Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2524 25 > Следующая >>>

Формулы (V.87) и (V.88) удовлетворяют основному свойству корреляционной функции — свойству симметрии:

Kxx{t,x)	=	Kxx(x,t).
Выбор вида функций a,	и	Ь, (/), а также числа Q — это

вопрос аппроксимации, которая принципиально может быть вы полнена с любой требуемой степенью точности. То, что в формулы

для	Ka	(t,	х) входят те же самые функции bq		(t), что и в формулы
для	Кхх	(t,	х),	не является очень частным	случаем или	очень
искусственным				представлением, так как желаемая функция		г (f)

является результатом линейного преобразования полезного си гнала т (/), т. е. одного из слагаемых функции х (t).

Из такой «родственности» функций х (t) и г (t) можно сделать вывод (по крайней мере, интуитивно), что наличие одного и того

же вектора в (t) в выражениях корреляционных функций Кхх		(t, х)
и Кгх (ty т ) не	является чем-то противоестественным или	нело
гичным.
Кроме того,	предположим, что функция
	Q
	ю = 2 [ М 0 М т ) - М т ) М 9 1 =
	<7=1
	= а(*)Ь(т) — &(x)b{t) = w(t — х)	(V.89)

является функцией только разности аргументов. Это предположе ние не имеет сколько-нибудь корректного обоснования. Однако условие (V.89), как будет видно из дальнейшего, является весьма удобным в математическом отношении и, кроме того, очень часто удовлетворяется на практике.

Следует отметить, что сам М. Шинброт обобщил в дальнейшем свой метод, исключив условие (V.89), однако мы не будем рассмат

ривать	это обобщение, приводящее						к значительному			усложнению
метода. Читатель может обратиться к								работе [8], где имеются
ссылки на статьи М. Шинброта.
С	учетом		сделанных			обозначений		.интегральное			уравнение
Винера—Бутона				может быть записано				в виде
				т				t
с(*) - Ь(т)=				\P(t,a)a(x)b(a)da			+	\	P(t,o)*(o)-b(x)do		=
				о			т
				х				і
	=	а (т) j			Р (t, о) Ъ (а) do +		Ъ (х) \		Р (t, а) а (0) da,		(V.90)
	t	i	t	о			Т
	t	i	t
так как j ' = j			-f- j ,		причем	на интервале			изменения	переменной
	о	о		X

а от 0 до т а < т, а на Интервале от т до t а >> т.

Представим

теперь искомую

функцию

веса

в виде

(V.91)

В увадратных

скобках

стоит

скалярное

произведение

вектора

g (t) с

составляющими g

q{t)

вектора

Y (Т)

С составляющими

\д(х). Сдвинутая

единичная функция

подчеркивает условие физи

ческой

осуществимости.

Подставив

(V.91) в (V.90),

получим

с(*)Ь (T) =

a (T)Jg (/) . Y (a )]b (o)da

(т) j

[g (t) • Y (a)] a (a) do

= а (т) J [g (*) • Y

(a)]b (a) da

•

+ b ( T )Jj [ g (/) - Y(a)]a(a)da - J [ g ( 0 - Y(a ) ] b (a)da J

(V.92)

так как j" — |

— j .

Выражение

(V.92) можно

переписать

виде

(

)

b (т)

с (0 -

} [g (t) • Y (a)] a (a) da

g (*) j"

[а (т) • b (a)

— a(a)b{x)]\(a)da

g(t)\w(x

— a)y(a)do;

(V.93)

поскольку

согласно (V-89)

a(x)b(a) — a(a)b(t ) = w(x — a).

При условии, что функция w не равна тождественно нулю, равенство (V.93) имеет место, если равны между ,собой функций аргументов т и t в левой и правой частях, т."-е. если

b (т) = J ад (т — a) Y (о) da;

о	(V.94)
t

c(0 = g ( 0 ~ j [ g ( O v ( * ) l a ( ° 0 ^ .

Первое

уравнение

(V.94)

устанавливает связь

между функцией

b (т)

на

выходе

некоторой

линейной

стационарной

системы

с функцией веса ад (т — а) и функцией у

(т), поступающей на вход

этой

системы.

