Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Цейтлин Я.М. Проектирование оптимальных линейных систем

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Глава III

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

СБЕСКОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ

18.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Из определения функции веса как реакции системы в момент времени t, обусловленной воздействием импульса, поступившего в момент времени т, следует, что функция веса некоторым образом характеризует «память» системы.

Действительно, чем больше интервал времени t — т, в течение которого функция веса «существенно» отлична от нуля, тем больше

X(s)	F(s)	Y(sj	(
хШ	P(t)	уШ	~1

Z(s)

z(t)

Рис. 14

«память» системы, тем дольше «помнит» она воздействие, поступив шее ранее. Линейные стационарные устойчивые системы, функции веса которых представляются в виде суммы затухающих экспо нент, формально говоря, обладают бесконечной памятью, так как ни при каком значении времени экспонента не обращается в нуль.

Поэтому линейные стационарные системы (и в частности, си стемы, описываемые обыкновенными линейными дифференциаль ными уравнениями с постоянными коэффициентами) называют


системами		с	бесконечной памятью.					В данной главе	рассматри
вается	синтез		таких		систем.
В тех случаях, где это не приводит к недоразумениям,										аргу
мент	s не	будем		указывать,		т.	е.	будем писать	A (s)	= А,
где А	(. . .) — любая				функция^		функции аргумента — s			будем
записывать		в виде		А	(—s) =	А •

Задача синтеза линейной стационарной системы с бесконечной памятью иллюстрируется схемой, приведенной на рис* 14. Здесь

х — фактический сигнал	на	входе;	у — фактический сигнал на
выходе; z — желаемый	(идеальный)		сигнал на выходе.
Будем считать, что	у и	z — центрированные стационарные

случайные функции; є — разность между желаемым и фактическим сигналами на выходе, характеризующая ошибку системы; F — оператор синтезируемой системы, отождествляемый с ее переда

точной функцией;		очевидно,	что	он	соответствует		передаточной
функции замкнутой системы.
Из рис.	14 непосредственно Следует
		8 =	Z —		Fx.
Спектральная		плотность ошибки			Ф е е	находится	по	теореме
Винера—Хинчина		как
Ф е е =	lim ~	М [етвт] =	lim М [(zr — FxT) [zT — FxT)\					=
=	lim - і - M [zTzT — zTxTF			— xTzTF		+ xTxTFF]	=
	7 4 со	*
		= <S>a-OzxF-OxzF			+	<bxxFF.		(III . l)
Установившаяся дисперсия			ошибки e			будет

—ico

Задача синтеза искомой системы состоит в определении такого оператора F (передаточной функции оптимальной системы), кото рый минимизирует функционал (III.2), т. е. обеспечивает мини

мальную дисперсию ошибки на выходе.
Функционал (III.2)	с учетом	( I I I . 1) имеет вид
{со
°* = Ш 1	( Ф « - ф	* ? - Ф « / + ®xxFF)ds.	(ІЦ.З)

— ico

Очевидно, что представляют интерес только устойчивые си стемы, а для этого необходимо, чтобы все полюсы функции F находились в левой полуплоскости.

Произвольное значение функции F, т. е. передаточной функ ции некоторой неоптимальной системы, можно представить в виде

	F = F0+af,		(III.4)
где F0 = F0	(s) — искомая передаточная функции	оптимальной
устойчивой	системы, которая должна иметь все	свои полюсы
в левой полуплоскости; а — произвольная константа; f			— f (s) —
некоторая произвольная функция, все полюсы которой			находятся

в левой полуплоскости, что следует непосредственно из равенства (III.4), так как функции F0 и F, входящие в него, имеют все свои полюсы в левой полуплоскости.

