Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Второе слагаемое этой функции •

			Г_00 = r ( s ) - r + ( s )
имеет все полюсы в правой полуплоскости.
Теперь	определение			функции Г+ (s) очевидно.
Если	Г (s) =			— рациональная функция,
	Фхг		XX
то Г+ (s) =		(S)	в	соответствии	с (II 1.68) представляет со-
	®7х
		(S)	+		полюсы которых находятся
бой сумму тех элементарных дробей,

в левой полуплоскости. Функция Г_ (s) представляет собой сумму остальных элементарных дробей, полюсы которых находятся в пра вой полуплоскости.

Если же Г (s) = Ф * г ^ не является рациональной функцией,

Фхх (s)

то прежде всего следует найти функцию у (t) как обратное пре образование Фурье функции Г (s), т. е.

Теперь функцию Г +		(&) можно найти						как		прямое	преобразова
ние Лапласа функции		у	(t),	т. е.
			со						со
Г+ (s) = L	[у (01 =		J Y (0 е - 5 '				^	=	j	V* it) e-s '	Л ,
			0					—со
где
	Y* (0			=	о, t		<0
Точнее,	Y* (0			=	у	(0	t	> о.
Точнее,
	Y* (0			=	0,	t	< а
					V (0,		* > а ,
где а — абсцисса	абсолютной				сходимости.
Функция Г+ (s), являющаяся прямым преобразованием Фурье
функции времени v* (t),		равной нулю при t							<30, имеет все полюсы
в левой полуплоскости.
Таким образом, искомая передаточная функция оптимальной
системы F (s) всегда может быть определена										по формуле (II 1.65).

Функция веса оптимальной системы найдется как обратное пре образование Лапласа передаточной функции (III.65), т. е.

2m'J r j F(s)estds l(0 = L-> [F(s)\.

—їсо

23.СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ

СОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Вподавляющем большинстве случаев системы автоматического управления представляют собой замкнутые динамические системы (системы с обратной связью).

Такие системы		могут	быть	представлены	в виде	структурной
схемы, изображенной на			рис.	17. Здесь т (t)	— полезный		сигнал
на входе; п	(t) — аддитивная			помеха на входе; у (t)		— фактиче
ский сигнал	на	выходе;	z (t)	— желаемый	Сигнал	на	выходе;

d (t) — помеха на выходе	объекта		(«возмущение нагрузки»);
т	W	ъ	,	Q

	Рис.	17
a (t),	b (t) — сигналы на входе	регулятора (корректирующего
звена)	и объекта (фиксированной	части системы); є (t) — ошибка

системы; W (р), G (р), Н (р) — операторы регулятора (коррек тирующего звена), объекта (фиксированной части системы) и желае мого (идеального) преобразования.

Из рис. 17 непосредственно следуют уравнения:
	WG (т +			п — у)		+ d =			у,
откуда
			/	I	\	I	1		А
							1
	y = TTwG^m			+ n^ +			TTwGd'
и
	а = т-\-п	— у = Y^fWG (m					+ n		~" d)>
	b=Wa=			W	(т + п — d).
Ошибка	b=Wa=		l	+ W G	(т + п — d).
Ошибка	системы
_	—(я	W	G	\			W G	n	1	Иa
e — z — y—yn		j +	WGjm			l +	W	G	i +	wG -

131

В этих уравнениях т, п, у, z, а, Ь, є представляют собой пре образования Лапласа функций т (t), п (t), у (t), г (t), a (t), Ь (t),

є (0 и

W = W(s) = W (p) U ;

	G	= G(s)		=	G (p)	\| p = s ;
	Н	= H(s)		=	H (p) \| p = s .
Обозначим	передаточные		функции
F =	1	F	-	W	•	WG	(111.70)
	1			W
a	l + W G ' - b			l +	WG'	WG '

Между функциями (III.70) существуют простые соотношения, позволяющие выразить каждую из них через любую другую:

Fa= 1 - FbG = 1				F„
Fh = I -	F	a	G	(III.71)
	G	~	G
-	Fa	=	FbG.

Эти уравнения можно переписать в виде

у = Fy	(т + п) + Fad;
а =	Fa(m +	п —	d)\
b =	Fb (т +	п —	d);

є = (Я — Fy) т — Fyn — Fad.