Если ввести преобразование Лапласа соответствующих функ

ций,

именно:

B(s)

L [ b ( T ) ] ;

r(s)

L [ Y ( T ) ] ;

W (s)

L [w ( T )

] ,

и учесть, что свертке оригиналов

соответствует

произведение

изображений, то первое уравнение (V.94) примет вид

B(S)=:T(S)W(S),

откуда

T(s)

B(s)

W(s)

•

функции yq (t) найдутся как обратные

преобразования

Лапласа

найденных

функций

(5), т. е. '

y(t)

L-HT(s)].

Подставив функции уд (t)

во второе уравнение (V.94),

получим

систему

уравнений

вида

8х (0

«і (°) Ті И

d ( J

+ 82 (О J % (<*) Та (о) da -\

• • •

+ SQ

(О J <h (°) Tcj (°) do = <h (t);

, t

(t)

«2 (а) Yi (a) do

g2(i)

1 +

^ (a) y2

(a)

• • • + 8Q (0

J a2

(a)yQ(a)da

(t);

gi(t) j

(а) уг da

-(- g2

(t) j" aQ

(a) y2

{a) da-]

1 +

laQ(o)yQ(a)do

cQ(t).

	Если	ввести обозначения
			t
		Ipg(t)	= J « p ( ° ) Y 9 ( 0 ) d ( T			. Р> Я			(V.95)
где	IPQ	(t) — известные функции,				так как функции ар		(t)	и yq (t)
известны, получим систему линейных алгебраических								уравнений,
которая		может	быть	записана	в	матричном	виде:
						"	ft(0~
	21 (О		[1 f A 2	( 0 1	М О		с?2 ( 0
i _	IQI (О		М О		[ i + / Q Q ( 0 ] J . £ < ? ( 0 _			y Q	( 0 _

" (V.96)

Решив эту систему уравнений, найдем функции gq (t). Функ ции yq (т) были найдены ранее. Искомая функция веса опреде ляется по формуле (V.91) как

Р & т) = [gl (t)Y l (т) + ft ( 0 у2 (т) + • • • + §Q ( 0 YQ ( * ) ] 1 ( / - T ) . Заметим, что мы получили решение для функции веса опти

мальной нестационарной системы при условии, что функция w(t — т) = а(*)-Ь(т) — а (т) •!>(*) =f .0.

Если же эта функция оказывается тождественно равной нулю, функции yq (t) не могут быть определены согласно первому урав нению (V.94) и должны быть выбраны произвольно. Разумеется, однозначность в этом случае отсутствует.

Система уравнений (V.96) для определения					функций	gq	(f)
принимает вид
"/ц (9	Л . С)	••• hQ(t)'	"ft	( 0	М О
I 21(0	/22 ( 0	Л с ( 0	£ 2	( 0	c 2 ( 0
' Ql (0\Ч	'Q2 ( 0	• ' ' I<1Q ( 0 -	JSQ(t)J		c Q ( 0 J
где 7p g определяются согласно			(V.95).			yq
Решение существует, если при выбранных					функциях	yq	(т)
определитель квадратной матрицы

det [ / р ? ( 0 1 ¥ = о .

Функция веса определяется по формуле (V.91).

Рассмотренный метод может быть использован и в том случае,

если сигнал	на входе содержит белый шум и (или) его производ
ные четного	порядка.	Тогда
		v
		а ( / ) - Ь ( т ) + 2 W6 ( 2 f t ) ( — *),
Кхх	(t, т) =	v
		а ( т ) - Ь ( 0 + 2 W 2 F T ) ( T - a т > * .

