

t*, *, +

**,...,*„

+ t*);

(11.10)

^tly,

(t\,

• . .,

tni,

t'\, . . .,

tn2)

= a„„ „, (*i +1*

t„t +

t[ + 1 \

...,

t'nt

f);

Lin,,

n2 (^1,

. . ., tttl,

ti,

. . .,

tn2)

= 14. пг (t\+t*,

. . .,

tnt

+ Л

h-j-f,

. . .,

4 +

0 '

справедливыми при любых действительных значениях

t* и при

всех целых положительных

пх, п2,

п.

моментами

Так

как статистические

характеристики являются

случайной функции (или случайных функций), а моменты извест ным образом выражаются через плотности (или совместные плот ности) вероятности, являющиеся самыми общими характеристи ками случайных функций, то выражения (11.10) будут иметь место в случае аналогичной инвариантности всех многомерных функ

ций	распределения		(плотностей				вероятности)			по отношению
к сдвигу начала		отсчета		времени,			т. е.
		/ і	(х,	t)	= fx	(х,	t	+	t*)\.
f2	(xx, x2, tx,	t2)	=	/2	(-^II	x2,	tx	+	t*, t2 +	t*)\

fn(xx, X2, . . ., Xn, tx, 2, • . .» tn) — fn(xi> X2, . . ., Xn,

(п.11)

fnt, п, (х\, х2 хПі, у\, у2) . . У п и h, t2, . .., tni,

t'u ti, . . .,	t'nt) =	/„„ n, (Xl, x2,..	.,*„,, yi, г/г, ... , Уп„
h + t\ h + t\	. . .,	tni + t\ t{ + t\	t2 + t, . . ., tn, + t*).

Так как величина сдвига начала отсчета времени t* является произвольной, то, полагая t* = — t , первую формулу (11.10) можно представить в виде

тх (i) = тх (t — t) = тх (0) = const. При t* = — / х остальные формулы принимают вид:

Кхх

ihi

—

Кхх (h

h> h — ^i)

= Kxx{^U-h)

Kxx{x),

где

T =

—

ti,

Kxu

Uи

KXy

(T);

a n

(^1>

^2> • • •>

^n)

—an (T l? T2> • • •> T n-l)i

где

xt =

ti+1

— tj_;

— V-ni^lt T2>

• • •>

xn-l)'<

(11.12)

a„,,

„2 (U, t2,

. ..,

/„„ t{, f2,..

.,t'n,)

an„

пг

(ті,

T 2 , . . . ,

т Л і

_ ь

xl,

T 2 ,

. . . , Tn2 -i);

Цп,, n2

(4, *2, . . ., t„lt

t[, t2, . . ., t'„t) ±=

— 14. n2

(ti, x2,

, . ., T„t _i, ті,

t2,

. . .,

t;2 ),

где

X'i =

t'c —

tl.

Иными словами, если случайный процесс х (t) является стацио

нарным, то его математическое ожидание постоянно

(не зависит

от времени), корреляционная функция зависит

не от двух аргу

ментов tr

и t2,

а от одного т, равного разности t2

— tlt

начальные

и центральные

моменты порядка

зависят

не от п аргументов

tlt

t2,

. . ., tn,

а от п — 1 аргументов т 2 , х2,

. . ., хп_ъ гдетА == tk+1

—

*i-

Если случайные процессы х (t) и у (t) стационарны и стацио нарно связаны, то их взаимная корреляционная функция зависит не от двух аргументов tx и t2, а от одного т, равного разности

t2 —	tu	начальные	и центральные	моменты	порядка	пх,	п2 за
висят	не	от пх +	«2 аргументов	U, t2	tni,	ії,	t'n,
а от п\ +		пг — 1 аргументов т ь т 2 , . . ., т П і _ і , т{, х2,				. . ., т^ , где
t'k =	t'k — tl.
Инвариантность по отношению к сдвигу начала отсчета вре
мени	всех функций распределения			(плотностей вероятности) вы

ражается формулами (11.11), а следующие	из них формулы (11.12)
определяют случайные процессы в узком	смысле	слова.
В рамках корреляционной теории случайных		функций, т. е.

