книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

Мени х (t), информация на выходе системы — также некоторым физическим сигналом, пропорциональным функции времени у (t). Функции х (t) и у (t) могут быть как скалярами, так и векторами. Эти функции называют иногда сокращенно входом и выходом системы.

Система автоматического управления, имеющая один вход и один выход, называется одномерной или одноканальной. Такая система схематично изображена на рис. 7, а.

Система автоматического управления, имеющая несколько входов и выходов, называется многомерной (многоканальной).

а)

хШ

F

Рис. 6 Рис. 7

На рис. 7, б схематично изображена многомерная система, имею­ щая N входов и М выходов.

Представляется естественным рассмотреть сначала одномерные системы, как системы более простые, а затем обобщить полученные результаты на случай многомерных систем.

Зависимость между функцией х (t) на входе системы и функ­ цией у (t) на ее выходе осуществляется оператором системы F, который является наиболее общей математической характеристи­ кой системы,

Известно, что оператором называется совокупность математи­ ческих (а в общем случае и логических) операций, в результате выполнения которых каждой функции заданного множества при­

вания функции х (t) системой, характеризуемой оператором F, записывается в виде операторного равенства

У (0 = Fx {t)

или в более общем случае

у (s) = Fx (t).

Примером операторов этого типа является оператор преобра­ зования Лапласа, приводящий в соответствие множеству ориги­ налов, т. е. функций времени х (t), преобразуемых по Лапласу, множество функций комплексного переменного X (s), представ­ ляющих собой изображения функций х (t). Это преобразование записывается в виде

Этот оператор, обратный оператору дифференцирования р, принято обозначать ~ . Естественно, что оператор —^- опреде-

В том случае, если коэффициенты дифференциального уравне­ ния постоянны:

Такой оператор, не зависящий от времени (переменной, по которой производится дифференцирование), называется стационарным.

Оператор F (р, і), который явно зависит от времени (пере­ менной, по которой производится дифференцирование), назы­ вается нестационарным. .

Операторы F (р, t) или F (р) характеризуют линейную систему. Однако обратное соображение, вообще говоря, не имеет места, так как существуют линейные системы, т. е. такие системы, для которых справедлив принцип суперпозиции, которые не описы­ ваются линейными дифференциальными уравнениями. Напри­ мер, система, осуществляющая операцию чистого запаздывания,

дифференциальным уравнениям. Поэтому определяющим при­ знаком линейности динамической системы является не возмож­ ность описания ее линейным уравнением, а удовлетворение прин­ ципу суперпозиции.

Поскольку рассматриваемая система, характеризуемая опера­ тором F (р, t), является линейной, то к ней применим принцип суперпозиции (1.43).

Однако прежде чем применить этот принцип, из которого сле­ дует исключительно важный для всего дальнейшего изложения результат, следует воспользоваться понятием импульсной функции.

Импульсной функцией называется четная функция б (t — т), обладающая следующими свойствами:

( 0, t + x

(1.44)

J 6(* —т)гіт = -1,

где ЄІ и є2 — любые сколь угодно малые положительные числа. Иными словами, это такая четная функция, которая равна нулю всюду, кроме одной точки т = t} где она обращается в бес-

Это выражение следует непосредственно из формулы (1.45), ко­ торую можно представить в виде

t п

на друга), образуя суммарную результирующую реакцию на выходе.

Суммарная реакция системы к моменту времени t приближенно равна сумме элементарных реакций, возникших ранее рассмо­ тренного момента времени.

Предполагается очевидным, что импульс, приложенный в мо­

не может появиться раньше, чем обусловивший ее импульс (при­ чина).

Реакция системы на элементарный импульс равна реакции системы на б-функцию, умноженную на коэффициент, величина которого равна площади импульса, так как каждый элементарный

Обозначим через Р (t, | ) реакцию на выходе системы в момент времени t, обусловленную воздействием на входе, представляющим

называется весовой функцией или функцией веса системы и, как следует из приведенного определения, показывает, с каким весом в момент времени t сказывается в реакции системы на выходе воз­ действие вида б-функцйи на входе, приложенное в момент вре­ мени \ . Таким образом, результирующая суммарная реакция на

Предел суммы (1.50), которая с учетом принятых обозначений примет вид

п t

rt->-00

Выражение (1.51), играющее исключительно важную роль в тео­ рии автоматического управления и особенно в теории оптимальных систем, является интегральной формой принципа суперпозиции,

Выражение (1.52), отражающее причинно-следственную связь, часто называют условием физической осуществимости системы.

Таким образом, функция веса реальной системы, равная, нулю при t < т , может быть записана в виде

Поэтому для физически реализуемой системы функция у (t), опре­ деляющая реакцию системы на выходе, должна быть записана в виде

во всех учебниках и руководствах) используется формула без единичной функции 1 (t — т), что допустимо, если функция X (t) является обычной (не обобщенной) функцией. В этом случае до­