ft=0

В правой части уравнения (V.92) появляется дополнительный член

t V V

/ (t, г) = J [g (0 • Y И ] 2				tfft6<2*>	(т -	о) da = g (0 J ВД2*>				(т).
О	ft		=0			ft		=0
Уравнения	(V.94)		принимают		вид:
		Т				V
Ь (т) =		\w (т -		a) Y (a) do + J			W 2 * * (t);
		О				ft=0
	c(0 = g ( 0 - l f g ( 0 ' Y H ] a ( a ) d j .
				о
Преобразование		Лапласа первого				из	этих	уравнений		будет
В (s) = W (s) Г (s) +			Г (s)	S Л ^ 2 * =		Г (s)	r ( s )	+ І iVfts2*
				fc=0				ft=0
				fc=0
откуда
		Г ( 5 ) = .			B(s)
						,2ft
					ft=0
Здесь W (s) может быть уже равным нулю,							так как сумма		2	Nks2k
отлична от нуля. Иногда				оказывается		удобным		или даже	необхо

димым положить часть функций gk (і) равными нулю и искать

функцию

веса в

виде

Р if,

т) =

[g (t) • Y (т)] 1 (t -

т) +

hk (0 6<*> (* -

T ) ,

(V.97)

где функции

hk (t) — произвольно

выбранные

функции.

Подставив (V.97) в уравнение (V.92), получим в правой части

этого уравнения

дополнительные

слагаемые

вида

-с

f (t, х) =

а (х) J 2

(t) 8<*>(x-a)b (p)da+b(x)

} 2

M O 6(*)

f t

(/ —o)a(a)da — Ь ( т ) J 2

hk{t)№{t

— a)a(a)da

b (x)

J' 2

hk (0

(*-<*) a (a) ^

b (x)

(t) а<*> (0,

O f t

поскольку

при x <

первый

и третий интегралы

равны нулю.

При этом матрицу-столбец в правой части (V.96) следует заменить матрицей-столбцом с элементами

П р и м е р .

Определим

функцию веса нестационарной

системы.

Пусть

полезный сигнал

tn (t) =

vt,

где v — случайная

величина, матема

тическое ожидание и дисперсия которой равны:

lv) =

0; D [v] =

а 2 .

Корреляционная

функция

полезного

сигнала

Ктт (*, т) = ЛГ Ivtvx)

a2tx.

Помеха

п (t) — белый шум. Корреляционная

функция

помехи

Пусть

также

Knnit,

т ) = N8

(t-x).

Ктп С

"С) =

Кпт V, Т) = 0.

Желаемый

сигнал

z (t) = tn (t-{- a), a =

const.

С учетом

некоррелированности

m (f) и n (t)

найдем

Kxx(t,

т) =

o2tx + №

(t-x);

Таким

образом,

Kzx (t, T) =

a2tx +

ст2ат.

KxxV, "0 -

o2tx +

N6{t — т),

, c H

t +

8 (

t )

t X

> t .

В этом случае

Kzx (t> T) =

a2tx +

a2ax;

Q = 2,

следовательно,

(0 =

a2t,

bx (t) =

(0 =

o2t\

a 2

(0 =

(t) =

f, c 2

(0 = a 2 a;

ш = a 2

(tx — xt) =

W (s) =

Bj. (s) = 5 2

(s) =

L [*! (0] =

L [b2

(t)] = J L

^ ( 8 )

= ^ ( s ) = - r i r .

т а к как Г(в) =

- B { $

Ns2

N + W (s)

Yi (0 = Yi (0 = 4" '

* > 0

;

/ u ( 0 = } ^ - x 2 d T = -^-<3 = / i 2 .

^21 = ^22= 0-

Уравнения (V.95)

( i + - S r ) f t ( 0 + - ^ - f t " ( 0 = ^ ;

0 ft(0 + ff. (0 = ° 2 « .

отсюда

•1 + 3W

§г (t) = a 2 a ,

Таким образом, искомая функция веса
Р (t, т) = [8l (t)У і (т) + а (О Y a (т)] 1 (/ -	т) =		° 2 {	t + ? - J - 1 (/ -	т).
			1 +	~злГ
34. ОПЕРАТОРЫ ОПТИМАЛЬНЫХ			СИСТЕМ
После того как определена функция		веса
Р V, т) = [g (0 • Y (т)] 1 it - х) =	І	ft	(0 • у, (т) 1 (t - т),		(V.98)

должна быть решена задача определения оператора системы

Г' А (р, t) '

где А (р, t) и В (р, t) — линейные операторы с переменными коэф фициентами.