теории, которая не рассматривает моментов более высокого по рядка, чем второй, достаточной оказывается стационарность в ши роком смысле слова (термин, введенный А. Я . Хинчиным), сво

дящаяся

выполнению

условий:

ft (х, t) . =

(х,

t + t*) =

M * ) ;

/2 (Xy, x2,

tlf

t2)

— /2

(xit

x2,

-j-

t*,

~b t*)

— /2 С^І»

T ) ;

7 I , I

(x,

У,

t2)

= / і , ! (x,

t*, t2

t*) =

/ 1 Л (x, y, T ) ,

где

T =

—

tlt

из

которых

вытекает, ччто

[х (t)]

= тх (t) = тх

const;

Кхх

(к,

t2)

— Кхх

(t2

— t^

— Кхх{х);

^ ^

Кху

(к,

t2) — Кху

(к — іх) = Кху

(т);

Кух

(к, к) = Кух

(к — к) = КуХ

(т).

Следствием

второго

равенства

(11.13)

является

(0 =

Кхх

it, t) = Кхх

(t-i)

= Кхх

(0) = const.

В дальнейшем, говоря о стационарных случайных функциях, будем иметь в виду стационарные (и стационарно связанные) случайные функции в широком смысле слова.

Свойства математических ожиданий, дисперсий и корреля ционных функций стационарных случайных процессов вытекают из общих свойств этих функций, рассмотренных ранее.

Формулы, выведенные	в п.	11, принимают		следующий вид:
Кхх	(т) =	Кхх (—т);
т. е. корреляционная функция является четной;
КХу	{—х) = Кух {%);
Кух{—х)		=	Кху{х);
Dx(t) = Dx = Kxx(0)			= const;
\Kxx(x)\^Kxx(0)			= Dx;	•

\Кху(х)\^УІЩ.

Остановимся на связи между корреляционными функциями сигналов на входе и выходе линейной динамической системы. Если процесс х (t) является стационарным, корреляционная функция

Кхх

(h, к)

Кхх

(tt—t2) =

Кхх

(t2

—

k).

Выражение для корреляционной функции

Куу

(llt

t2)

сигнала

на выходе

примет

вид

Куу

(k,

tt) =

J j Kxx

— та ) Р (к,

Р (t2, та )

dxt

dx2.

о 0

Положим,

что

и динамическая система

стационарна, т. е.

(t, х) = Р (t—

х).

Предыдущее выражение для корреляционной функции будет

иметь вид

Куу (k, U)=\\

Кхх Ы

та ) Р (к

- Ч) Р (к -

та ) dx, dx2.

(11.14)

о о

Положив ti =

t2 =

получим выражение для

дисперсии

Dy (t) =

Куу

(t,

t)=\\

Кхх

(T1 -

T2) P

it -

Tj) P (t -

T2) dtx

dx2.

о 0

Отсюда

следует, что

при

поступлении

стационарного

сигнала

на вход линейной стационарной системы сигнал на ее выходе ока

зывается нестационарным, так как в общем случае
Куу	(к, к)	Ф Куу	(tx	—12 ) = Куу (т);
	Dy	(t) +	Dy	= const.
Функциия у (t)	будет	стационарной в			указанных условиях
только в установившемся		режиме,		который	имеет место только
у устойчивой системы. Покажем это.
Для того чтобы можно было считать, что в моменты времени tx

и fj система находится в установившемся режиме, следует пред положить, что она была включена в момент времени t0 = —оо.

Действительно,

если

система

устойчива,

то

переходный

процесс,

обусловленный

любыми

начальными

условиями,

заданными

в точке t0

— —оо, т. е. «очень

давно»,

по истечении

бесконечно

большого

интервала времени

tx — tQ

или

—

затухнет-

система будет находиться в установившемся

режиме.

Перепишем выражение (11.14), заменив нижние

пределы

интегралов 0 на —оо:

КуУ(к,к)

J Кхх(Ч

—

Ч)Р(к —

Ч)Р(к

—

т 2

) а М т 2 .

—со —со

Произведем замену переменных: tx

— хх

— и;

— т 3 =

и.

При т х и т 2 , равных —оо,

v равны

+ о о .

