Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Если		же	неустойчивый объект				не	минимально-фазовый,
(AgAg)+	=	Ае	и (AgAg)-	= Ag.		Тогда
						AgB
				AgA*		AaA-
				AgA*
				Ba		AgB			(ІП.86)
				AgA+		AgA~	_		(ІП.86)
				AgA+		AgA~	_
				1		AgB
				1		AgA-
						AgA-
Оценим		полученные		результаты.				Fbv Fy, Fa,	Fb не имеют
Во-первых, все передаточные						функции		Fbv Fy, Fa,	Fb не имеют
полюсов в правой полуплоскости и, следовательно,									полученная
оптимальная			система является		.устойчивой.

Во-вторых, полиномы а и р , характеризующие дополнительную обратную связь, осуществляющую стабилизацию неустойчивого объекта, не вошли в окончательные выражения найденных пере


даточных функций. Отсюда			следует,		что операцию предваритель
ной стабилизации объекта			можно	было не осуществлять			вообще,
а просто синтезировать систему				по	формулам	(III.85),	(III.86),
т. е. найти любую из передаточных					функций \Fa, Fb, Fy\		и опре
делить	передаточную	функцию		регулятора		(корректирующего
звена)	W по формулам	(II 1.72).

Этот чрезвычайно важный результат позволяет отказаться от различных методов синтеза (в зависимости от динамических свойств объекта) и предложить общий единый метод синтеза си стемы автоматического управления с обратной связью (замкнутой системы).

Такой метод был впервые предложен В. Б . Лариным, В. Н. Сунцевым и К- И. Науменко в отчетах и статьях, посвященных син тезу оптимальных регуляторов и. систем стабилизации, и из ложен в [4 ] .

Вследствие того что эти исследователи пользовались другой математической моделью, обусловленной спецификой решаемых ими задач, изложение метода здесь несколько отличается от [4], причем указанные отличия не затрагивают основной идеи, лежа щей в основе метода.

Существо дела состоит в следующем.

Поскольку ни одна из передаточных функций \Fa, Fb, Fy\ не может быть принята за основу при синтезе системы с произволь ным объектом, представляется целесообразным все эти три функ ции выразить линейно через новую функцию F, не имеющую по люсов в правой полуплоскости, таким образом, чтобы функции

[Fat Fb, Fy\	также не имели полюсов в правой			полуплоскости.
Для этого можно решить систему из двух				алгебраических
уравнений	вида
	Р (Fh	F„ G) =	0;
	aFj + fLFt	= F, ІФ	І,	(111.87)

где Р (. . .) — одно из уравнений связи (III.71); а = a (s), р =

=Р (s) — некоторые полиномы.

Заметим, что уравнения связи (III.71), в которые передаточная функция объекта G не входит в явном виде, не представляют ин тереса, так как специфика синтеза определяется именно динами ческими свойствами объекта, т. е. передаточной функцией G.

Из (II 1.71) следует,		что	существуют				лишь	две системы вида
(III.87), а именно:
		GFb	— F,		=	0; }			(IH.88)
		'		'		J			(IH.88)
		aFb + pFy =				F J
		GFb	+	Fa	=	1;			(111.89)
									(111.89)
Заметим, что система (III.89) приводится к системе (III.88),
поэтому отдельное	рассмотрение				ее	не	представляет		интереса.
Действительно,	подставив			в	(III.89)		Fa =	1 — Fy,	получим
		GFb	—Fy		=	0;			(111.90)
	« Л	—	$iFy		= Fi —		Pi-		(111.90)
	« Л	—	$iFy		= Fi —		Pi-

Из сравнения (III.90) и (III.88) следует, что эти системы эквива

лентны, если	a; р х	= - p ; f 1			- F + p.
Найдем решение	a; р х	= - p ; f 1			- F + p.
Найдем решение	системы		(III.88):
	0	— 1
	F		Р		F
	G	— 1		~~	a + Op '
	a		Р			(Ш.91)
		G	0			(Ш.91)
		G	0
		a	F		GF
					op	•
Поскольку G =	4 L формулы			(III.91)		принимают вид:
	F.	-				1
	F.	-	aBg + p ^g '
	г ь	-"	aBg + p ^g '
			^gF		.	[(111.92)
		"	а / З й + р Л 8 '			[(111.92)
	1 —		_	Q - ^ g F
	1 —		*		Q
			*		Q
где полином	Q =		apg	+	РЛ,	(111.93)
	Q =		apg	+	РЛ,	(111.93)

141

Так как новая функция F не имеет полюсов в правой полу плоскости, передаточные функции {Fa, F b , F y ) также не будут иметь полюсов в правой полуплоскости (т. е. синтезируемая си стема будет устойчивой), если полином Q не будет иметь корней в правой полуплоскости. Условие (III.93) (уже встречавшееся ранее), где Q — произвольный полином, не имеющий корней в пра вой полуплоскости, представляет собой алгоритм неоднозначного выбора полиномов а и р.