Так как функция веса является реакцией системы на выходе в момент времени t, обусловленной воздействием вида б-функции, приложенной на входе в момент времени т, имеет место очевид ное равенство

		F (р, t)8(t		— x) = P (t,			х).			(V.99)
Из	(V.99)	следует	линейное		дифференциальное				уравнение
с переменными		коэффициентами
	А (р,	і) Р (t,	х) = В (р,		t) б (t— х).					(V.100)
Запишем операторы А (р, t) и В (р,						f) в виде
	А (р, t) = a0(t) + ах (t) р + а2 (t) р 2						+ • • •	+an(t)p«;
в	(р, t) = ь0 (о +		ъх (о р + ъ2		( О Р 2	+	• • • +	ьп_х (t)P»-\		•
т. е. положим,		что степень оператора				А (р, t) как полинома от р
должна	быть по крайней			мере на единицу больше,					чем степень
полинома В (р, t).
Не ограничивая общность, можно положить ап									(t) =	1, что
равносильно делению			на	ап (t) всех		членов обоих			операторов.

Подставив выражение функции веса (V.98) в дифференциальное

уравнение		(V. 100),		получим
1 (t -		х) [сю (0		£	gt (t)	уІ (х) 4 - fli (0		S ft (0 УІ	(*)+•••
• • • + S Sin)					(0 Уt (*)] +8(t-%)			[аг (t) S gt (t) Уі (T)		+
+	a2	(/) £ g't (t)yt ( T ) +				• • • +	2 ^ я - 1 } (0 Y , ( T ) ]		+ • • •
• • • +	S( "-2 )		-	T) [a„_i (0 S ft			(0 Yt (t) + S ft (0 Y* (*)]			+
+		6 ( t t _ ! )	-	T) S ft		(0 Уtit)	= b0(t)8(t-x)+		•••
Заметим, что				•••+bn_l(t)6i»~V(t-T).					(V.101)

б<*> (f — т) =					0, т <q t\		1 (t — т) = 0, х ^		t,

Поэтому при т t для соблюдения тождества (V. 101) необходимо, чтобы выражение,' стоящее перед единичной функцией, равнялось нулю,'а выражения при б ( й ) (t — т) в обеих частях равенства были равны между собой, т. е.

Е М О Е	g P ( 0 M	0 - 0 ;		(V.102)
/=0
Е Lмо E V ' - ^ O Y ^ O	Ы 0 ,	* = 1 , 2 ,	n.	(V.103)
Е Lмо E V ' - ^ O Y ^ O	Ы 0 ,	* = 1 , 2 ,

Вуравнениях (V.102) и (V.103) an (t) = 1. Уравнение (V.102) можно представить в виде

-я — 1

її (0 S	ak(t)g\k)	(t) +	gin)	(0
fe=0
М О Г "Е	M 0 # >	(t) +	g(2n)	(0
ft=0

+	Y«(0	[ S M O i ^ ( 0 + g $ ( 0 = 0.
Так как функции	уг (t),	у 2 (t), . . ., уп (t) линейно независимы,

это равенство будет иметь место при условии, что все выражения,

заключенные в квадратные скобки, равны			нулю,	т. е.
л _ 1
Е ак {t)g[k)	( * ) = - * i n )		(0;
fe=0
n%ak(t)g3k)	(0	-gin)	(0;	(V.104).
fe=0
n - l
E ak (0	(0 =	-§nn)	(t).

fe=0

Условия (V-104) представляют собой систему n алгебраичес

ких линейных уравнений с п					неизвестными
а0	(0.	<h (0,			«а (0, • •	a-n-i (О-
Решениями этой	системы			будут
где определитель
		М О			•••	g l n - l )	(0
А	=	м о		Mo ••• g ? ~ l )			(0
		gn	(0	gn	(0 •	гіГ 1 »	(0
является определителем			Вронского.

Так как функции g t (t), g 2 (t), • • ••> gn (0 также линейно не зависимы, определитель Д отличен от нуля при любом значении аргумента t, в том числе и при t = 0.

