книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем
.pdfплотность |
случайного |
процесса х |
(t), |
является |
четной функцией |
|||||||
аргумента |
s. |
|
|
|
|
|
|
Кхх |
(і) |
|
|
|
Положим, |
что корреляционная |
функция |
такова, |
что |
||||||||
соответствующая |
ей |
спектральная |
плотность |
|
(s) = |
|||||||
= L 2 |
\КХХ |
(t)] |
является |
четной |
дробно-рациональной |
функ |
||||||
цией, |
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф«(s) |
= ш |
|
= tto + a |
/ + , . . + a |
/ . |
> |
dV,30) |
|||
где ai |
и |
р\ — постоянные |
коэффициенты. |
|
|
|
плот |
|||||
Заметим, что необходимость представления спектральной |
||||||||||||
ности в виде (IV.30) практически не является серьезным ограни чением, так как статистические характеристики случайных про цессов получаются в результате обработки опытных данных, ко торые всегда можно аппроксимировать удобными для нас анали тическими выражениями. Итак, будем считать в дальнейшем, что
спектральная плотность имеет вид (IV.30). |
|
||
Пусть р |
= |
оператор дифференцирования. Применив опе |
|
ратор -щ^ |
к |
обеим частям уравнения (IV.29), получим |
|
|
|
т |
|
|
|
J * " щ ^ * № = Ш ) = Г { і ) - ' |
( I V - 3 1 ) |
о
Новая функция времени /* (t) в правой части уравнения (IV.31) определяется операторным соотношением
эквивалентным дифференциальному |
уравнению |
|
||
В (р) f* (0 |
= / |
(*). |
(IV.32) |
|
Уравнение (IV-32) является линейным дифференциальным урав |
||||
нением порядка 2т с |
постоянными |
коэффициентами, |
так как |
|
В (р) представляет собой |
В (s) при |
s = |
р, а В (s) — это |
полином. |
Условия для определения 2пг произвольных постоянных, по являющихся при интегрировании этого дифференциального урав нения, будут установлены далее.
Уравнение (IV.31) можно представить в виде
т |
|
|
J Кхх (t—T)g |
(т) dx = f (t), |
(IV.33) |
о |
|
|
где корреляционной функции Кхх (0 соответствует |
спектральная |
|
плотность |
|
|
1ЛК:ХЩ]=~. |
|
(IV.34) |
|
Действительно, |
из |
(IV.31) |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
K : x { t - T ) = K * * v - r \ |
|
|
|
|
( I V 3 5 ) |
|||||||||
|
Преобразованием |
Фурье |
функции |
(IV-35) будет |
|
|
|||||||||||||
|
|
U |
[К'хх |
(t - |
|
т)] = |
|
|
U |
[Кхх |
(t - |
т)] |
= |
|
|
||||
|
_ |
1 |
( . - Ч Т / |
IIS |
|
/ А 1 |
— |
|
1 |
В |
( S ) |
P - . S T — |
|
1 |
. ST |
|
|
||
|
|
В (s) |
|
^ 2 1 Л * * W |
~ |
В (s) |
Л (s) |
|
|
<Л (s) |
• |
|
|||||||
Следовательно, |
|
|
^ 2 ^ « ( 0 ] = ^ - , . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда следует справедливость выражения (IV.34). |
|
А (р), |
|||||||||||||||||
|
Применив |
к обеим |
частям |
уравнения |
(IV.33) |
оператор |
|||||||||||||
получим |
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j А (р) |
Klx |
(t-x)g |
|
|
(т) dx = |
А (р) f |
(t). |
|
(IV.36) |
||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выясним, |
что |
представляет |
собой |
функция |
|
г|) (t, |
т) |
= |
||||||||||
= |
Л (р) |
(t— т) в подынтегральном |
|
выражении. |
|
|
|||||||||||||
|
Преобразованием Фурье |
этой |
функции будет |
|
|
|
|||||||||||||
|
U № (t, т)] = |
A (s) U |
[К*хх |
(t - |
т)] = |
A(s) e - S T L 2 |
[Klx (t)} = • |
||||||||||||
|
|
|
|
|
= A |
^ ~ m e ~ S T = e ~ S T - |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Сама |
же функция |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ф (t, х) = L 2 1 |
[e"S T ]. = |
6 (* — г). |
|
|
|
(I V.37) |
|||||||||
|
Подставив (IV-37) в (IV.36), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
б (* - |
т) g (т) dt |
= |
Л (р) /* (/), |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда с учетом свойств |
б-функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
g |
(0 |
- |
А |
(р) /* (0, |
0 < t < |
Т. |
|
|
(IV.38) |
||||||
|
Обозначим через ± р £ |
(г — 1 , 2 , . . . , п) корни полинома А (р) — |
|||||||||||||||||
= |
0, при этом Re |
[рг ] > 0. |
Очевидно, |
что |
|
|
|
|
|
||||||||||
где С,- и Dj — произвольные коэффициенты.