Очевидно, что рассматриваемая система автоматического управ

ления	будет	устойчива	только		в том случае,	если	все три переда
точные	функции { Fa,		Fb,	Fy \	не имеют полюсов		в правой полу
плоскости.								у (t),	a (t)
Действительно, только				при	этом условии	функции
и b (t)	по	истечении	времени		переходного	процесса		будут	на

ходиться в установившемся режиме, поскольку при отсутствии полюсов передаточных функций в правой полуплоскости пере ходные процессы, обусловленные любыми ненулевыми началь ными условиями, «затухают», т. е. соответствующие возмущения с течением времени t становятся меньше (по абсолютному значе нию) любого сколь угодно малого наперед заданного числа В > 0.

Задача синтеза — найти такую передаточную функцию регу лятора (корректирующего звена) W = W (s), при которой система удовлетворяла бы требуемому критерию качества, например ми нимуму дисперсии ошибки є (і) в установившемся режиме. Так как

Fb	_	F y	(III.72)
I-Ftf	~	G(l-Fy)	'

то сформулированная задача сводится к определению передаточ ных функций { Fa, Fb, Fy \, удовлетворяющих требуемому крите рию качества, после чего передаточная функция регулятора (кор ректирующего звена) находится по одной из формул (III.72). Поскольку передаточные функции связаны между собой соотно шениями (III.71), может показаться, что достаточно определить одну (любую) из них, а затем найти остальные две на основании этих соотношений.

Однако поступать таким образом можно только в одном част ном случае, когда объект (фиксированная, заданная часть си стемы) является устойчивым и минимально-фазовым, т. е. когда передаточная функция G (s) не имеет ни полюсов, ни нулей в пра вой полуплоскости.

Пусть

G(s) ~ B«(s)

где Ag (s), Bg (s) — полиномы. Рассмотрим все возможные случаи.

1. В результате решения задачи синтеза определена переда точная функция Fa, соответствующая устойчивой системе. Не обходимость устойчивости очевидна. Тогда

F -	1 ~ F a	-	V~F')B8.
ь	G	~	ЧAs
ь
	F y ^ \ - F a .
Передаточная функция Fy не			будет иметь полюсов в правой
полуплоскости. Что же	касается		передаточной функции Fb, то

она не будет иметь полюсов в правой полуплоскости только в том

случае, если полином Ag не имеет нулей	в правой	полуплоскости,
т. е. если объект является минимально	-фазовым.	Поэтому пере

даточная функция Fa может быть принята за основу только в том случае, если объект является минимально-фазовым.

2. Определена передаточная функция Fb, соответствующая устойчивой системе. Тогда

Fa=*\-FbG=\—^\

Fy = F b G = - ^ .

Передаточные функции Fa и Fy не будут иметь полюсов в пра вой полуплоскости только в том случае, если полином Bg не имеет нулей в правой полуплоскости, т. е. если объект устойчив. По этому передаточная функция Fb может быть принята за основу только'.в том случае, если объект устойчив.

3. Определена передаточная функция Fy, соответствующая устойчивой системе. Тогда

Fa=\		— Fy,
F	— -fjL	—	Р У В Е
Передаточная функция	Fa	не	будет иметь полюсов в правой

полуплоскости. Что же касается передаточной функции Fb, то она не будет иметь полюсов в правой полуплоскости только в том

случае,		если полином	Ag не	имеет полюсов в правой полупло
скости,		т. е. если объект является минимально-фазовым.				Только
в	этом	случае передаточная		функция	Fy может быть	принята
за	основу.
	Таким образом, если объект является устойчивым и мини
мально-фазовым (оба			полинома Ag и Bg		не имеют нулей в	правой

полуплоскости), за основу может быть принята любая из пере

даточных функций \| Fa, Fb, Fy\.
Если объект является устойчивым, но не минимально-фазовым
(полином Ag	имеет нули в правой полуплоскости), за основу может
быть принята только передаточная функция Fb.
Если объект является неустойчивым, но минимально-фазовым
(полином Ag	не имеет нулей в правой полуплоскости, а полином Bg

может их иметь), за основу могут быть приняты только передаточ

ные	функции Fa	или	Fy	[6, 9 ] .
Если объект		является неустойчивым и не минимально-фазовым
(оба	полинома	Ag и	Bg	имеют к<уши в правой полуплоскости),

за основу не может быть принята ни одна из передаточных функ

ций { Fa, Fb,	Fy\.		оптимальных си
Получим конкретные алгоритмы определения
стем. Будем считать, что сигналы т (t),		п (t) и d	(t) являются	ста
ционарными	случайными функциями,	причем положим для		про

стоты, что эти функции взаимно независимы, т. е.

