Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Так как дифференцирование выполняется по т, а интегри рование по 0, перепишем это уравнение в виде

Т	со
М (р) М* (р) J' G (т — 0) /г (0) dO = j ^		(т — 8) х (0) d0	+
+	s 7 ^ ч - « ; ( т ) .		(27)
	i = 0
Таким образом, нам	удалось вместо	интегрального	уравне

ния получить неоднородное дифференциальное уравнение по

рядка 2 к с постоянными

коэффициентами.

Общее

решение

дифференциального

уравнения

(27)

имеет

вид

f G (т — 0) /г (0) dS = V

Л,- т' +

в ; Л т

М - ' ( р ) М *

/ ? ш ( т - 0 ) х ( 0 ) г і 0 +

/?;((т)

0 <

т < 7\

(28)

где

Х,( — корни характеристического уравнения

М{К)М*

(X) =

Применяя к правой и левой частям выражения

(28)

опера

тор

L(p)L*(p),

на

основании уравнения

(26),

получим

2ft

v т

,.,

/г (т) = (^= 0

+ £

^-б"» (т)

V Dj 8{"

(т -

Г) -f- L (р) L* (р) Ж " 1

(р) М* -1 (р) X

ОО

Rm(x-Q)H(Q)dQ+Rl(T)

0 < т < 7 \

(29)

Дельта-функции

возникают

благодаря

действию

оператора

L(p)L*(p)

на

разрывную

причем

функцию

f G(T—Q)k(d)dd,

q=l—k—1.

Последнее

следует

из

свойств

корреляционной

функции.

В правильности

этого

суждения можно

убедиться, если под

ставить импульсную переходную функцию (29) в интегральное

уравнение (22).
В формуле (29) неизвестны коэффициенты Ai, Bit					и Dj,
которые	определяются	следующим	образом.	Подставляя	им
пульсную	переходную	функцию k(t)	из уравнения (29) в		инте
гральное	уравнение (22) и требуя,		чтобы оно	удовлетворялось

тождественно,			получим	2 I	линейных однородных уравнений для
Определения Л і, В{, Dj				И Ej.					k(t)
	Подставляя		импульсную переходную функцию							уравне
ния	(29)	в ограничивающие				условия	(15)	и (16),		получим
(/'+1) линейных уравнений.
	Решение 2 Z + r + І			алгебраических			уравнений		относительно
АІ,	В{, Ej	и Dj	позволяет		определить		неизвестные, входящие в
•формулу		(29).	Л,-, Bit	Ej	и Dj
	Подставляя					в формулу		(29),	найдем опти

мальную импульсную переходную функцию, удовлетворяющую •сформулированным выше требованиям. Аналогичным образом можно выполнить решение задачи и в случае, когда к системе приложено п воздействий. Перейдем к некоторым частным слу

чаям.								1
	4. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ОБЩЕГО
	РЕШЕНИЯ
	Из задачи, рассмотренной выше, при определенных
условиях можно получить известные результаты.
Остановимся			на	некоторых	характерных	частных случаях.
1. Задача		Пелегрена.						g(t) =
Найдем решение				задачи [34], в которой		воздействие		g(t) =
= 0.	Полагая	Сг = 0,		получим среднее значение квадрата ошиб
ки, определяемое выражением					(18).
При T-voo получим
		оо		оо		со
	г1=	1	* ( T ) d T 1 « f f l ( T - 0 ) x ( e ) d 8 - 2 i f				ft(T)dtX
	—со			—оо		О
	оо			со	со
X	Т #,»(т - Є)х(8)гі8 + f k(x)dx\[Rm(r-e)					+	Rn(x-Q)	+
	— зо			0	0

+ К (т - 6)] k (8) d6 + R*u (0) - 2 f R; (T) k (T) dr. (30) b

Интегральное уравнение (22) при Г-voo можно записать сле

дующим образом: 00

	С [Rm(x-Q)	+ Rn(x-Q)		+ R;i(x-Q)]k(Q)dB	=
'о		= f i ? m ( T - 8 ) x ( 8 ) d e - f ^ ( T ) .			(31)

		Ъ
На основании выражения (29) импульсная переходная функ
ция k(x)	может быть представлена в следующей				форме:
^ ) = Ц ^ ' + 2			^ б < ; ) ( т ) + 2 £ > / > 0 ) ( т - Т ) +
H-L(p)L*	(р)М-{р)М-Х(р)		j	/ ? т ( т - в ) х ( в ) й в	+ ^ ( т ) 1 . (32)

—СО

Для получения решения интегрального уравнения (31) не обходимо, чтобы lim k(x) = 0, тогда

Х-*-со

k(т) = V	В ; Є V +	V	(т) + L (р) L * (р) М~' (р) М*~1	(р) X
1 =	1	/=о
	X	J / ? я , ( т - 0 ) х ( Є ) г і Є + / ? ; ( т )		(33)

где Я; — корни уравнения М(Я{) =0.