11 Я . М. Цейтлин |
161 |
Следовательно,
|
|
|
п |
п |
|
А ( Р ) |
Г(о+ |
Е с < е " ' + 2 |
= |
||
|
|
|
1=1 |
1=1 |
|
функцию веса |
£ |
(0> ч т о " и |
заданная |
функция /* (£), являющаяся |
|
правой частью |
интегрального уравнения. |
Однако, если значе |
|||
ния g (t) в моменты времени 0 и Г ограничены, то интеграл в левой части уравнения (IV.31) однозначно определяет единственную функцию /* (t). Это противоречие можно устранить, если допу стить существование 6-функций и их производных на концах интервала [О, Т], т. е. если решение представляется в виде
мм
1=0 |
; = о |
0 < t < Т. |
(IV.39) |
Заметим, что только введение б-функций позволяет сохранить равенство функции g (t) выражению (IV.38) внутри интервала и равенство её нулю вне интервала.
Существует несколько способов определения коэффициентов aL и В,-. Приведем один из них, представляющийся наиболее простым. Составляющей функции веса вида k-й производной б-функции соответствует дифференцирование k раз сигнала, поступающего на вход. Поэтому система с функцией веса (IV.39) осуществляет дифференцирование поступающего на нее сигнала, причем наи
высшая производная |
имеет |
порядок |
М. |
|
|
|||
Если |
сигналу х |
(t), |
поступающему на вход, |
соответствует |
||||
спектральная |
плотность |
|
(s), то |
производной |
этого |
сигнала |
||
dM |
|
|
|
|
|
|
|
|
х (t) |
соответствует |
спектральная плотность Фхх |
(s) |
(—s)M . |
||||
Дисперсия |
этого |
сигнала |
будет |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV.40) |
Значение М следует выбирать таким, чтобы интеграл (IV.40) существовал, т. е. имел конечное значение.
Для этого при больших значениях s подынтегрированное вы ражение должно иметь порядок -g- или меньше.
Спектральная плотность Фхх (s) |
в |
соответствии с выраже |
нием (IV.30) при больших значениях |
s |
имеет порядок |
Поэтому подынтегральное выражение (IV.40) имеет порядок
-2 (л-т) |
s 2 (М—п+т) |
|
Потребовав, чтобы этот порядок был |
равен |
,получим |
||||||||
|
|
|
s |
2 (М—п+т) |
— |
g-2 |
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М — п + т = |
— 1 , |
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М = п— |
т — 1. |
|
(IV.41) |
|||
Следовательно, |
наивысший |
порядок |
производной |
б-функции |
||||||
в выражении |
(IV.39) не должен превосходить величины М, опре |
|||||||||
деляемой равенством |
(IV.41). Поэтому |
коэффициенты |
|
|||||||
|
|
a i |
— Р/ = |
0> 1 5 s п |
— т - |
|
||||
Рассмотренное выше противоречие обусловлено ограничен |
||||||||||
ностью интервала |
[0, Т]. |
Если бы пределы интегрирования были |
||||||||
не от 0 до Т, |
а от —оо до + сю, решение (IV.38) было бы справед |
|||||||||
ливым на всем бесконечном интервале. |
|
|
|
|||||||
Воспользуемся |
этим |
обстоятельством. |
|
|
||||||
Так как уравнение (IV.33) справедливо |
только на |
интервале |
||||||||
[0 < t < Т], |
на |
котором отлична |
от нуля |
функция g |
(t), то зна |
|||||
чение правой части (IV.33) вне этого интервала не оказывает влия ния на функцию g (t) и, следовательно, может быть принято любым.
