книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

Естественно, что найденная передаточная функция F зависит от множителя Лагранжа X, который находится в результате подста­ новки функции F в выражение

—I со

ирешения полученного неравенства.

Аналогичным образом решаются и другие задачи с неслучай­ ными сигналами [1, 13].

22. УРАВНЕНИЕ ВИНЕРА—ХОПФА ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

Приведем вывод уравнения Винера—Хопфа и его решение во временной области. Вернемся к задаче выбора структуры системы, схематично изображенной на рис. 14.

Это система управления со случайным сигналом на входе х (t). Будем считать, что х (t) — случайная стационарная центрирован­ ная функция. Система управления, которая предполагается линей­ ной и стационарной, описывается функцией веса Р (t) или ее пре­ образованием Фурье—передаточной функцией F (s).

Через у (t) обозначен сигнал на выходе этой системы и через z (t) — идеальная функция на выходе. Разность этих двух сигна­

Функция веса, минимизирующая дисперсию ошибки, является функцией входа х (t) и идеального выхода z (t).

Знание статистических характеристик этих двух сигналов — корреляционной функции входного сигнала и взаимной корре­ ляционной функции между входным и идеальным выходным сигна­ лами — позволяет найти функцию веса системы, обеспечивающую минимальную среднеквадратическую ошибку на выходе.

Искомая функция веса Р (t) находится как решение некоторого интегрального уравнения, которое получается следующим обра­ зом.

В выражении ошибки на выходе (Ш.48)

со

некоторая произвольная функция веса; а — произвольная кон­ станта.

Условие, которому должна удовлетворять искомая функция веса Pm(t), получится в результате приравнивания нулю производ­

(Ш.53)

Заметим, что пятое и шестое слагаемые в правой части (III.53) равны между собой. Действительно, переменив порядок интегри­ рования и индексы переменных интегрирования в пятом слагаемом

со со

—С О — ' С О

т.е. шестое слагаемое.

Всилу четности корреляционной функции

Кхх (к к) ~ Кхх {t% ti),

Этому условию и должна удовлетворять функция веса оптимальной (в смысле минимума дисперсии ошибки) системы.

Интегральное уравнение (III.54) носит название уравнения Винера—Хопфа (во временной области).

Заметим, что, вообще говоря, функция веса Рт (t), удовлетво­ ряющая (III.54), обеспечивает стационарное значение дисперсии ошибки, но не обязательно минимум. Однако из физических представлений очевидно, что решение, если оно существует, должно давать минимум, так как максимум дисперсии ошибки равен беско­ нечности.

>-« \

Если бы левая часть (III.55а) была равна нулю для всех значе­ ний т, получилось бы интегральное уравнение Фредгольма первого рода, которое можно решить с помощью преобразования Фурье при условии, что все функции Рт (t), Кхх (t) и Кхг (t) имеют пре­ образования Фурье.

Однако левая часть (III.55а) равна нулю только при положи­ тельном значении времени и, следовательно, ее преобразование дает функцию аргумента s, не равную нулю, в то время как в слу­ чае уравнения Фредгольма первого рода эта функция равнялась бы нулю. Поэтому уравнение (III.55а) желательно преобразовать в уравнение первого рода путем выполнения некоторых операций

Функции Kfx (т) и Кхх (т) определим следующим образом:

при положительных, так и при отрицательных значениях време­

иметь ненулевое значение при всех значениях т, как положи­

126

Поскольку согласно (III.57) множитель Kl'x (t2) отличен от

По форме уравнение (III.60) напоминает исходное уравнение Винера—Хопфа (III.55а), однако имеет одно'существенное отли­

На основании (III.61) и (III.62) можно сделать вывод, что левая часть (III.60) отлична от нуля при t < 0 только за счет члена у (t) и, следовательно,

со

—со

Уравнение (III.63) справедливо при всех значениях времени t и является обычным уравнением Фредгольма первого рода. Такое уравнение, как было сказано, может быть решено в результате преобразования Фурье, т. е. путем перехода в комплексную область.

Напомним, что прямое преобразование Фурье функции вре­ мени / (t) определяется как

— со

ванием устойчивости системы. Поскольку в выражении (III.65), определяющем функцию F (s), функция Ofx (s) находится в зна­ менателе, то и все нули этой функции должны находиться в левой полуплоскости.

функции Ф**^), расположенные в левой полуплоскости. Так как по формуле (III.66)

ф - (s)

то функция Ф~х~х (s) представляет собой второй множитель, содер­ жащийся в (s) и включающий все полюсы и нули функции Фхх (s)> расположенные в правой полуплоскости. Как уже ука­ зывалось, такое разложение четной функции на множители, обла­ дающие указанным свойством, называется факторизацией.

Из выражения

со

— со

вытекает, что

где ФХ2 (s) — преобразование Фурье взаимной корреляционной функции, т. е. взаимная спектральная плотность.

• По формуле (III.67)

Y(s)= Ф*г{5) .

Ф7*(*)

Эта функция является преобразованием Фурье функции у (t). Функция

представляет собой слагаемое (компоненту, составляющую) функ­ ции Г (s), содержащее все полюсы в левой полуплоскости.