Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

стоянии. Из формул (258) —(262) условием ограниченности дисперсии в установившемся состоянии (устойчивости системы) является

со

1 - С2 (• /е~, (6) dQ > 0. •b

4. НЕКОТОРЫЕ ТИПОВЫЕ СТРУКТУРЫ СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Практический интерес представляют два частных случая структуры системы со случайными параметрами.

1. Коэффициент усиления измерительного элемента системы является случайной функцией времени. Это имеет место, на пример, в системах автоматического сопровождения цели радио-

,a,(t)

A(t)

4(S)

о)

Рис. 10. Система со случайным коэффициентом усиления измерительного элемента: а—исходная; б — расчетная

локационных станции, когда амплитуда эхо-сигнала цели испы тывает случайные флюктуации.

2. Случайным является коэффициент усиления обратной связи. В этом случае эквивалентная структурная схема системы совпадает с эквивалентной схемой' системы, заданной диффе ренциальным уравнением со случайным коэффициентом при свободном члене.

Рассмотрим поведение статистических характеристик сигна лов системы в этих двух частных случаях.

Случайный коэффициент усиления измерительного элемента. Структурные схемы исходной замкнутой и эквивалентной си стем могут быть представлены, как показано на рис. 10. Обо значим передаточную функцию замкнутой системы с постоян

ными	параметрами	[А(1)=А]	через	Ф(5),	которой	соответ
ствует	импульсная	переходная	функция	k(t).	Найдем	выраже
ния для всех импульсных переходных функций kpg(t),						входящих
в формулы, выведенные в предыдущих				разделах, т. е.

ф (s) = М ' « WГ ° & = ф (s);

kxm (0 = k (/);

° - (	s	) =		. + ^ ( s ) ^ . ( s ) =	1	- ф (	д ) ;	* - « = 6 « - * ( 0 ;
ф - (	s	)	=	і/;Гм4а ) м =		- г ф	( s ) -	* * « (		/ ) = т / г ( / ) :
				1 + A\VK (s) W„ (s)		Л				А
Ф„« (s) = -				Ф.П, (s) = - -j	Ф (s);			^ „ (0 =	-	- у ^ (0;
										(263)
Ф,„, (s)			=			№0	(s) — Ф (s) №0		(s);

- U	" W	1 +	ЛЧ7К (s)	W'/„ (s)	•
	=	b(t)—	f /г ( / - a )		6 (a) da;
			b
фв „,	(S) =	- Ф,„, (s) =		Ф (s) IF0 (s) -

o W

U70 (s);

(0 =

I' k (t — a)b

(a)

do-b(t),

где

b(l)

—импульсная

переходная1

функция,

соответствующая

передаточной

функции

W0(s).

При

этих значениях

kpq(t)

уравнения

(220) — (222)

для

ис

следуемых

сигналов

можно записать

следующим образом:

х (/)

тх (/) + -vc (/) -

\ [g (Є) +

т (6) + п (0)1 k (t -

Є) d0 +

f «i (0) b{t

— Q)dQ—\k(t

— a) do\щ

(0) b (0 — a)

+ _ L fa (0) [ m e

(0) + V c

(0)]ft(f _

0) dO;

є (/) =

(0 +

e, (0 = #(/) +

m (0 -

[g (0) +

m (0) •+ л (0)] ft (t

•0)d0 — {u1(Q)b(t

— Q)dQ+

\k(t

—

o)do\ul(Q)b(Q

—

o)do

—

_ _ L f a (0 ) [ m

(0) +

V e

( 0 ) ]

ft (f

0) dQ;

f (0 =

(0 +

(0 =

g (/) +

«г (0 +

n (/)

— I' L? (0) +

m (0) + и (0)1 A (* — 0) ^0 — f " i

(0) b(t

— Q)dQ +

for

+\k(t—o) da |'«1 (0)b(0— a)dff — b b

- - і -	f a (0) [ < (0) -f- vc	(0)1ft(f - 0) dQ.
л	о	'.\

Теперь, считая приложенные к системе случайные сигналы стационарными, воспользуемся формулами для определения

статистических

характеристик

выходного

сигнала

системы

x(t}

и е(/)

при значениях

Ф ^ я )

и kPq(t),

определяемых форму

лами

(263).

Средние значения сигналов

согласно

формулам

(223) — (225).

при ii\(t)

—0 в данном случае

равны

mAt)=\g(*)b(t-B)dQ

- i -

f R a v

(В, Є)ft(t -

0) dB;

(264>

те

(/) =

m, (t) =

g(t)-\g

(0)

k(!-Q)dB-

'о

— — $Raoe(Q,

B)k(t

— B)dB.

