книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем
.pdfоткуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С, |
= |
|
Т |
|
6 -f |
6аГ + |
а 2 Г 2 |
i |
|
|
|
|
|||
|
За2 |
|
|
|
4 |
Ь аГ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
~~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Г |
|
6 + |
6аГ + |
а 2 Г 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
6а |
|
|
|
4-1-аТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (t) = Л (р) /* (t) + |
а ^ ' |
|
(0) |
б (0 - |
а ^ ' |
|
(Г) б (t |
- |
Т), |
|||||||
А (Р) Г it) = |
(а* - |
|
2а 2 р 2 |
+ |
р*) ( с х |
+ |
C,t |
- |
= |
\ |
||||||
= |
С х а 4 + |
а2 |
(С2 а2 |
+ |
1)< —• |
а2 ^3 |
|
|
||||||||
|
6 |
|
' |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
у, |
(0 = |
а ^ 2 |
- 1 |
|
+2А/ |
|
а 2/ |
|
|
|
|
|||||
^ ' ( 0 = |
|
а 2 С 2 - 1 - 2 ^ - - ^ - , |
|
|
||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У! |
(0) |
= |
а 2 |
С 2 - 1 ; |
|
|
|
|
|
|
||||
у;\Т) |
|
= |
а |
2 С |
2 |
- \ |
- |
^ ( а |
Т |
+ |
|
2). |
|
|
||
Теперь получим |
окончательно |
|
|
g (t) |
= СХФ (С 2 о 2 |
+ |
1) t |
|
«2 C 2 - |
1 |
aT |
|
2 |
||
аЧ3 |
( a 2 |
d - 1) |
8 (t) |
g - + |
|||
(аГ + |
2) |
б (t — |
Т). |
Произвольные постоянные Cj и С 2 определены в пункте 4.
Итак, функция веса оптимальной стационарной системы с ко нечной памятью Р (t) определяется решением интегрального урав нения
|
|
т |
|
|
|
|
|
\P(x)K{t |
— x)dx = |
F{t), |
|
|
|
о |
|
|
|
где Т — память |
системы; К (0 — корреляционная |
функция слу |
|||
чайного |
сигнала |
на входе. |
|
|
|
Если |
правая |
часть этого |
уравнения |
может быть |
представлена |
в виде |
|
|
|
|
|
i=0
где А і — неизвестные постоянные коэффициенты; Д- (t) — извест ные функции, то искомая функция веса Р (t) может быть опреде лена как
(=0
где функции Pt (f) получаются решением интегральных |
уравне |
|
ний |
|
|
т |
|
|
\pt (т) K(t-x)dx |
= ft (Т — t), і = 0, 1, . . ., г, |
(IV.61) |
о |
|
|
а коэффициенты Хі находятся из условий соблюдения очевидного требования
Т со
J Р (х) /, (T — x)dx— |
j Р* (т) ft (Г - т) dx. |
(IV.62) |
0 |
— с о |
|
Здесь Р° (t) — идеальная функция веса, соответствующая идеаль ному преобразующему оператору. В частности, если Р° (t) = = б (t) (задача «чистого» сглаживания — безошибочное воспроиз ведение полезного сигнала), условия (IV.62) примут вид
т |
|
|
|
\P(x)fi(T-x)dx |
= fi(T), |
i = 0, 1, 2, . . . . г. |
(iv.63) |
о•
Если функции ft (t) выбрать в виде
М 9 = Ф « ' ( ' - - Г ) ' ' ' = ° . 1 > 2 - - - - R> |
< I V - 6 4 ) |
|
то |
|
|
ft(T-t) |
= <pt(Z—t). |
(IV.65) |
Уравнения (IV.61) и (IV.63) с учетом (IV.64) и (IV.65) запишутся следующим образом:
т
\Pl{x)K(t-x)dx |
|
= |
<pl{-£—t); |
(IV.66) |
|
о |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
\ Р (т) Ф, |
- т) |
dx = |
<p, ( - f ) . |
(IV.67) |
|
Произведем замену переменных |
|
|
|
||
|
2 |
т, = |
т — ( I V . 6 8 ) |
||
|
|
|
|
|
|
С учетом (IV.68) уравнения и (IV.67) примут вид:
т
2
J Р, (л + ^ ) К (I - л) dx\ = ер, ( - g);
И л + - Г ) Ф* ( - Л) ^ = Ф/ ( ^ ) •
Если обозначить
уравнения (IV.69) и (IV.70) выразятся так:
1 ^ ( Л ) ^ ( І - » І ) ^ = Ф Л - Е ) ;
(IV.69)
(IV.70)
(IV.71)
1 ^ ( Л ) Ф * ( - Л ) ^ = ф | ( х ) ' |
( I V - 7 2 ) |
где
^* (6) = 2 * ^ ( 6 ) .
1=0
Если функции фг (|) выбирать в виде последовательности чет ных и нечетных функций, т. е.