Определим функцию |
|
|
|
|
( ф 1 |
(0, |
t |
< 0 |
|
Ф ( * ) = /*(*). |
0 |
< * < Т |
(IV.42) |
|
1 ф 2 |
(0, |
t > Т. |
|
|
Здесь |
|
|
|
|
Ф І ( О = 2 c ' e " ' ' » |
|
|||
|
« = i |
|
|
(IV.43) |
|
|
|
|
|
Ф . ( О = |
2 D |
« |
-p,t |
|
|
|
|||
|
1=1 |
|
|
|
Вформулах (IV.43)
>0; константы С( и Dt условия:
±р,- — корни полинома А (р) и Re [рс ] > выбраны таким образом, что соблюдаются
/*<''> (0) = |
Ф Ї °(0); J |
(IV.44) |
|
f ( ° (Т) = |
№ (Т) J |
||
|
при і = 0, 1, 2, . . ., п— 1, где 2п— порядок полинома А (р).
11* |
163 |
Так как число условий и число констант совпадает/ необхо димые константы могут быть определены в результате решения системы уравнений (IV.44). Однако, как будет видно из дальней
шего, определение этих констант не потребуется. |
|
||||||||||
Заметим, |
что функции |
ф х |
(t) |
и |
ф 2 |
(t) |
удовлетворяют |
уравне |
|||
ниям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А (р) ф 1 (t) |
= |
А |
(р) ф 2 |
(t) |
= |
0; |
| |
|
||
|
lim |
q>! (/) == lim <p8 = |
(0 |
= |
0. |
і |
(IV.45) |
||||
|
t->—CO |
|
|
/ - > c o |
|
|
|
|
) |
|
|
С учетом изложенного уравнение '(IV.33) |
|
|
|||||||||
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lKxx{t-x)g(x)dx |
|
|
= |
f |
(t) |
|
|
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентно |
уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ |
Kxx{t |
-T)g(т) |
dx = |
ф (0. |
|
(IV.46) |
||||
|
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как пределы интегрирования расширены до бесконечности, неоднозначность на границах интервала отсутствует.
Решение |
уравнения |
(IV.46) |
имеет |
вид |
|
|
|||
|
|
|
£ ( 0 |
= |
Л ( р ) Ф ( 0 . |
|
(IV.47) |
||
Из (IV.47) с учетом |
(IV.45) |
получаем |
|
|
|
|
|||
|
|
g(t) |
= |
0, |
t < 0 , |
t> |
Т. |
|
|
Поэтому (IV.46) приводится |
к |
виду |
|
|
|
|
|||
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\Kxx(t-x)g(x)dx=<p(t). |
|
|
|
|
|||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Запишем |
(IV.47) |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
g (t) = А+ |
(р) А-(р) |
Ф (0, |
• |
(IV.48) |
|||
поскольку А |
(р) — четная функция, |
которая |
всегда ч может быть |
||||||
представлена |
в в и д е - |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
А |
(р) |
= |
Л + (р) |
А'(р), |
|
|
|
что доказывает справедливость выражения (IV.48).. Определим две функции:
* І М = Л - ( Р ) Ф М Ї )
yt (t) = A* |
(p) |
ф (0- |
J |
Очевидно, что |
|
|
|
( 0 , |
|
|
* < 0 |
yi{t)-\A-{p)f{t)=,y\{t), |
|
|
t^0; |
_iA+(p)f(t) |
= |
y*2(t), |
t^T |
h ~ \ Q |
|
|
,t>T, |
( I V 4 9 )
( 1 V , 4 y )
Пусть, например, |
|
|
|
|
А |
(Р) |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
А+ (р) ~а |
+ р\ |
А' |
(р) |
= а — р; |
Фі (0 = |
C^at\ |
ф 2 |
(0 = |
Dx e -at. |
|
Сгеаі, |
|
t < 0 |
|
/* (.0.
Die
Заметим, |
что |
|
|
Уі(0 = ( А - р ) С 1 е в ' = |
аС1 е'at |
||
|
уі (/) |
= |
(a-p)f(f) |
y2 (t) = |
{a+p) |
D^-"' = |
flD1e_e' |
о < г < г t> т.