Определитель	Ak	получается		из определителя		Д, если		в по
следнем &-й столбец		заменяется		столбцом	[—g[n )	(t) —	g(2n)	(t) —
— • • • — gn"' (t)]T,	элементами			которого являются правые				части
уравнений, входящих			в систему	(V. 104).	После	того	как	будут
определены функции		а0	(t), ах (f), . . ., ап_х		(t), т. е.		переменные

коэффициенты линейного оператора А (р, t), непосредственно по

формулам

(V.103)

вычисляются

функции

bQ(t),

b1(f),

. . .,

bn-\ (0>

т -

е -

переменные

коэффициенты линейного

оператора

В\р,

t).

П р и м е р .

Рассмотрим

определение операторов

линейной

системы для

случая, когда

п = 2.

Функция

веса

V. *) =

Igi (9 Ті СО + g2 (0 72 (т) ] l ( t - т).

Функции gl i 2

(t)

и у1Л CO считают заданными.

(t),

входящих в оператор

Задача состоит в определении функций ао (t)

и ах

А (р, t) =

ао (0 +

аг

(р) t +

р 2 , и функций bo (0

и Ьг

(t),

входящих в оператор

Ь (р,

t) =

bo (t) +

Ьі (t) p.

Уравнения

(V.102)

принимают вид:

(0 + «і (t) g[

(0 = -g"i (9; % (t) g2 (0 +

a2 (0 g[ (t) = -g"2

(t),

откуда

-g'i(t)

g\{t)

a 0

(0 =

- f t ( 0

ft(0

g[ V) g2

V) -

g'l

V) 82

V).

g i ( 0

g'lV)

ft(Oft(0-fir'i(0'ft(0'

g2 (0

sfi

( 0 - * i ( 0

(0 =

g ' i ( Q g 2 ( 0 - g i (Qg2(0

Уравнения (V.103)

принимают вид

bo (t) =

(t) [gl

(t) V

(t) + g2

(0 V2 M1 +

+[Si (t) 7i (0 + £2 (0 72 (01;

61 (0 = gi (0 7i (0 + g2 (0 72 (0.

поскольку

a 2 (0 = 1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	А н д р е е в	Н. И. Корреляционная теория статистически оптимальных
систем.	М., «Наука»,	1966,	456	с.
2.	Б е с е к е р с к и й		В.	А., В о с т о к о в С. Б., Ц е й т л и н Я - М .

Электромеханические сглаживающие устройства. Л., «Судостроение», 1964, 148 с.

3. К а л м а н	Р., Ф а л б	П.,	А р б и б М. Очерки	по математической
теории систем. М., «Мир», 1971,		400	с.
4. Л а р и н	В. Б., Н а у м е н к о К- И., С у п ц е в			В. Н. Спектральные

методы синтеза линейных систем с обратной связью. Киев, «Наукова думка»,

1971,	127 с.
	5.	Л и	Р. Оптимальные оценки, определение характеристик					и управление.
М., «Наука»,			1966,	176 с.
	6.	М а к - К л у р			К- Теория	инерциальной навигации.		М., «Наука»,
1964,	300 с.
	7.	Н ь ю т о н		Дж . , Г у л д Л., К а й з е р			Дж. Теория	линейных	сле
дящих		систем. М.,		Физматгиз, 1964,		407 с.
	8.	П и т е р с о н			И. Статистический анализ		и оптимизация систем		авто
матического управления. М., «Советское радио», 1964, 248 с.

9.П о л у э к т о в Р. А. Задача синтеза многомерных замкнутых линей ных систем при случайных входных воздействиях. — «Автоматика и телемеха ника», 1966, № 4, с. 26—33 с ил.

10.С в е ш н и к о в А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М., «Наука», 1968, 464 с.

11.С о л о д о в н и к о в В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М., Физматгиз, 1960, 520 с.

12.Ц е й т л и н Я- М. Синтез абсолютно инвариантного оптимального многомерного фильтра с бесконечной и конечной памятью. «Труды ЛИТМО»,

1967,	выпуск 60, с. 73—82 без ил.
	13. Ч а н г Ш. Синтез оптимальных систем автоматического управления.
М.,	«Машиностроение», 1964, 440 с.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2524 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