Фактическое определение полиномов а и р , как будет показано далее, не потребуется. Важно то, что такие полиномы всегда могут быть определены множеством способов.

Дальнейшее решение задачи очевидно: все три передаточные функции выражаются через функцию F согласно (II 1.92), а сама функция F находится из условий удовлетворения заданного (при нятого) критерия качества.

Система, синтезированная таким образом, оказывается опти мальной и устойчивой при любой передаточной функции объекта G, т. е. при любых полиномах Ag и Bg. Остается показать, что полу

ченное решение не зависит от полиномов а

и р\

Рассмотрим случаи квадратичных критериев качества.

Случай 1.

Пусть

(t),

п (t),

d (t) — стационарные

случай

ные функции.

Критерий

оптимальности — минимум

дисперсии

ошибки

є (t)

в установившемся

режиме,

т. е. минимум DE =

і со

= ш

J ф « ^ ds-

—

('со

учетом

(II 1.70)

Согласно рис.

(Я

—

Fy) т

— Fyti

—

Fad.

•

(Ш.94)

Спектральная

плотность

е (t)

ф е е

(«) =

ф е

Игл -L М [гТ

(s) гт (s)].

Г->оо 1

Сучетом (III.94) это выражение примет вид

Oe = 0^{H-Fy)(H-Fy)-Omn(H-Fy)Fy-Onm(H-Fy)Fy							+
+ ®nnFyFy -	<D m d (# — Fy)		Fa -	Ф , т (Я -	Fy)	Fa	+
Выразив функции	F y и	F a	через	функцию		F	по форму
лам (III.92) и продифференцировав			(III.95) по F,		имея в виду, что
І й = 4 і - ;		Д а - =		— 4 * - ,			(111.96)
dF	Q	dF		Q			'

получим уравнение			Винера—Хопфа в виде
		(и	AUF\		, ^	ABF
+ Ф . ^ + < 1 и ( 1 - ^ ) + М ' - ^ ) -
	—	Ф(/Я			Ф dd
или
^ 4 # - ( ф « * + ф«»-г-фп« + ф «							Ф,		Ф	Ф nd '
-	®dn +- ®dd) ~					К Ф т » +	Фпт ~		®dm) Н -
			-®md-®nd			+ ®dd]		=	l.	(111.97)
Обозначим
Ф т т +		Фт п + Ф»т + ®пп — ®md ~						®dm ~		®nd "
				Ф dn '		Ф ^ =	Л ;			(111.98)
( ф „		Ф„	Фат) Н - Ф ш				- Фпй + Фы = в и
Тогда с учетом			(III.98) уравнение (III.97) примет вид
			Ґ І	4	Л	=*-Я! =		6.		(III.99)
				QQ		Q
Решением уравнения				(II 1.99) будет
						Q				(III. 100)
					l +	И А И і				(III. 100)
					l +	И А И і
Так как Q не имеет				корней в правой				полуплоскости,
			№)+		=	Q , № r	=	Q-
Поэтому с учетом (III.92),					(111.93) и		( I I I . 100) получим:
Fy	= AgF
		Q
Fh	=	BgF			Bg	AgBl				(III.101)
Fh	=	Q
		Q
F„=\.—			F„=\-			Aa		AgB1
F„=\.—			F„=\-

( V , ) X

Эти выражения не зависят от полинома Q и, следовательно, от полиномов а и р .

Заметим, что полученные результаты совпадают с решениями, полученными частными методами синтеза.

Действительно, если объект минимально-фазовый,

{AgAgy	=	AgAAgAgy==Ag,
и формулы (III.101) принимают		вид:
F	= - 1
F h = •		л:
		л:
Эти выражения совпадают	с выражениями (II 1.73), (II 1.74), по

лученными при синтезе устойчивого минимально-фазового объекта,

и выражениями	(II 1.85), найденными при			синтезе		неустойчивого
минимально-фазового объекта.
Если объект не		минимально-фазовый,
		(AgAg)+ =	Ag> Hg-^g)" =	As
и формулы ( I I I . 101)		принимают вид:
			. M L .
			L V t
Fh — • в*		AgAx		AgA\	А	„А:
		AgAx		AgA\	А	„А:
Эти выражения	совпадают		с выражениями (III.77), (III.78), по

лученными при синтезе устойчивого не минимально-фазового объекта, и выражениями (III.86), найденными при синтезе не устойчивого объекта, если последний является не минимально-

фазовым. Заметим, что при Фтп

= Фпт

= Фті

= Фіт =

== Фап

= 0 Аг= А и Ві = В.