- aCttai |
= 0, |
f < |
О, |
~-y\{t), |
t>0; |
|
|
— aD^~at |
= |
0, |
/ > Г; |
|
|
Щ (0 = (a |
+ P) / ' (0 |
= m (0. |
* < |
7-- |
|
||
|
Поэтому функции (IV.49) можно представить в виде |
||||||||
|
|
уг |
(t) = 1 (t)A-(p)f(t) |
= |
1 |
(0«/i(0; |
|||
|
г/2 (0 = |
1 (Г — t) А+ (р) f |
(t) = |
1 (Т - |
t) |
y2(t). |
|||
|
Определить значения функции g (t) на концах интервала теперь |
||||||||
не |
представляет |
труда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, в окрестности точки t = 0 при подходе к этой |
||||||||
точке слева |
выражение |
(IV.47) можно представить |
в виде |
||||||
. |
g (0 = А+ |
(р) у І (0 = А+ |
(р) [l{t)A- |
(р) f |
(t)} |
|
|
=A+(p)[l(t)y\{t)\. |
|
В окрестности же точки t — T при подходе к этой точке справа выражение (IV.47) представляется в виде
g(t) = А'(р) у2 (t) = А'(р) [ЦТ-1) |
А-(р) Г (0J => |
=A-(p)[l(T-t)yl(t)}.
Таким образом, решением уравнения (IV.33) будет
|
A+(p)[l(t)y\(t)}, |
|
|
|
t=0 |
|
(t) |
A(p)f* (t) |
. , |
|
Q |
= |
<t<T (IV. 50) |
|
A-(p)[l(T-t)yl(t)}, |
|
|
t |
T |
|
|
0 |
|
, |
/ < 0 |
и |
/ > 7". |
Применение операторов A+ (p) и A" (p) к произведениям еди ничных функций на функции у\ (t) и, г/г (f) определяет б-функции
і 65
и их производные в начале и конце |
интервала |
[О, |
Т], так как |
||||||||||||
операторы А+ |
(р) |
и А~ (р) имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
А+(р)= |
£ |
alP'; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
(IV.51) |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А- |
(р) = |
S |
•( - 1) |
V . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По |
правилу |
дифференцирования |
произведения |
|
|
||||||||||
|
|
p[\{t)y\(t)]=b(t)y\{t)+\{t)y\' |
|
|
|
|
(*) = |
|
|
||||||
|
|
|
|
= в(і)Уі(0)+1(і)уї(і), |
|
|
|
|
|
|
(IV.52) |
||||
так как б (t) отлична от нуля только в точке t — 0. |
|
|
|||||||||||||
Дифференцируя |
выражение |
(IV.52), |
получим |
|
|
|
|||||||||
|
Р2 [1 (t) у\ (0] |
= Р |
[б (0 </1 (0) + |
і (/) уї |
(/)] |
= |
|
||||||||
|
|
= |
б' (о ^ |
(0) + |
б (о #Г (0) + 1 |
(о УТ |
(t). |
|
|
||||||
Продолжая этот процесс последовательности дифференциро |
|||||||||||||||
вания, |
найдем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pk [1 (О ifc (0] U |
= 1 (0 * / I ( 0 ) + |
S V * - ' - 1 |
' (0 у\(/) |
(0). |
(IV.53) |
||||||||||
При |
этом |
предполагается, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y\m(f) |
= y\(t) |
и б ( 0 ) ( 0 = |
6(0. |
|
|
|
||||||
Аналогичным образом, последовательно дифференцируя |
произ |
||||||||||||||
ведение 1 (Г — |
t) |
у\ (t), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
pk[\(T-t)yl(t)] |
|
| i = |
r |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
fe-i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 (Т - 1 ) |
у\ <fe) (T) |
+ ' |
2 |
- ^ Р |
Г |
|
ПТ-t) |
|
yl "> (Г). |
(IV.54) |
||||
|
|
|
|
|
/=o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулу |
(IV.54) можно переписать в виде |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
pk[l(T-t)y2(t)]\t=T |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||
|
= |
l(T |
— t)y*2 (T) - |
S б ^ " 7 - 1 ' (* - |
T) y2 U) |
(T). |
(IV.55) |
||||||||
/=o