(265>

Начальная

ордината

корреляционной

функции

R a v (t,

t)\

входящая в формулы

(264) — (265),

на

основании

соотноше

ния

(234), определяется

интегральным

уравнением

RaVc(t,

і) = Rma

(0) +

Rna

(0) -

{[Rma (t-B)

+RHa{t-Q)]k(t-B)dB-

j -

f £Г (в> /?Л (/ — в)

ft — в)rf6H-

A о

4 "

fRa (t~Q)Ht-

0) dB] g (V) ft (0 -

V) dv

+ ~ \ R a ( t

— 6)k(t — Q)dQ}Rai,c(v,

v)ft(0 — v) dv.

(266>

Преобразование

Лапласа

для выражения

Ravc

(t, t) в соот

ветствии с формулами

(235),

(266) равно

—

IRma (0) +

R,la

(0) -

F (s)] _

- і - с (s) У (s) [1 -

Ф (s)]

SaVc(s) =

-і

, (267)

l -

—

<b(s)Y(s)

где S a „ c ( s ) ;

/^(s); G(s); Y(s) —преобразования

Лапласа,

соот

ветствующие

фуНКЦИЯМ

времени

Rav (t,

t)\

f{t)

— [Rma{t) +

+Rna(t)]k(t);

g(t);

y(t)=Ra(t)k(t)

при

t>0.

Подставляя соотношение (267) в формулы (236) — (237), по лучим следующие выражения для преобразований Лапласа от

средних значений выходного сигнала x(t)								и	ошибки s(t):
	Мх	(s)	= G (s) Ф (s) 4-		- L	SaVc	(s) Ф (s) =
G (s) Ф	(s) 1 -	~	У (s)l + - f - [Rm,,		( 0 )	-!-	Rna	(0)	-	F (s)J Ф (s)	(268)
=		±		™						;	(268)
M e	(s) =	Mv	(s) =	С (s) [ 1 -	Ф (s)]			L 5 e P		(5) Ф (s) =
								/1	c
	С (s) [1 — Ф (s)] — — j — [/?„w				( 0 )	+ Я м		( 0 )	-	F (s)] Ф (s)
=			:	™						.	(269)

l - j I ' W l ' l s )

Перейдем к определению дисперсий случайных составляю

щих

сигналов

x(t),

z(t)

и(/)

исследуемой

системе. Дис

персия выходного сигнала на основании

формулы

(231)

имеет

вид

t) 4- ЫЪс

(270)

RXc

(/, /)

= Rx,

[t,

{t,

t),

где

Rx.

\k(9)

d9 f [ Я я

(9 -

v) + R„

( 9 -

(9 -

v)] k (v)

dv +

(f,

0 -

2 f R'Ul

(0) ft (9) d9J

(271)

A/?,

(/,

9 = 4 - 1 *

W d Q

1 m *

- 6> [R™

( 9

~ v> +

R™ ( 9 ~ v ) l X

Xft(v)dv4--ir ]7e(9)d9 f [ m e ( / - e ) m e ( * - v ) f l 0 ( e - v )

4- Ra

(0 - v)

/?„с (/ -

Є, / -

v) 4- /? W e

(* -

/ -

v) ^ a

(t-Q,

t-v)] X

*(v)dv;

(272)

R'Ui

(t,

*) =

J 6(6)d9 \RUt

( 0 -

v)&(v) dv.

(273)

Учитывая соотношение (232), запишем дисперсию сигнала ошибки

Яес V, 0 = Re. (t, 0 + &Rec (t, і),

(274)

где

О =

Кп (0) +

Я*. (Л О -

2 (Я,„ (8) ft (0) d0;

(275)

AR«

(t, t) =

ARX

(t,

t) -

Ґ me С -

8) Ram

(0) /є (0) d0.

(276)

(

уравнения

(270),

(272),

(274)

(276)

входит

корреля

ционная функция Rv {t, х), которая в

данном случае

на

осно

вании интегрального уравнения (233) принимает форму

Rvc

((,

т)

(t -

т)

RJt-T)+

\ ft (0)

dQ][Rm(t-Q-T+

v) +

/? „ (t -

0 -

T +

v) [ft(v) dv -

({Rm

(t -

x +

v) +

R n (t

- f

v)] ft(v) dv-

(* - T

0) + Ra(t-x-0)]

(0) d0

f k (0) d0 } R'Ui

(t — Q, x — v) ft (v) dv - I

Rlt

(/,

T) —

f Rn, (/,

- v) /г (v) dv -

f <

x) ft (0) d0

—

L ] , П г

( т _

v) [Ram

( t - x +

v)+

Ran

( / -

T +

v)] ft (v) dv

1' me

(t -

0) [ Я и в

(f -

x -

0) +

Ran

(t -

x -

0)] ft (0) d0

_Ljft (9) d 0 } m „ ( * - v) [Ram

(

0 + v) +

Ran

(t-т

- 0

V)]ft(V) d.V +

(0) d0 ] /72. (t -

0) [ £ m e

(* -

T -

0 + V)

+ R„a V ~ T - 9

+ V )l * (V ) d v

+ 4 r f/ 2

d 0

І" №v V - Є ) X

X ^ ^ - ^ ^ J ^ - T - e + ^ + ^ J ^ - T - O + v) RVe(t

— Q, T - V ) +

+ Л в в е ( * - 8 , ^ - v ) ^ a ( ^ - 0 ,

T - V ) ] f t ( v ) d v .