ф2 * (і) = |
ф2£ (— £); ф*+1 (g) = |
— ф2*+і (— g), * = °, 1, |
2 |
, • • •, |
|
|
|
2 |
|
|
|
уравнения |
(IV.69) примут вид: |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
^ * ( Л ) Я ( 6 - Т ) ) Ж ] |
= Ф 2*( Б ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
(IV.73) |
|
J |
^2*+1 (Л) /С (І — Т]) dt) = — ф2 А+ 1 (g). |
|
|
|
Отсюда |
с учетом |
четности |
корреляционной |
функции |
|||||||
К (I — г)) = |
К (т] — I) |
|
следует, |
что |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
P*t |
|
1 — четное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t—нечетное, |
|
|
|
т. е. |
составляющие |
оптимальной |
функции |
веса — функции |
|||||||
Р\ (I) |
являются четными или нечетными функциями, если индекс k |
||||||||||
является |
четным |
или |
нечетным |
соответственно. |
|
|
|
||||
В |
результате |
уравнение (IV.70) |
запишется |
так: |
|
|
|||||
|
max |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
| |
tikPlk |
(л) Ф2* (ті) dr\ = ф2* ( \ ) ; |
|
|
|
||||
|
ft=0 _ Г2 |
|
|
|
|
|
|
(IV. 74) |
|||
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
| |
^+іР2А+і(;П)ф2й+і('П)^Т1 |
= — Ф2А+1 ( - ^ - ) » |
|
|
|||||
|
k=0 |
_ т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
— |
|
четное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
"•max |
— |
г — нечетное; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
1, |
г — четное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г— 1 |
|
г — нечетное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Иными словами, для определения коэффициентов %\ (I = |
0, 1, |
||||||||||
2,. . ., г) |
вместо того, чтобы решать систему алгебраических |
урав |
|||||||||
нений |
(г |
+ 1)-го порядка (IV.72), |
следует решить две |
системы |
|||||||
алгебраических уравнений (IV.74) более низкого порядка. |
|
||||||||||
Теперь остается указать способ определения составляющих |
|||||||||||
искомой |
функции |
веса — функций |
Р*. (£), т. е. способ |
решения |
|||||||
интегрального уравнения (IV.71), которое представим вследующем виде:
т
\ />;(ті)К(£-ті)А| = <М£).
Корреляционной функции К (I) соответствует преобразование Фурье (спектральная плотность)
B(s |
5+ (s) В- (s) |
^ ~ A (s) — |
Л+ (s) Л" (s) ' |
где |
|
|
|
|
|
s+(s) = |
2 |
se"; |
5 - ( S ) = S ( - і) V ; |
||
|
i=0 |
|
(=0 |
||
A+ (s) = |
£ |
flls'; |
A - (s) = |
£ (— l)'a,s*. |
|
|
|
(=0 |
|
|
i=0 |
Определим |
функцию |
ф* (£), решив |
линейное дифференциаль |
||
ное уравнение |
с постоянными коэффициентами |
||||
|
|
|
|
|
(IV. 75) |
Заметим, что при |
четном |
или нечетном индексе і функции |
|||
Ц>І (I) и ф,- (I) являются |
четными или |
нечетными соответственно. |
|||
Входящие в функцию |
ф; (|) произвольные постоянные, получаю |
||||
щиеся при решении дифференциального уравнения (IV.75), на
ходятся из граничных |
условий |
|
|
|
|
||
|
т |
= |
0, |
0, |
1, |
2, . . ., |
m — 1, |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
где функция ^ (|) |
определяется |
как |
|
|
|||
|
|
yt(t) |
= |
A-(p)<pi{t). |
|
||
Теперь искомая |
составляющая |
функции |
веса R*i (£) может |
||||
быть получена в виде |
|
|
|
|
|
|
|
n—m—l |
Р'к{1) = А{р)щ(1) |
+ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+2 [в , "(б + т ) ± » " " ( ' - т > ] X
v=0
- V - 1
2 a/+v+ і!/іЛ ( — Т " ) ' |
(IV.76) |
|
|
||
/=т |
|
|
Р = |
7* . |
|
2 |
|
|
|
|
|
К(1) = о, к - 42,' g >2^ . |
|
|
Это выражение является очевидным следствием формулы (IV.60) с учетом свойств четности (нечетности) функций Р\ ( I ) , фА (£)»
174
q>k (І)- Знак плюс в формуле (IV.76) соответствует четному ин дексу k, знак минус — нечетному индексу k.
Таким образом находится каждая из функций Р] (I). Затем в соответствии с изложенным ранее получаются коэффициенты X) и искомая функция веса оптимальной системы определяется как
Переход от функции веса Р* (|) к интересующей нас функции
Р(t) не представляет труда.
Всоответствии с выражением (IV.68)
27. СГЛАЖИВАЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕ-
СГЛАЖИВАЮЩИЕ УСТРОЙСТВА
Рассмотрим два |
примера, относящихся к расчету функций |
веса сглаживающих |
. и дифференцирующе-сглаживающих уст |
ройств. |
|
Функция веса оптимального сглаживающего устройства (СУ).