Ранее было показано, что из условия ограниченности дисперсии выходного сигнала наивысший порядок производных б-функций, являющихся слагаемыми функции веса g (f), равен n—tn— Ь
і 66
Наибольшее значение k в формулах (IV.53) и (IV.55) равно п, что следует из (IV.51). Поэтому формулы (IV-53) и (IV.55) можно переписать в виде
РП |
[1 (0 у\ (0] |м> = і (0 у\(п) (0) + |
S1 |
*1я-'-1) |
(0 |
|
у\(/)(0); |
||||
|
|
р"[1 {T — t)y2 |
(t)] | 1 = г |
= |
|
|
|
|
||
|
= 1 (Т - 0 jfe<"> (Г) - |
£ |
б^"7 '-1 » (/ — Т) ^ ( / |
) |
(Т). |
(IV.56) |
||||
|
|
|
/=о |
|
|
|
|
|
|
|
Из изложенного следует, что коэффициенты |
у\ ( у ) |
(0) и t / 2 ( s ) (71); |
||||||||
стоящие |
при |
производных |
б-функций |
б*"-/-1 * (9 |
и |
б*"-'-1 ) |
||||
(t — Т), |
равны |
нулю, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п — j — 1 |
п — |
m. |
|
|
|
|
||
Отсюда / |
m — 1. |
|
|
|
2т условий |
|
||||
Иными словами, должно |
соблюдаться |
|
||||||||
d^y\ (t)
- 0 ;
dt* |f=o
d^yl(t) |
(IV.57) |
= 0, |
df
k = 0, 1, . . ., m — 1,
которые и представляют собой граничные условия дифференциаль
ного уравнения |
(IV.32), необходимые для определения |
2т произ |
||
вольных постоянных. |
|
|
|
|
Учтя первую формулу (IV.51), а также формулы (IV.50), |
||||
получим |
Л + ( Р ) [ 1 ( ' Ы . ( 0 ] * = О = |
|
|
|
|
|
|
||
|
п—1 Г . |
п—V—1 |
|
. (IV. 58) |
= і (о s ^ ( |
* > (0) + s 6< v ) (о |
s |
fl*+v+i№(0) |
|
k=0 |
v=0 |
|
|
|
Аналогичным образом из выражений (IV.51) и (IV.56) следует, |
||||
что |
|
|
|
|
|
A-(p)[l(T-t)yl(t)]\i=T |
|
= |
|
, = i ( M S ( - i W " ^ -
\ |
A=0 |
n—l |
n—V—1 |
s , |
fc=0 |
(IV.59) |
|
||
v=o L |
|
|
|
|
|
С учетом условий (IV.57) формулы (IV-58) и (IV.59) принимают |
||
следующий окончательный вид: |
|
|
А+ (р) [1 (0 у\ (*)] | < = 0 =l(t)t |
аку\{к) (0) + |
|
п—т—1 |
6 ( v ) |
(t)n'~tlak+,+iy;ik\o) |
- Е |
||
v=o |
L |
|
А-(р) [ l (T—t)y*2 |
(t)} \ t = T |
= 1 ( Г - 0 S ( - |
ОW<fe) |
- |
|||||||||||
|
|
n—m—l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
E |
6 |
^ |
( |
t - T |
) |
n |
t \ |
- |
|
l)k+v+lak+v+lyl(k)(T) |
|
||
|
|
v=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
^ a k y \ w |
(0) = |
A(p)f(t)\t=0, |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
k=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ ( |
- |
|
\)kaky\(k\T) |
|
= |
|
A{p)f(t)\t=T, |
|
|
|||
|
|
|
k—m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение |
интегрального |
уравнения |
(IV.29) |
можно |
записать |
||||||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п—т—1 Г |
|
|
n—v—l |
|
|
1 |
' |
|
||
g(t) |
= A(P)f(t)+ |
|
|
s |
s ( v ) ( 0 |
s |
|
flft+v+iy;(fe)(0) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
v=0 |
L |
|
|
k=m |
|
|
|
|
(IV.60) |
|
л—m—1 |
|
|
|
n~£\_ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
• |
s |
, 6 ( v ) ( , _ |
r ) |
|
i ) * + v + i e 4 |
+ v + l S ; (*)(Г) |
|
|
|||||||
|
v=0 |
L |
|
|
|
k=m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < ^ Г ; |
|
£ ( 0 = |
0, |
f < . 0 , |
|
t>T. |
|
|
|
||||
Таким |
образом, для того чтобы получить решение |
интеграль |
|||||||||||||
ного |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
] |
Kxx{t-x)g(x)dx |
|
= |
f(t), |
|
|
|
|||||
необходимо ^выполнить следующие элементарные операции.