2. Обобщение задачи Заде и Рагацини на случай, когда ко эффициенты ошибки известны.

Если предположить, что ц ( / ) = 0 , получим решение задачи, рассмотренной в работе [40]. В этом случае среднее значение квадрата ошибки (18), интегральное уравнение (22) и импульс

ную переходную

функцию

(29)

можно записать следующим об

разом:

f x(T)dr

Rm(x-Q)K(Q)dQ-2jk(T)dx

Я т ( т - Є ) Х

x (Є) d0 +

[ /г (x) dx f [tfM (T -

6) + R„

(T -

0)] ft (0) d0;

(34)

J [Rm

(T -

6) +

/ ? „ (T -

6)] Л (0) d0 = 2

Y/T '

i = 0

" RM(T-Q)x(Q)dQ,

0 < т < 7 ;

(35)

—со

k (x) = І

л,т«'

б / ;

+ І1

£ / 6

( / >

W + 2

D ; 6 (

/ )

(T - T )

,-=o

1=1

/=o

v=o

L (p) L * (p) M-1

(p) M*~'

(p) j

(T -

6) x

(0) d0.

(36)

Рассмотрим

систему,

»a

которую

действуют

управляющий

сигнал

g(t)

=ga+g\t

и помеха n(t)

с корреляционной функцией

(т) = №е~а

1 т

I .

Предположим также, что

Н (р) = Н0нНе

(р) =

Я 0

d p .

Находим: г = 1 ; к=0; /=1;

q=0.

L (р) L * (р) = а 2

— р2;

Л4 (р) М* (р) =

2а№

и,

следовательно, на

основании

формулы

(36)

можно

записать

k (т) =

А0

Лх т +

£ 0 б (т) +

D08

(т -

Г),

0 <

т < Т.

Подставив импульсную переходную функцию 6(т) в интегральное урав

нение (35),

получим

2A0N*

2A№XNH

+ ,

// _А0М№1

АЛ ^^2

\ ^ х

а 2

(

A0N*

At№T

А,т

\ _ в ( Г _ т )

—

— — N-D0

)е

= Vo + Тіт -

а 2

Рассматривая последнее уравнение как тождество,

находим

два

урав

нения для определения неизвестных Д0 , А\,

Е0

и D0 -

— — — £o = 0; — +

+ — — D 0 = 0.

a 2

Подставляя

выражение

A(0

условия

(15),

(16),

получим

еще

два

•алгебраических

уравнения

Я„ = j" [Д, +

Лгт +

£ 0 б (т) +

D0 S (т -

Т)]

dx =

А0Т +

£ 0

D 0 ;

т [Л„ +

Лх т +

£ 0 б (т) -£ D0 6

(т — Т)] d- — - | —

— ^ —

D„T.

Решая систему четырех уравнений, находим

4> =

4 Я 0 а ( а 2 Т 2 +

ЗаТ +

6а 2

( а 2

Т 2 +

6аГ +

12) (аГ +

а 2 Г 2

+ 6аТ + 12

„ О2

Т О2

і С _ . Т» I 1 л

Iг -

1 1

Т ( а

6аТ +

12) -'

- f 6 а Г + 1 2

2Я 0 аГ (аГ +

6 ( а Г +

( а 2 Г 2

6аГ +

12) {аТ +

Т ( а 2 Г 2 +

6аГ +

12)

2Я 0 аГ (аТ +

3) _

6 (аГ + 2)

( а 2 Т 2

6аГ +

12)(аТ +

• Сі •Т (а?Т- +

6аГ +

12)

Подставив значения Л0 ,

Л ь

£ 0 ,

в выражение (36), получим опти

мальную импульсную переходную функцию й(т).