Ф«п	= ®ппг =	®md	= ®dm = ®nd =		®dn =	0;
	Фтт = Фт,	Ф„п = Ф«,		Фdd	= Фd.
Рассмотрим все возможные случаи синтеза системы.
1. Объект устойчивый и минимально-фазовый.
Определим	передаточную		функцию	Fy:
	є = (Я — Fy)m		— Fyn — (1 — Fy)d;
Фее = Фт(Н-	Fy)(Я-	Fy)	+ 0„FyFy	+ <J)d(l-Fy)		(1 - Fy).
Уравнение	Винера—Хопфа

^ і - = ~ Ф т ( Я - ^ ) + Ф ^ - Ф л і - ^ ) = і,

at у

где I — неизвестная функция, аналитическая в левой полупло скости, т. е. все полюсы функции I расположены в правой полу плоскости, или

откуда

г в

(111.73)

АЛ

A-

J +

где

А = Фт

+ Ф„ + Ф/,

В = ФтН

Фй.

По

формулам*(Ш.71)

Fa=l-Fy=l

У ~

А +

(111.74)

F B

G -

A G A +

A-

Определим

передаточную функцию Fb.

є =

( Я — FbG)m

— FbGn

— {\

—FbG)d-

Фее

— Фт(Н — FbG) (Я - а д + <UnFbGFbG

+ Ф Л і - а д ( і - З Д ;

дФее

—

dFb

-Фто ( я - ад - f ®nFbGG - Фао (і - ад - %

или

FbAGG

— B G = |,

откуда

В 1

(IH.75)

По

формулам

(III.71)

Л" (GG)-

_ +

A+G

. Л" J+

^ G =

4 L

А-

- в

А'

Так

как

для

устойчивого и минимального фазового объекта

(GG)+ = G и (GG)~ = G,

выражение

для

принимает

вид

Г В

fig

Г В

]

F„ = A+G

L А- \ +

AGA- L А +

Определим передаточную		функцию	Fa:
e =	(H—l+Fa)m-(l-Fa)n		— Fad;
Фее = Ф т ( Я -	1 + Fa) ( Я -	1 + Fa) +	Ф « (1 ~ Fa) ( ~ Fa) +

+Ф * № ,

Ф ™

Ф,„ ( Я — 1 4 - Fa) —

Ф„ (1 — Fa) +

<bdFa = g,

или

F a 4

[ Ф т

(1 -

Я ) +

Ф„1

= g,

откуда

—

т ( 1 - Я )

+ Ф„

J +

Числитель выражения в квадратных скобках можно пред

ставить

виде

Ф т ( 1 - Я ) + Ф„ = Ф т + Ф „ - Ф т Я =

= A — Od

— B + Od

= A — B.

Тогда

Г А

— в

/1+

L л- J + - л+ /1

л- J +

л+

= 1

— ^ г л

А-

А+

А-

По

формулам (II 1.71)

F„=\

-F

——

А-

г а

—

А +

} +

. А-

Таким образом, .в случае устойчивого и минимально-фазового объекта можно синтезировать оптимальную систему, беря за ос нову любую из трех передаточных функций. Иными словами, устой чивый и минимально-фазовый объект не накладывает никаких ограничений на синтез системы.

2. Объект устойчивый, но не минимально-фазовый.

В этом случае можно определить только передаточную функ

цию F b	. Общее выражение для передаточной				функции Fb опти
мальной	системы дано в		формуле (II 1.75).
Так как объект		устойчивый и не		минимально-фазовый,
	(BgBgy	^Bg,^	(BeBt)j=	Ве, (AgAgf	=

= Ag, (AgAg) = Ag.

(111.76)

Поэтому (III.75) с учетом (III.76) принимает вид

Fh	= Js-	АаВ
		AgA- J+ •
	AgA+

По формулам (II 1.71)

	••FhG=-=±	АеВ
	••FhG=-=±	АаА-
	АеА+	АаА-

3. Объект минимально-фазовый, но неустойчивый

с,

т +

w ъ.

Рис. 18

(III.77)

(III.78)

В	этом случае следует определять передаточную функцию Fy
или	Fа — 1 — Fy. Выражения для этих функций	уже получены
в формулах (III.73), (III.74).
Таким образом, в зависимости от динамических		характеристик

объекта (нахождение нулей полиномов Ag и Bg в левой или правой полуплоскости) приходится применять различные методы синтеза, изложенные выше.