|
1. |
Определить спектральную |
плотность |
(s) = |
|
> соот- |
||
|
|
|
|
|
функции Кхх |
Л (S) |
|
|
ветствующую |
корреляционной |
(т), и |
полиномы |
|||||
А+ |
(р) и А~ (р). Заметим, что спектральная |
плотность |
Ф ^ (s) |
|||||
часто |
бывает |
задана. |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Решив линейное дифференциальное уравнение порядка 2т |
||||||
с |
постоянными коэффициентами |
В (р) /* (t) — f (t), найти |
функ |
|||||
цию /* (t). |
|
|
у\ (t) = А~ (р) f (/); |
у\ (t) = |
||||
|
3. |
Определить |
функции |
|||||
=A+(p)f*(t).
4.Получить 2т произвольных постоянных, входящих в функ цию f* (t), из граничных условий (IV.57), т. .е. решить систему уравнений:
Ух (0) = |
0; |
у\ (Т) = 0; |
УЇ (0) •= 0; |
у2' (Т) = 0; |
|
^ < т - т ) ( 0 ) |
= 0 |
г/ ;<"! -1 ) (Г) = 0. |
5. Найти функцию g (t) по формуле (IV.60)
П р и м е р . |
Пусть f |
(t) |
= |
t; |
Кхх |
(t) |
= |
|
t ~ a ' ' |
|
(1 — a\t |
|). |
||||||||||
Выполняем |
указанные |
выше операции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
Спектральная |
|
плотность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф,„ (S ) = |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х Х К |
> |
|
(А 2 — S 2 ) 2 |
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
(р) = |
(а2 |
- |
р 2 ) 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Л+ (р) = |
|
(а + |
р) 2 |
= |
а2 |
+ |
2ар + |
р 2 |
= |
а 0 |
+ |
%р + а2 р2 ; |
||||||||
|
|
Л" (р) = |
(а — р) 2 |
= |
а2 — 2ар |
f |
р 2 |
= |
а0 |
— ах р + |
а2 р2 ; |
|||||||||||
где |
|
|
|
ао = а2 ; |
% = 2а; |
а 2 = |
1; В (р) = |
— р 2 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В данном |
случае |
|
|
m = |
|
1; |
п= |
2; |
п — /и — |
1 = |
|
0. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Дифференциальное |
уравнение |
(0 = / (0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
(Р) /* |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0 = |
*, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Р 2 / * |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f*"(t) |
= |
—t, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/*(0 = Сі-г-с,<— |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
Функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t) = |
( а 2 |
- |
|
2яр + |
р 2 ) |
( С 1 + |
С 2 ^ _ |
|
|
= |
|
||||||
|
|
|
= |
|
(а2 Сх |
— 2аС2 ) + |
(а2 С2 — 1)/ + |
at* — |
^ |
; |
|
|||||||||||
|
|
|
г/2 |
(0 - |
(« 2 |
+ |
2ар + |
P 2 ) |
( С, + |
C2t~ |
|
|
|
= |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а2 С2 —\)t |
|
— aP |
|
|
а 2 і 3 |
" |
|
|||
|
|
|
= |
(а2 Сі ~Ь 2аС2 ) + |
|
|
|
g— . |
|
|||||||||||||
4. |
Так как т = |
|
1, /п — 1 = |
0, уравнениями для определения |
произвольных |
|||||||||||||||||
постоянных |
Cj |
и |
С 2 |
будут: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
у |
\ |
(0) - |
а2 Сх — 2аС2 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
«/2 (Г) = |
|
а2 С! + |
2аС2 |
+ |
( а 2 С 2 - |
1) Г — аТ2 |
- |
|
= |
0, |
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а6\ — 2С 2 |
= |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
а 2 С х |
-f а (2 + |
аГ) Сг = Г |
( l |
+ |
аТ + |
|
|
|
, |
|
|||||||||