Рассмотрим

перерегулирование в оптимальной системе.

Выражение

(11)

связывает

динамическую точность

системы

<;о временем переходного процесса Т. Покажем, каким образом, зная импульсную переходную функцию, можно связать динами ческую точность оптимальной системы еще с одним показателем качества — перерегулированием. Известно, что сигнал на выходе

линейной системы x(t)	связан	с воздействием g(t) и импульс
ной переходной функцией k{t)		соотношением
x{t)	=	\g{t-x)k{x)dx,

или, если положить g(t) = 1 [t], то
x(t) = f	1 (t — x)k(x)dx,	0 < ^ < Г .
'o

Последнее уравнение позволяет весьма просто найти вели чину перерегулирования в оптимальной системе. Для этой цели необходимо найти первый от начала координат максимум x{t). Так как импульсная переходная функция является производной от x{t), то следует приравнять k(t) нулю, найти наименьший корень и подставить его в выражение для x(t). Это обстоятель ство позволит определить максимальное отклонение x(t). Для определения перерегулирования а надо из максимального от клонения x(t) вычесть единицу. Этот путь позволяет без опре деления переходного процесса по оптимальным частотным ха рактеристикам найти величину перерегулирования.

Теперь рассмотрим ошибки оптимальной системы. Среднее значение квадрата ошибки системы определяется выражением (34). В ряде практических случаев т ( / ) = 0 , и тогда последнее выражение значительно упрощается. В этом случае интеграль

ное уравнение	(35)	и	среднее	значение	квадрата	ошибки (34)
сводятся к виду
] Rn	(х-0)	k (0) dQ =2 її*',			0 < т <	Г;
О				i = 0
	Є 2к =	]k{x)dx]		Rn (т —Є)А(6)</0.
		о	о

Из приведенных выражений при Я(р) = 1 получим

= То +	УА	-	у А + .	.	. +	Уг ( -	l ) r + 1	С,.
Составляющую	ошибки от воздействия					g(t)	можно записать
в следующей форме:
e,(0 = c 1 i ( / )		+	- f - g ( 0 +	•	•	• + -	^ ^ (	0 .

3. Задача Заде и Рагацини.

Если к условиям второго случая добавить еще дополнитель

ное требование в виде равенства нулю	коэффициентов ошибки,,
т. е. С{ = 0, то получим решение задачи	[67]. Для	данных усло
вий среднее значение квадрата ошибки	является	несмещенным.

Формулы (34) — (36) остаются справедливыми. Эту задачу можнб решить в более общем виде. Выше предполагалось, что ко эффициенты gi полинома, представленного формулой (5), из вестны. В том же случае, когда коэффициенты gi неизвестны, в. общем решении необходимо, чтобы среднее значение ошибки равнялось нулю. Это требование можно обеспечить, если поло жить коэффициенты ошибки СІ равными нулю. Преобразования

Лапласа для эквивалентных управляющего и возмущающего воздействий можно записать в виде следующих соотношений:

	P(s)	= H (s) [G (s) +	M (s)] -		W0 (s) U (s);
Q(s) = G (s) + M(s) + N (s) -				H (s) [G (s) +		M	(s)}.
Ограничивающие импульсную переходную функцию условия
имеют вид
# v =	( _ l ) v \|4v /e(T)rfT,		v =	0,	1, 2, . .	. , n — l;
		о
0 =	(— l) v (VA(T)dT,		v = n,n+l,.			.	. ,	r.
		b
Формулы	(17) — (29) останутся			без	изменения,		но	приобре
тут другой физический смысл.
Заметим, что в этом случае мы приходим к системе с аста
тизмом [г+1]-го порядка, реализация которой даже							при г = 1 мо
жет быть связана		с существенными		практическими			трудностями,

а требование точного воспроизведения любой функции данного

класса является	жестким	требованием, которое может	привести
к завышенным	величинам	среднего значения квадрата	ошибки.