Заменив	в	(HI.4)		s на —s,	получим
				F =	F0	+	of.	(III.5)
Подставив		(ПІ.4)		и (HI.5)	в	(Ш.З),		найдем
		І	со
		{ .<ф« ~ ф«р°				~ фр° + фроро) ds +
		—І	С О
		і со			Г		t со
+ А	2	І 1	®Jfds+			2І7	I	( Ф ^ о ~ Ф « ) / ^ +
		— Ї со			[_	,	— І С О
				I со
				— 1 0 0

Заметим, что два интеграла, заключенные в квадратные скобки, равны между собой. Рассмотрим первый из них:

I со

А==Ш	I	l®xx(s)F0(-s)		+	(I>zx(s)]f(s)ds.
	— I C O
Произведем замену		переменной
Тогда			•s.
Тогда
— І со
Учтя, что
	Ф « ( — 8 І) =		Ф*»(%) =		Ф « ;
	Ф « ( - % ) =		Ф«(%)	=	Ф « ,
перепишем выражение		для А	в виде

Iсо

А= ш [ (ф«^о-ф*)?А

—ІСО

что тождественно совпадает со вторым из рассматриваемых ин тегралов.

Таким образом, выражение для De можно представить в виде

і'оо

D e = Ш J <Ф»- Ф**ро - Ф*гр° + Ф^о^о) ds +

—ICO

і с о І о о

или	— ( 0 0	— і с о
или
	De = D0	+ 2Ла + 5 а 2 ,	(III.6)

где
2яТ I	( Ф « - ф ^ о -OxzF0	+	OxxF0F0)ds;
—і	со
	в
	—і со
			(III.7)

— 1 со

Обратим внимание на то, что Б всегда является положительной величиной, так как представляет собой дисперсию на выходе не которой устойчивой системы с передаточной функцией / (s) при


поступлении на входе этой системы сигнала		х (t) со спектраль
ной плотностью Фхх (s). Из сравнения (III.3)		и (III.7) следует,
что D0	представляет собой дисперсию на выходе оптимальной си
стемы.	Теперь представляется очевидным, что условие А = О яв

ляется достаточным условием того, что функция F0 обеспечивает минимальное значение дисперсии для произвольной функции /. Это достаточное условие является также и необходимым. Для доказательства предположим, что А ф 0.

Если А ф 0, всегда можно выбрать константу а такой величины и такого знака, чтобы имело место

2Аа + Ва2 = а	(2А + Ва) < 0.
При этом D E , определенная	выражением (III.6), окажется
De	<D0.

т. е. при А ф 0 можно получить на выходе неоптимальной си стемы с передаточной функцией F дисперсию De, которая оказы вается меньшей, чем дисперсия D 0 на выходе оптимальной си стемы с передаточной функцией F0, что противоречит определению оптимально/й системы.

Таким образом, условие

(III.8)

—і со

является необходимым и достаточным условием оптимальности системы.

Этот исключительно важный результат можно получить и другим способом. Функционал DE, представленный в форме (III.6), является функцией а, т. е. D E = De (а). Следовательно, экстре мум этого функционала определяется условием

dDe да

ИЛИ

2 (А + 5а) = 0.

(III.9)

Поскольку В > О, функция Ds (а) является параболой, ветви которой при возрастании | а | уходят в +оо. Следовательно, экстремум этого выражения, соответствующий обращению в нуль первой производной его по а, является минимумом. С другой сто роны, так как по предположению F0 является оптимальной пере даточной функцией, то дисперсия должна обращаться в минимум при а = 0.

Таким образом, для того чтобы функция F0 = F0 (s) была действительно передаточной функцией оптимальной системы, не

обходимо,	чтобы первая производная	обращалась в нуль
при а = 0,	т. е.

или с учетом (ПІ-7) и (III.9)

Ісо

А = -Щ- [		( ф ^ о - Ф « ) / ^ = 0,	(III . 10)
	—гсо
что совпадает с выражением		(III.8).
19. УРАВНЕНИЕ	ВИНЕРА—ХОПФА
В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
Теперь остается	найти передаточную функцию		оптимальной

системы F0. Для этого необходимо воспользоваться теоремой Коши о вычетах.