Пусть корреляционная функция помех
|
К(т) = а 2 |
е - а | т | . |
|
Спектральная |
плотность |
|
|
|
Ф (s) = |
2ао2 |
(IV.77) |
Полезный |
сигнал может |
быть |
аппроксимирован полиномом |
третьего порядка (четвертая и старшие производные пренебрежимо малы). Поэтому в соответствии с методикой, изложенной в преды
дущем |
параграфе, |
необходимо |
найти |
функции |
Р0 (£), |
Pi (g), |
||||||
Р*2 00> |
(Е) и |
коэффициенты Яо, Х\, Xi, КІ, |
после |
чего |
искомая |
|||||||
функция веса определяется |
как |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
р* (і) |
= |
ЦР1 (і) |
+ |
xlPl |
й) + Х \ Р \ |
( І ) |
+ №1 |
®. |
|
||
В соответствии |
с |
(IV.77) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
В (р) = |
2аа 2 ; |
А (р) = |
а 2 |
— р 2 ; • |
|
|
||||
|
|
Л+ (р) = |
а + р ; |
А-(р) |
= |
а — р. |
|
|
||||
По |
формуле |
(IV.76) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
#(£) = |
а2<р»(9- |
|
|
|
|
|
||||
|
+ |
|
|
|
|
|
ft(--f)KE+i)±a(i-i) |
|
(IV. 78) |
|||
J 75
где
d |
(IV. 79) |
Уі (I) = «ф< (S) — -щг Ф< (£) |
Вычисления по формулам (IV.78) и (IV.79) дают с учетом того, что функции ф,- (|) выбраны в виде
Фо ( 0 = 1 , |
Фі Ш = I , Ф2 (1) = I 2 , Фз а ) = 58 , |
|
Pod)- |
а |
|
2а2 |
г 2а2 |
|
|
а |
|
|
2а2 |
|
p«/tv |
а 2 І 2 - 2 |
, |
2 1 5 <' ~ |
2сю2 _ |
г |
/>з(£) |
-а2 £8 -{-6| |
|
2аа2 |
|
аГ + 2 |
[ e ( s + - f ) - e ( E — г ) |
4аа2 |
Г(аГ + 4) 8аа2
, Г2 (а7 + 6) 16аа2
Эти функции изображены на рисунках 19—22.
Таким образом, все составляющие искомой оптимальной функ
ции веса найдены. Запишем их в виде: |
|
|
|||
|
Pl(l) = |
a + Co[b(l+l-) |
+ |
|
6 ( l - ^ ) |
Д ( 6 ) = - « 6 + с і [ « ( б |
|
— |
« ( б — 1 |
||
. Pl(l) |
= af-b2 |
+ |
|
|
c2[8{l^^-)i-8{l-^-)]; |
Pl(l) |
= -af |
+ H + c3[8^ |
+ |
^ |
- ) - 8 { l - ^ - ) ] , |
•где
а = 2а2 '
1 ь2 = ао2 '
3 . аа2 '
1 с0 = 2а2 '
Сі |
аГ + |
2 . |
4аа3 |
' |
|
|
Г (аГ + 4) |
|
С* |
8аст2 |
|
Т2 (аТ + 6) 16аа2
12 Я • М. Цейтлин |
177 |
Определим коэффициенты Kh решив системы уравнений:
г
2
2 . 2
2 '
2 |
" 2 |
Г . |
7 |
2 |
2 |
A,*! f S3 PU6)d6 + ^ |
J . | 3 / , 3(g)d | = - |
T |
_T |
2 |
2 |
Вычислим необходимые определенные интегралы:
I
2
{ P;(|)d| = aT + 2C0 ;
г
2
j" p 2 ( D 4 = 4 r - & 2 T + 2C0 ;
I
2
T
2
аГ6 |
62 Тз , c 2 T 2 |
J lP3(l)dt |
= |
241 |
' |
560c3
г
2
Система уравнений для определения коэффициентов А,о имеет вид:
Я^12(а7' + |
2сь)+ |
^ ( а Г 3 — 1262 Т + 24с2 ) = 12; 1 |
|||||
^20 (аТ + 6с0 ) + |
(ЗаТ3 — 20Ь2Т + |
120с2) = |
60. J |
||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
12 {аТ + |
2с0 ) (аТ3 — 12Ь2 Т + |
24с2 ) |
|
||||
20 (аТ + |
6с0) (ЗаТ3 — 2062 Г + |
120с2) |
|
||||
= 16Т (а*Т3 |
— Зас0Т* + |
60ас2 + |
60с0 62 ) |
|
|||
или с учетом выражений |
для |
а, с0 , |
с2 , |
Ь2 : |
|
|
|
D = |
(а3Т3 |
+ 12а2 :Г2 |
+ |
60аТ + 120); |
|
||
12 (аТ3 — 1262 Т + |
24с2 ) |
= |
2 4 Т ( — а Т 2 + |
20&2) |
|||
60(ЗаТ3 |
— 2 0 & 2 Т + |
120с2) |
|||||
|
12Г |
|
|
|
|
|
|
12(аТ + |
2с0) |
12 |
= 480аТ = |
. |
20 (аТ + |
6с0 ) |
60 |