В пятом параграфе рассматривается случай, когда мы распола

гаем о функции g(t)		несколько	более полными	сведениями.
4. Задача Винера.
Для	решения задачи, приведенной в работе [71], надо поло
жить #	( 0 = 0 , u(t)—0.	В этом	случае среднее	значение квадра

та ошибки и интегральное уравнение после устремления Т в бес

конечность запишутся следующим					образом:
ЕсК=		? K(x)dx	J Я т ( т —Є)х(Є)гіЄ—2J				й(т)<*гХ
		—оо	—со			0
со			со	оо
X j Rm (т -		9) х (0) dQ + j		k (т) dx j	[Rm (x -	0) +	Rn (x - 0)] k (0) d9;
—оо			0	0
Решение уравнения (37) найдем из формулы (29)								следую
щим образом.
При сформулированных выше ограничениях импульсную пе
реходную	функцию (29)			можно	записать	следующим		образом:
k(т)		= 2 S / ' T	+	2 £ /S ( / )	(т) + 2	Dj8U)	(х-Т)	+
		1 = 1		/=0	/ = 0
+	Цр)1{р)Г1(р)М*-1{р)				J	Rm(x-Q)n(Q)dQ.

—СО

Из	последней	формулы,	если	потребовать	\\mk{x)=0,	по-
лучим	решение	интегрального уравнения (37)
/е (т) = 5) В / < т		+ V Ej&U)	(т) +	L (р) L* (р) М - 1	(р) /И*~' (р)	X

X j / ? т ( т - 0 ) к ( Є ) г і 6 >

—со

где Яг — корни уравнения УИ(Я,(-) = 0.

Пусть к системе автоматического регулирования приложены воздействия m{t) и n(t) с корреляционными функциями ( т ) = — е - ' т ',/? „ (т) =С2 б(т) .

Найдем оптимальные импульсные переходные функции для различных зна чений оператора воспроизведения.

Здесь

(со) =

(со) +

S„ (со) =

1 + ,

С,

;

М (р) М* (р) = 1 +

С* -

С2р=;

L (р) L* (р) =

1 -

р«;

1 / 1

Пусть # ( р ) =

1; тогда к = 1 , / = 1 , g =—1.

со

А (г) = В ^ » *

L (р) L *

(р) М-1

(р) У И * - 1 (р)

-у

е~ | т _ 0

1 б (0) М

= Вге^

L (р) L *

(р) Л1-1 (р) М*~'

(р) у

ВіЄ^х

+ L (р) L * (р) у

е ~ т

В Х Л Т .

Подставляя й(т) в интегральное уравнение (37), получим уравнение для

определения JBI:

В ^ ' *

В ^ - *

В ^ *

2 ( 1 - Х х )

2 ( 1 + A J

2 ( 1 +

Отсюда

В 1 =

- ( 1 + Х

х ) =

l / l

С'2

— С

так как

В ^ ' * (

С2] \

Вхе, Л

1 + о

—C»Xf

В случае определения импульсной переходной функции, обеспечивающей

оптимальное дифференцирование,

Н(р)=р,

В (

определяется

из

уравнения

в*г*

2 (1 — Аа) —

2 (1 +

А,і)

(1 +

Яі)

•

Отсюда

С — V1 + С2

При определении импульсной переходной функции, упреждающей полез ный сигнал на / 0 секунд, неизвестный коэффициент находится из соотношения

Вхе Л it	В Д ' т			1
2 ( 1 - Л і ) - 2 ( 1 +	+ ТТГТТл	^ )	+	= "У	•
2 ( 1 - Л і ) - 2 ( 1 +	Хг) 4 - 2 ( 1 +	^ )

Отсюда

Вг == — е~'° (С — ] Л + С2 ) : С

Некоторая особенность имеет место при определении оптимальной им пульсной переходной функции системы, работающей в режиме интегрирова ния Н (р)— —

Здесь

k (т) =

+ L (р) L* (р) М - 1

(р) М*~'

(р)

соj

- | T - e i d e

= В1 е^'т +

L (р) Z* (р) М - 1

(р) М*

(р)

-j-

е~

Iх

~ 9 I dQ

: B i / ' T

L (р) L*(p) М - 1 (р) М * - 1 (р)

—

е~ 1 0 I d9 =

B i

e ^ T

СО

+ L (р) L*

(р) М - 1 (р) М*

(р)

^ +

(р) L*(p) М - 1

(р) М * - 1

(р) |^1 -

- у

е -

1 ] =

М Р ) L * (р) .1

^ т

+ С2—

і Є

С 2

•

J —J - " I

"Г 1

Подставляя найденную импульсную переходную функцию в интегральное

уравнение (37), получим уравнение для определения В+.

1 + Яд.