Представим интеграл вдоль всей бесконечной мнимой оси в виде разности между интегралом по замкнутому контуру, вклю чающему бесконечную мнимую ось и дугу полуокружности бес конечного радиуса, охватывающую левую или правую полуплос кость, и интегралом по этой полуокружности бесконечного радиуса.

Свойства спектральных плотностей и передаточных функций, входящих в подынтегральное выражение ( I I I . 10), таковы, что при |s| —> оо подынтегральное выражение стремится к нулю, в силу чего интеграл по полуокружности бесконечного радиуса исчезает. Поэтому интеграл ( I I I . 10) равен интегралу по замкнутому, контуру, состоящему из бесконечной мнимой оси и дуги бесконечного радиуса, охватывающей' левую или правую полуплоскость. Ин теграл же функции комплексной переменной s по замкнутому кон туру равен, как известно, сумме вычетов в полюсах подынтеграль ного выражения, находящихся внутри замкнутого контура, умно

женной на 2яг.
Так как в нашем случае интеграл		умножается на -т^-» то
А = £	Ress* [ . . . ] ,
где ResS £ [. . . ] — вычеты в	полюсах	s = sk.

Поскольку функция /	= f	(s) соответствует устойчивой системе,
то все полюсы функции	/ (s)	находятся в	левой полуплоскости.
Отсюда следует, что все полюсы функции			/ = / (—s) находятся

в правой полуплоскости. Поэтому если выбрать замкнутый кон тур, охватывающий правую плоскость, интеграл (ШЛО) не будет равен нулю, так как внутри контура окажутся полюсы функции /. Следовательно, выбор замкнутого контура, охватывающего пра вую полуплоскость, недопустим и необходимо выбрать контур, охватывающий левую полуплоскость.

Поскольку подынтегральное выражение представляет собой произведение двух сомножителей f и Ф д ^ о — Ф*г> первый из кото рых не имеет полюсов в левой полуплоскости, то для того чтобы интеграл по замкнутому контуру, охватывающему левую полу плоскость, был равен нулю, необходимо, чтобы и второй сомножи тель также не имел полюсов в левой полуплоскости.

Аналитически это требование можно представить в виде

Ф * ^ О - Ф « = Е ,	(ПІ.П)
где 1 — неизвестная функция, все полюсы которой	находятся
в правой полуплоскости.

Таким образом, для определения искомой передаточной функ ции оптимальной системы необходимо решить функциональное

уравнение	( I I I . 11),	которое	называется		уравнением	Винера—
Хопфа в комплексной области.
В этом	уравнении	Фхх и	— известные спектральные плот
ности, причем Фхх — четная			функция,	F0	— искомая	функция,
все полюсы	которой	находятся в левой		полуплоскости,		и \| — не

известная функция, все полюсы которой находятся в правой полу плоскости.

Четную функцию Ф ^ всегда		можно представить в виде про
изведения двух функций, одна из которых Ф ^			имеет все полюсы
и нули в левой полуплоскости,		а другая Фх~х — в правой, т. е.
	Ф ^ = ф + Ф ~ .		(III . 12)
Операция (III.12) носит название факторизации. Эта операция
рассмотрена в	п. 15.
Подставив	( I I I . 12) в ( I I I . 11),	найдем
	Ф^ФГ^ о — Ф « = Е-
Разделив теперь все члены этого уравнения			на Ф^, получим
	Ф ^ о - ^ f 2 — - ^ .		(ІИ.13)

^XX XX

Первый член левой части ( I I I . 13) имеет все полюсы в левой полуплоскости, так как оба его сомножителя Ф%х и F0 обладают этим свойством по определению. Правая часть ( I I I . 13) имеет все

в виде суммы двух слагаемых, одно из которых

полюсы в правой полуплоскости, поскольку функция g обладает этим свойством по определению, а Ф7* имеет по определению все полюсы и нули в правой полуплоскости, причем нули функ