В случае же неустойчивого объекта рекомендуется сначала стабилизировать его путем введения дополнительной обратной связи, после чего решать задачу синтеза системы с «новым» (уже устойчивым) объектом1 [13].

Рассмотрим этот		алгоритм.
Структурная	схема		синтезируемой	системы приведена на
рис. 18, где К (s)	=	a (s	передаточная	функция дополнитель

ной обратной связи, осуществляющей стабилизацию объекта.

1 В работе [9] предлагается весьма громоздкий метод синтеза, не требующий предварительной стабилизации и сводящийся к введению сложной системы изо метрических ограничений.

Передаточную функцию К (т. е. полиномы а и J3) следует вы брать таким образом, чтобы «новый» объект, обведенный на рис. 18 штриховой линией, оказался устойчивым.

Из схемы непосредственно следует

			G [Ьх —	К (у —	d)]	=	у —• d,
откуда			(1 +	KG) (y—d)		=	Gbu
			(1 +	KG) (y—d)		=	Gbu
или
			У— d— l + K G - Ь г			= G A ,
где Gx	=	д _^	— передаточная		функция «нового» объекта,
а также
				і = ~Q~ ІУ ~		d),
откуда	Fb	= ~	Fy.

Подставляя в выражение для Gx G = - ф - и К = — , получим tig а

Для устойчивости такого объекта требуется, чтобы знамена тель (II 1.79) удовлетворял условию

	Q = p\4g +	аВе = QH,				(III.80)
где	<3H — полином, не имеющий	корней в правой				полуплоскости.
Задавшись видом полинома Q, не имеющего корней в правой
полуплоскости (например, Q =		1, Q = а +		bs,	где а > 0, 6 > 0
и т.	д.), всегда можно найти	полиномы	а	и	(3,	удовлетворяю
щие	(111.80).
Разумеется, эта задача не имеет однозначного						решения, так
как	условию (III.80) при заданном Q удовлетворяет неограничен
ное количество полиномов а и р . Следует			иметь в виду, что и сам
полином Q (не имеющий корней в правой			полуплоскости) может
быть	задан бесчисленным количеством способов.

Важно то, что поставленная задача всегда имеет решение, которое не является однозначным.

На практике задание полинома Q и вид полиномов а и Р сле дует выбирать, исходя из простоты реализации полученных за висимостей. В частности, полином а следует искать в классе по линомов, не имеющих корней в правой полуплоскости. При этом дополнительная обратная связь, осуществляющая стабилизацию неустойчивого объекта, сама будет устойчива.

После стабилизации объекта рассмотренным выше способом решается задача оптимизации системы с устойчивым объектом.

Так как «новый» объект может оказаться не минимально-фазо вым, поскольку полином Ag может иметь корни в правой полу плоскости, целесообразно определять передаточную функцию Fbv играющую роль функции Fb в предыдущей задаче.

В соответствии с формулой (II 1.75), заменив Fb на Fbl и G на G J ( получим

1		BGt	(Ш.81)
А+ (G&Y	A-

Теперь

ааАцАо

так как полином Q не имеет корней в правой полуплоскости, так же как и полином а.

Поэтому (III.81) примет вид

						Q			BaAgQ
				А+а (AgAg)+				QA-a		(AgAg)
						Q			B~Aa		(Ш.82)
						Q		A- (AgAgY			(Ш.82)
				А+а (AgAg)+				A- (AgAgY
По формулам		(III.71)
		Fy	=	Fbfii		=				AaB
		Fy	=	Fbfii		=				(AgAgYA-	(Ш.83)
						(AgAg)+A+				(AgAgYA-	(Ш.83)
						Fn	1 -		Fy,
Кроме	того,
			Fb^-Q	= (AgAgYA+						AaB	(ІП.84)
			Fb^-Q	= (AgAgYA+						(AgAgYA-	(ІП.84)
В частности, если неустойчивый объект минимально-фазовый,
(AgAg)+ =	Ag	и	(AgAg)'		=Ag.		Тогда			(111.82) — (111.84)	прини
мают вид:
				ГF		=	—+
				У			А
				F		—-ЁМ-			А-		(ІП.85)
				b		~	AgA+		А-		(ІП.85)

Fn=\ А+

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