При Tj и х2, равных tx и ti, и и V райны нулю. Очевидно, что

тх — т 2 = *х — и — t2 -\- v — v — и — т,

где т = t2 —	^.
Следовательно,
	о	о
К ю С ь У = \| j			К « { v - u - x ) P { u ) P ( v ) d u d v
	— со — со
=	J \ Кхх (т +	и -	V) Р (и) Р (v) du dv = КуУ (т),
о о

так как корреляционная функция является четной и перестановка местами пределов интегрирования очевидна.

' Дисперсия сигнала на выходе при этом будет

С О 0 0

Dy (0 = Куу (0) = J J Кхх (u — v)P (и) Р (v) du dv = Dy = const.

о о

Таким образом, если на вход устойчивой стационарной системы поступает стационарная случайная функция, то функция на вы ходе этой системы в установившемся режиме будет стационарной:

Куу (ti, t2) = Куу (t2 — ti) = КУу (т); Dy{t) = Dy — const.

В общем же случае, когда нельзя считать, что имеет место уста новившийся режим (время, прошедшее после включения системы, недостаточно велико), процесс на выходе является нестационарным.

В соответствии со сказанным различают корреляционную функцию и дисперсию в неустановившемся и в установившемся режиме.

Найдем взаимную корреляционную функцию сигналов на входе и выходе устойчивой динамической линейной стационарной системы в установившемся режиме:

KXy(tlttJ	= M[x»		(tJtfW;
j / ° ( ' . ) =	j	x0(x2)P(t2-x2)dx2;
KyyVu ta) = M	x°(ti) J		x°(x2)P(t2-x2)dx2
	— CO
J Р((2-х2)М[х°(к)х0			(x2)]dx2 =

і%			б
— C O			, 0 0
CO		CO
= J Kxx (и — т)Я (и) du=\			Kxx (x — u)P (и) du = Kxy (т),
О	'	о
г д е « = ^2 — т2 ;	x — t2~	^.
Таким образом, сигнал на выходе устойчивой линейной стацио
нарной системы при поступлении			на вход системы стационарного

сигнала в установившемся режиме является стационарным и ста

ционарно связанным			с	сигналом		на входе. Действительно,			вза
имная	корреляционная			функция		этих	двух	сигналов является
функцией не двух моментов					времени tx		и t2,	а их разности	г =
= t2	tx.
П р и м е р .		Найдем	Кху	(0),	если	х (f) — стационарная центрированная
функция	и у (t) =	— х (f), т. е. найдем корреляционную функцию связи между

центрированной стационарной случайной функцией и ее производной, рассма триваемыми в один и тот же момент времени.

По определению

со

Кху(х)	= \|	Кхх(х-и)	Р (и) du.
	о
Следовательно,
		0 0
Кхх	(0) =	{ Кхх («О Р (и) du.
		о

Так как у (t)	= х'	{t),	то Р (и) =			6' (и) Таким образом,
Кху	(0) = }		Кхх		(и) «' («О du		Кхх	(т) т = 0
		о
Поскольку в точке т =		О Кхх (т ) имеет максимум, то производная корреляцион
ной функции в этой точке равна нулю. Значит, K'xy(fl)								= 0.
Этот же результат можно получить и иначе. По определению
		ед()= М				[X(t)y(t+X)];
	Кху	ф) =		М	[х (0 у (t) ] =		М (х (0 х' (0 ].
Так как
			-	~	[x*(t)]	= 2x(t)	*' (О,

Следовательно,

(0) - А1 { - 1 - ^ ( 0 ] } - 4 А ! {-А. 1 д . ( 0 ] J = ±4-М[х*

(0,.

Поскольку х (t) — центрированная стационарнаяf случайная функция,

	М [х2 (t)] =		D	[х (0] =		Dx = const.
Значит,
	Кху	(0)	=	2	dt	D , =	0.
Полученный результат Кху (t,				t) =	Кху	(0) =	0 свидетельствует	о том,что
значения	координаты х (t) и ее производной,					рассматриваемой в тот же момент
времени,	не коррелированы	между		собой,, если х			(t) — стационарный	процесс.

В случае нормального'закона распределения некоррелированность совпа дает с независимостью [10], поэтому если процесс х (t) является к тому же нор мальным, между координатой и скоростью ее изменения, рассматриваемыми в один и тот же момент времени, отсутствует какая бы то ни было связь.