ции		Ф7* стали полюсами		правой части	(II 1.13).
	. Что касается		второго	члена левой части, то он имеет полю
сы		как в правой,	так и в левой полуплоскости, так как функ
ция		Ф^, являющаяся преобразованием			Фурье	корреляционной
функции Кхг (т), отличной				от нуля как при положительном, так
и	при отрицательном времени т, имеет полюсы					как в левой, так
и	в	правой полуплоскости.
	Поэтому представим второй член левой части уравнения (III . 13)

Г Ф*г

имеет все

	полюсы в левой, а второе	Ф*
	полюсы в левой, а второе	Ф _
		Ф _
	Ф*
	Ф:	Ф:

в правой полуплоскости, т . е .

	Ф .	(III. 14)
	Ф;	(III. 14)
	Ф;

Операция (III . 14) носит название сепарации. В том случае, если — 7 — дробно-рациональная функция, представление в виде

Ф**
(III.14) осуществляется		легко.	В этом	случае		[.. . . ] + — сумма
тех элементарных дробей, на которые раскладывается								заключен
ное в скобки выражение,		корни знаменателей которых						находятся
в левой полуплоскости;		[. . . ]_—сумма остальных элементарных
дробей, корни знаменателей которых находятся						в	правой		полу-
лоскости.
Например,	если
Фхг	2s3 + 12s2 + l i s —		1 _ 2s3	+	12s2 +	li s — 1
Ф;	s3 + 2s2 — s — 2		( s + l ) ( s + 2) (s-				1)
	= 2 +	1	3	,	4
	= 2 +	s + 1			1
TO
			3	_	2s2 +	10s+ 9
Ф7	= 2 + -		+ s + 2 ~		( s + l ) ( s + 2)
Ф7	+								[...]+);
(целую часть неправильной дроби всегда следует относить к									[...]+);

Ф~~

Рассмотрим, как выполняется сепарация в тех случаях, когда ^ - является не дробно-рациональной функцией.

^ хх

Обозначим

и найдем функцию времени и (t), являющуюся обратным преобра зованием Фурье функции U (s):

	u(t)	2я-	}	U{s)tstds,		(III.15)
Интеграл и (t)	найдем	как сумму		вычетов по всем		полюсам
функции U (s) est.	Функция	U (s) es ' имеет полюсы как в правой,
так и в левой полуплоскости.			Пусть	sk	— полюсы кратности
расположенные в левой полуплоскости,					и sg—полюсы	порядка
mq, расположенные в правой			полуплоскости. Тогда
и (0 = Е ResSft [•••] +				£	Ress [ • • • ] ,	(HI. 16)

где

Res s r --- ] = 2	Ama~1
	1)1 H m ^ — T [ ( s - s ^ t / ( S ) e " ] .

Знак минус у второй суммы обусловлен отрицательным направле нием обхода контура, охватывающего правую полуплоскость.

Теперь, поскольку преобразование Фурье функции времени, которая равна нулю при t < О, является аналитическим в правой полуплоскости (т. е. имеет все полюсы в левой полуплоскости), найдем преобразование Фурье от функции

	(u(t),	t^O
" ( Н	о,	* < о .
Очевидно, что преобразование Фурье функции и* (t) совпадает
с преобразованием Лапласа	функции и (t). Это преобразование,

имеющее все полюсы в левой полуплоскости, и будет представлять

собой искомую функцию	®xz 1 . Таким образом,
	L ^хх J +
Фх	[U (s)]+ =	\u(t)t-^dt,
Ф ;

где и (t) определяется выражением ( I I I . 15) и вычисляется по фор муле (III.16).