(детерминированная)

Случай 2.

Пусть

т (t) — неслучайная

функция, п (t) и d (0 — случайные функции. Положим для

про

стоты Ф„4 — Фап =

Критерий оптимальности — минимум

дис

персии

случайной

составляющей

ошибки е (і) в установившемся

режиме

при

условии

ограничения

интегральных

квадратичных

оценок

неслучайных составляющих

ошибки

є (t),

сигналов

(t)

и Ъ (t) и дисперсий случайных составляющих сигналов a (t) и b

(t).

Интересующие

нас

сигналы

имеют вид

(*)

8 l

е 2

(0;

a (t)

ах

(t)

а 2

(t);

Ь (/)

Ьх

(t)

Ь%

(0,

где

неслучайные составляющие е х

= (Я — Fy)

т\

ах

— Fam;

Fbm

ислучайные составляющие

е2 = —(Fytt + Fad); аг = Fa(n — d); b2 = Fb (n — d).

Критерий оптимальности — минимум функционала

где Яц Я,2, Я8 , X4 , Я8 —неопределенные множители Лагранжа, которые определяются условиями ограничения

	/ £ 2 < с 2 ;		А , 2 < с 5 ,	(III . 102)
где с,, с2 ,	с3 , с4 , с 5 — заданные		константы.
Очевидно, что
	і со		і со
А . =	2лі J Фе2 е2 (s)	= - ^ j j J ( Ф „ Л ^ + Ф / / « )		ds;

ico

/е - = 2 Я Т } ^ М ( Я - ^ ) ( Я - ^ ) ^ ;

—І CO

г со

—ico

ico

7 ». = 2НГ J ^ № r f s ,

где

M = M (s) = L [m (Of;		M = M (— s);
	I CO
D e « =	2ST І ( Ф ™ +	^Fa'Fads;
	—ico
	Too
A 2 =	j (Ф„» +	Ф « ) / Л * ;
	—ico

Таким образом,

i c o

—jco

+	(III . 103)

Уравнение Винера—Хопфа получим, продифференцировав подынтегральное выражение ( I I I . 103) по F, при условии, что все

10 Я . М. Цейтлин

145

передаточные

функции

\Fa,

Fb,

Fy\

выражены

через

F по

фор

мулам (111.92).

Таким

образом,

AgF-

я5

•Фdd

) v

Л»

5g Bgf"Q J

К ( я - ^ ) 4 - я 4

( і

Q ) Л

5 g B g

или

F - L , {[(1 +

A,4) AgAg

Я 5 В Д ] (Ф„„ +

Ф*,) + [ ( ^ -f Я2) AgAg

Я 3 В Д ] М М } _ - ^ [ Х 4 Ф Ш 1

(1 - f К)ФМ

( ^ Я +

Я2 )ММ] =

£.

( I I I . 104)

Обозначив

[(1 +

X4) ЛёЛ~й

KbBgBg]

(Фпп

Ф„)

+ [(К +

Л £ Л Й

+ K3BgBg]

MM = Л2 ;

(і +

К) ФМ

(^іЯ +

Я2) MM =

я 2 ,

перепишем

уравнение

( I I I . 104)

виде

р л 2

Л в 5 2

= 1,

откуда

"AgBaQ'

AgB2

ЛА+

QA-

А + [

л 2 ~ _

Л 2

Заметим,

что полиномы

Л 2

и В2

не зависят

от

Q. Теперь

FA,

—

АаВD

•L

- А

п2

р _ FBg __

AgB2

•* h

Ґ\ —

. \

AT,

А+

- F

АаВ.

g°2

А^	+

Множители Лагранжа Kt (і = 1, 2, 3, 4, 5), входящие в выра жения Л 2 и В2, определяются в результате подстановки найден ных передаточных функций в систему неравенств (III . 102).

ГЛАВА IV

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ

24. СПЕЦИФИКА СИСТЕМ С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ

Рассмотрим решение задачи синтеза оптимальной системы при условии, что синтезируемая система обладает конечной памятью Т. Математически это означает, что искомая функция веса отлична от нуля на интервале времени длительностью Т (от t — Т до t) и равна нулю вне этого интервала. Физически это означает, что дли тельность переходного процесса теоретически не бесконечно ве лика, а точно равна величине Т.

Из ряда факторов, определяющих практическую разумность сформулированной задачи, важнейшими являются следующие.

1. Время готовности системы к выполнению той или иной за дачи или операции во многих случаях является либо строго фикси рованной величиной, либо величиной, которая не должна превы шать заданного Т. Величина Т определяется характером задач, решаемых сложным комплексом, в который в качестве одной из его составных частей входит рассматриваемая система.