1 +

С 2

Отсюда

S i

С (С —1^1 +

С2 )

1 + С 2

С ( С - т Л + С 2 ) _

- .

(т ) =

Г + с г

~р і + С2-

Оптимальная	импульсная	переходная	функция		интегрирующей системы,
в отличие от ранее рассмотренных, содержит				составляющую
			со
L	(р) L* (р)7VJ-.	(р) Л4*~] (р)	j	- - г -	I ^ ° 1 rfO.

5. ОПТИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ ДЛЯ УПРАВЛЯЮЩЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Предположим, что на основной вход рассматривае

мой

системы поданы

управляющее

воздействие

y(t)

помеха

n(t)

(см. рис. 1). Кроме того, ко второму входу системы при

ложено возмущение

u(t).

Основное

отличие дайной

задачи от

рассмотренной выше

состоит

в том,

что

здесь

предполагается,

что

коэффициенты gi являются случайными, но имеют конеч

ные

заданные дисперсии

(см. например

[39]). Итак,

предпо

ложим, что

известна

корреляционная

функция

^''2

§JiJ =

2 Р'./^у.

где

i = 0

/=0

./=0

fr.i =

Mlgigj].

Для простоты предположим, что корреляция между сигна

лами

g(t),

m(t),

n(t),

u(t)

отсутствует. Тогда задача

формули

руется следующим образом.

Rn{t),

По

заданным

корреляционным

функциям

/?7 1 1 (т),

Ru(T:),

времени переходного процесса Т, оператору воспроизве

дения

Н(р),

корреляционной

матрице

р*,,- и передаточной функ

ции

WQ(s)

найти

импульсную

переходную

функцию k(t)

систе

мы так, чтобы среднее значение квадрата ошибки имело ми нимальное значение.

Согласно результатам, приведенным в § 2, преобразования Лапласа для эквивалентных управляющего и возмущающего

воздействий	могут.быть представлены						соотношениями
	P(s)	=	H	(s) [G (.5)	+	М (s)] -	WQ	(s) U (s);	(38)
Q(s)	=	G (s)	+	M(s) +	N	(s) -H(s)[G(s)		+ M (s)].	(39)

Используя схему рис. 3 и формулы (11), (18), (38) и (39), запишем ошибку воспроизведения и среднее значение квадрата ошибки системы:

оо со

є ( / ) = J [g(t — т) + m(t — х)] к (х) dx — [ u(t — x)&(x)dx —

— \ ig {t — t) + m{t — x) + n{t — x)] k(T) dT -h

b
+	f * (T) dx f и (і — т — a) b (о) da;
P 4 = у x(x)dx	J
	i, 1=0
X x (9) d9 — 2 Г k (T) dx і		2 Р л / С - ^ С - в у +	^Сс - е)	X
		і, /= 0
Xx(8)d9 + j"fe(x)dxj		2 рІ-,/^-х)Ч^-Є)'>і?т(х-в)Ч-
k (Є) йб + RI (0) + оЬ Wd T оJ ^ ( т -			0 ) Ь (Є) d9	-

- 2 f t f ; ( x ) f t ( T ) d x .

Решая обычную задачу вариационного исчисления на без условный минимум, получим следующее интегральное уравне ние:

][Rin(x-e) + Rn(x-e) + R'u(x-e)]k(Q)dB= J Rm(x-Q)X

X H(8)de + R'u	(x) + 2 Snx", 0 < x < T,	(40)
где	n=0
где
S„ = ( - 1)" 2 P'« ( - ] )'' I 6'x (6) d9 - ^		(41)
i = 0

=J6'A(e)de.-

Сопоставляя интегральные уравнения (22) и (40), замечаем, что они имеют один и тот же вид. Поэтому для спектральной плотности, записанной формулой (24), решение может быть представлено импульсной переходной функцией (29). Неизвест ные, входящие в выражение (29), определяются подстановкой формулы (29) в интегральное уравнение (40). Если в рассмат риваемой задаче положить u(r)=0, то получим частный случай, изложенный в работе [39].

Если g (t)=g0+git+g!>t2,	poo = 0 0 ; Рої = °;
Pu = со; р о а = 0; р и =	0 и Ри = - 7 і Rn (т) - е~а 'т 1 и Н (р) - 1 ,

<<< < Предыдущая 1 23 / 253 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