Второе слагаемое выражения U (s), если бы оно было нужно, можно было бы найти как

Фх	=	[U(s)]_=				\u{f)t-^dt.
Ф7	=	[U(s)]_=				\u{f)t-^dt.
Ф7
Вернемся к уравнению		( I I I . 13). Подставив туда					( I I I . 14), полу
чим
	Г Фхг 1		-	1	4-	Г Фхг ]	(III. 17)
	ф—		~~	Ф -	+	Ф~
	^	XX	-L	XX		XX
			-L	XX
Оба члена левой части этого уравнения имеют все полюсы в ле

вой полуплоскости, а оба члена правой части этого уравнения — все полюсы в правой полуплоскости. Поэтому функция комплексного


переменного		( I I I . 17) должна	быть	аналитической во всей плоско
сти. Свойства		передаточной	функции		F0 (s) и спектральных плот
ностей	(s) и ФХ2 (s), входящих			в ( I I I . 17), таковы, что функция
( I I I . 17) должна быть ограниченной,					что, между прочим, ясно и
из ее	физического смысла.

Функция комплексного переменного, аналитическая во всей плоскости, если она ограничена, должна обязательно быть кон

стантой. Поэтому ( I I I . 17)

можно

переписать

в виде

Фхг

= с.

(III. 18)

Ф;

J +

Покажем теперь, что эта константа с равна нулю.

Рассмотрим

для этого предел левой части

( I I I . 18) при | s| —* оо.

Спектральные

плотности

Фхх и Фхг

при

больших

значениях

|s|

ведут себя как

1 (..

ф +

И Ф ;

. . . . . 1

передаточная функ-

и, следовательно, <DXX

как — ^,

ция F0 — как константа,

оба

члена левой части ( I I I . 18) имеют

Поэтому при больших

порядок

При | s\—» оо левая

часть обращается

в нуль и, .еле

довательно, с = 0.

Таким

образом,

уравнение ( I I I . 18)

принимает

вид

Ф~

= 0,

откуда

Фхг

(III. 19)

Ф+

ф -

^ XX

Выражение (111,19) дает универсальный алгоритм

определения

передаточных функций любых стационарных линейных оптималь ных систем. Часто эта задача подразделяется на задачи прогно зирования, сглаживания, фильтрации, дифференцирования и т. д.,

однако в этом нет необходимости, поскольку любая из перечислен

ных задач решается по формуле			( I I I . 19); характер		задачи отра
жается лишь в виде выражения взаимной спектральной						плотности
Фхг	между фактическим сигналом на входе и идеальным					сигналом
на	выходе.
	В простейшем случае одной аддитивной помехи сигнал на входе
		х = т + п,				(III.20)
где	т — полезный сигнал; п — помеха на входе.
	Спектральная плотность Фхх,		соответствующая		выражению
(III.20), будет
		Фхх = Фтт + Фтп + ®пгп + ФПп-				(Ш.21)
	В том же случае, когда полезный сигнал и помеха не коррели-
рованы (Фтп =		Ф „ т = 0),
		Фхх=Фтт	+ Фпп.			(Ш.22)
	Желаемый	(идеальный) сигнал	на выходе	можно	представить
в виде		z = Нт,
		z = Нт,
где Я — оператор идеального преобразования				полезного сигнала

т на входе в желаемую функцию г на выходе. Например, в случае

фильтрации (сглаживания)

Я (s) = 1,

вслуяае дифференцирования

Н(s) = s,

вслучае интегрирования

Я ( 8 ) = 4 ,

в случае упреждения на 9 секунд (или других единиц времени)

			Н (s) = es e
и т . д.-
Взаимная		спектральная	плотность		Ф ^ по теореме	Винера—
Хинчина	будет
Фхг =		lim — М [xTzT]	= lim ~	М [(тТ + пт) Нпгт]		=
		= Я ( Ф г т п +		Ф„т ).		(111.23)
Если	полезный сигнал		и помеха		не коррелированы ( Ф ^ ?=
= 0),
		Ф^ = Ф т т Я .				(111.24)

Таким образом, при решении конкретных задач необходимо пользоваться формулой ( I I I . 19), в которую следует подставлять

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2511 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