13. ТЕОРЕМА В И Н Е Р А — Х И Н Ч И Н А . СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ

Вычислим значение интеграла

		о				(11.15)
		о
в предположении, что х (t)		и у	(t) — центрированные стационар
ные случайные	функции.				функциям функции xT (t) и
Поставим в	соответствие	этим			функциям функции xT (t) и
ут (t), определяемые следующим				©бразом:
	х	(t),	0 <		t <	Т
		0;	«	0	, t>	Т;
						(11.16)

С учетом (11.16) интеграл (11.15) можно записать в виде

		со
	A^±-\xT{t)yT{t		+ x)dt.
		о
Функции хт (t)	и	ут (t) имеют	преобразования Лапласа:
		со
		0
YT(s)	=	L[y (t)] =	iyT(t)e-°tdt.
		о

Соответствующие		обратные	преобразования имеют виД:
					( С О
хт	(t) =	L - 1 [Хг (s)] =		2ST	\|	Хт (s) е«< ds;
					— too	(11.18)
					( С О	(11.18)
yT(t)	=	L^[yT(s)]	=	-±f	J	YT(s)**ds,

поскольку абсциссы абсолютной сходимости для функций (11.16) отрицательны.

С учетом

второй

формулы

(11.18) перепишем,(II. 15) в виде

Т—х

оэ

(оо

А =

x(t)y{t

x)dt

±r\xT(t)

\ K r ( s ) e « e " d s

— (со

.поскольку

yr{t

x) =

L^[YT(s)^],

или, изменив

порядок

интегрирования,

_1_

Т—х

(а>і со

со

{

* ( * М * + т ) Л =

YT(s)

±\xT(t)^dt e

s t

ds.

Л =

4 -

— ( с о

Так

как

\xT(t)*tdt

XT (-s),

что непосредственно следует из сравнения этого выражения с пер

вым	выражением		(11.17),
	Т—Х				і со
А=±	J х ( / ) ^ ( / +			т ) Л =	^ -	\|	Xr(s)YT(s)	t s x	d s	( П	1 9 )
	О				— ісо
Найдем		математическое			ожидание		обеих	частей	(11.19),		имея
в виду, что операции интегрирования							и определения		математичес
кого	ожидания можно менять местами:
		Т—X					(оо
М[А]	= ^	\ M[x(t)y(t		+ x)]dt =		-±-. J М		XT(S)YT(S)			tsxds.
М[А]	= ^	\ M[x(t)y(t		+ x)]dt =		-±-. J М					tsxds.
		О					— ( о о
По	определению		корреляционной			функции
			M{x{t)y{t		+		x)]=Kxy{x).
Поэтому
		Т—Х			(со		Хт ( - s )	r r (s)
							Хт ( - s )	r r (s)

или

					ХТ ( - s )	Yr (s)		esxds.
								esxds.
Перейдем к	пределу,			положив Т - > о о .		Тогда
Kxy(t)	=		f	lim ЛІ	Хт (s)	YT(s)	tsxds,
Kxy(t)	=		f	lim ЛІ			tsxds,
		2лі .		Т->со
или
				too
									(11.20)
где
	Oxy(s)		=	\[mM	X r ( - s ) K r ( s )				(11.21)
	Oxy(s)		=	\[mM					(11.21)

Г-*оо

—взаимная спектральная плотность сигналов х (t) и у (t). Почему эта функция названа термином «спектральная плот

ность», станет ясным далее.

Выражение (11.20) представляет собой обратное преобразова ние Лапласа, которое следует понимать как двустороннее преоб разование, так как корреляционная функция Кху (т) не равна (и не может быть положена равной) нулю при,отрицательных зна чениях времени т.

Соответствующее прямое	преобразование	будет
®xy(s)=	J Kxy{%)t-™d%.	(11.22)

Таким образом, спектральная плотность и корреляционная функция представляют собой пару взаимообратных двусторонних преобразований Лапласа (преобразований Фурье), причем спек тральная плотность определяется как

Фху (s)= lim	-^r М [Хт (s) YT	(s)].
Изложенное представляет	собой теорему	Винера—Хинчина.

Если будем рассматривать не два случайных процесса, а один, то,

положив у	(0 =	х (t),	вместо	(11.21),	(11.22)	получим
					со
Фхх (s) =	lim	- і - М	[Хт (s)XT	(s)] =	I Кхх	(т) е-" dx-
	Г-»со

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 258 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