2. Случайные помехи, сопровождающие процесс измерения или заданного преобразования оцениваемых параметров, часто имеют либо различные статистические характеристики на различных интервалах времени, либо такие статистические характеристики, параметры которых изменяются во времени. При этом помехи являются нестационарными случайными функциями. Нестацио нарность входных сигналов (под сигналами, в частности, пони маются и помехи) может быть обусловлена и тем обстоятельством,

что в начальный	период работы системы процесс на ее входе
не успевает стать	стационарным.

Кроме того, сама динамическая система (либо одна из ее частей) может быть нестационарной в силу переменности ее параметров или коэффициентов, что физически объясняется, например, умень шением веса топлива, изменением формы объекта и его скорости, изменением характера сопротивления окружающей среды и т. д. Во всех этих случаях динамические характеристики оптимальной системы должны зависеть от времени.

Решение нестационарных задач оптимальной фильтрации яв ляется не только весьма сложной проблемой математического плана, но и не менее сложной задачей физической реализации

10*

147

системы или даже ее эксплуатации. Поэтому область применения нестационарных систем в настоящее время ограничена случаями «существенной» нестационарности. В тех же практически часто встречающихся случаях, когда статистические характеристики сигналов меняются сравнительно медленно, на последовательных интервалах времени Т{, в течение каждого из которых фактический нестационарный процесс можно с допустимой погрешностью рас сматривать как стационарный, оптимальным будет последователь ный набор стационарных систем с конечной памятью.

Так как передаточная функция F (s) и функция веса Р (t) связаны известным соотношением

F(s) =	L IP	(t)],
а функцию веса системы с конечной		памятью можно	представить
в виде
Р(П=8(і)	[ 1 ( 0 - 1 ( * - 7 Н
то для системы с конечной памятью
со		Т
F(s) = \g(t)[l(t)-l(t-T)]e~stdt=		jg(t)<rstdt	=
		о

=D1(s)-\-Dt(s)e -sT

где Dx

(s) и D 2 (s) — функции

аргумента

s, получающиеся при

вычислении

этого

интеграла.

Е с л и ! ^

(s) HD2

(S) — дробно-рациональные функции вида

то

F(s)

A (S) S 2

(5~)

+ Л.(5)

(S) Є - 5

Bi (s)

(s)

Поэтому

(s) B2

(s)

[A,

(s)

(s) Bx

(s) є"8 7 "] X

(s),

или,

учетом

линейности

и стационарности системы,

(р) у

(t)

IN,

(р)

(р) г-рТ]х

(t),

(IV. 1)

где

(р)

В,

(s) В2

(s)| s = p ;

N.ip)

A1(s)Bt(s)\^p;

N2(p)

A2(s)

B.is)

| s = p .

Дифференциальное

уравнение

(IV. 1) можно переписать

в виде

М (р) у (t) =

(р) х

(t) + N2

(р) x ( t - Т),

так как оператор е-,рТ есть оператор

сдвига.

148

Таким образом, система с конечной памятью описывается обык новенным линейным дифференциальным уравнением с постоян ными коэффициентами, причем функция на входе х (. . .) входит в это уравнение как с аргументом t, так и с аргументом t — Т.

25. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ

ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ

Пусть на вход линейной стационарной системы с конечной па мятью Т поступает сигнал

*вх

{t)

п (t)

(t),

где m (t) — полезный

случайный

сигнал;

(t) — случайная по

меха;

і (t) — полезный

детерминированный

сигнал.

Обозначим:

(t) — функция

веса

синтезируемой системы;

Р° (t)

— функция

веса

идеальной

системы,

точно осуществляю

щей

требуемое

преобразование.

На выходе синтезируемой системы установившееся значение

сигнала в момент

времени

будет

у (t)=

[m(т)

п (т) + I (т)]P(t —

x)dx.

t-T

Желаемое значение

выходного

сигнала

со

z„ (t)

(т) +

(т)]

Po (t — x)

dx.

—CO

Результирующая ошибка	на	выходе
		t
e(t) = y(t)-z0(t)=		J	l(x)P{t-x)dx-
		t-т •
CO	t
— f g (T)P°(t — T)dx-\-	\	[m(x) +	n{x)]P(t — x)dx —
-co	t-T
CO

—\ m{x)P°(t — x)dx.

—C O

Представим это выражение в виде

е (*) = е, (0 +	є 2	(t),
где
t	со
ex(0 = J I ( т ) P ( t - x ) d x -	j	I ( T ) P ° ( t - x ) d x	(IV.2a)
t-T	-co.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2515 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