Теперь определим взаимную корреляционную функцию. На основании формулы (228) имеем

R a v	c (t, г) =	R a m	(0)	+	Ran	(0) -	f [Ram		(t-T-B)+	Ran	(t -
							b
	— T — 6)] k(0)		d9	— —		f me(t—Q)Ra(t			— x —	Q)k(Q)dQ.
					A	о
Приведем		решение			интегральных				уравнений	для	некоторых
характерных		случаев.
На	систему действует					только		заданная функция			времени.
В этом случае на основании формулы (269) среднее											значение
ошибки имеет вид
	mE(t)	= L-1[Me(s)]				= L -		0 ( 5 ) [ 1 - Ф ( 5 ) ]			(277)
	mE(t)	= L-1[Me(s)]				= L -	1				(277)

l-~0(s)Y(s)i

Если в установившемся состоянии ошибка в системе с по стоянными параметрами является постоянной величиной т&а , то среднее значение ошибки в установившемся состоянии в си стеме со случайными параметрами определяется следующим образом:

lim те (t) — tnE = 1 іm sME (s) =	^	(278)
	І _ - і - Ф ( 0 ) К ( 0 )

мли

« . = —

1 —

где

mE o

	—	^	'	( 2 7 9 )
—7Г \		Ь (a) da \	Ra(Q)k(Q)dQ
л	b	b
=	IimsG(s)[l—cp(s)].
	s-<-0

Это имеет место, например, когда заданная функция вре мени g(i) может быть представлена полиномом степени г, а система является астатической v-ro порядка, причем v = r. Если Л->Л то тг =0 и, следовательно, /пе = 0.

установившемся

состоянии

при гпе = const

случайный

сигнал xc(t)

=—Ec(t) =vc(t)

становится

стационарным,

при

этом

интегральные

уравнения

(231) — (233)

сводятся к одному

урав-

• нению, имеющему следующую

форму:

R*c

k@)dQ\

Ra(x

Q-v)k(v)dv

А- о

+ - 7 Г І 'кФ)<®1

( T + 0 - v ) £ ( v ) d v

со

" I T

J k

d Q J R°*c

+ e -

v ) R*ea

(T + 0 - v) & (v)

dv,

(280)

где

R„Xe(T)^-^meJ	Ra(x-Q)k(d)dQ.
A	о

Интегральное уравнение (280) по форме напоминает ин тегральное уравнение Фредгольма второго рода, но имеет ряд особенностей; неизвестная функция стоит под знаком двойного интеграла типа свертки; она представляет из себя корреляцион ную функцию на интервале — о о ^ т ^ о о ; искомая корреляцион ная функция Rv (т) умножается под интегралом на известную корреляционную функцию Ra(x). Наибольшие трудности при ре шении уравнения возникают вследствие последней из указанных особенностей.

Рассмотрим вначале возможный способ решения уравнения (280), основанный на частотных представлениях. Если извест ной корреляционной функции Ra{x) соответствует дробно-рацио нальная спектральная плотность Sa(s), то можно показать [49], что интегральное уравнение (280) в области комплексной пере менной запишется в виде алгебраического уравнения следую щим образом:

		2
S'c Ф	=	Ф	(*) Ф		5 « <S) +		Ф	( S ) Ф	< - S> * Ч ® •+
		- f	± Ф ( 5	) Ф ( 5 ) У 4 ^ з Х				е ( ! - 5 к ) ,		(281)
			л-		и	(sK)
					к=1
где
			SllXc(s)^L[RaXc(i)RXca(t)\;
				SXc(s)	=	L[RXc(t)];
A(Sh)—числитель				Sa(s)	при s =		sK;
B'(sK)	— произвольная знаменателя Sa(s)								по s при s =	sK;
sK—		корни уравнения В(зк)				=0.
Точное решение уравнения (281) затруднительно вследствие
смещения	в	комплексной			плоскости		функции SXc(s—sK).			При

ближенное решение может быть получено, например, путем раз ложения этой функции в ряд.

Если решаемая задача позволяет ограничиться отысканием дисперсии сигнала xc(t), т. е. отысканием Rxc (0), то оценка может быть получена путем приближенного представления [38] преобразования Лапласа от произведения двух функций в сле дующем виде:

L[Ra(t)RXc(t)]~sSa(s)SXc(s);

тогда

-1—	Ф (s) Ф ( - s) [mf S„ (s)+S„.C c (s)]
S*c (s) = —	•
	l - ^ - < K s ) H ( - s ) S , W

Представляем числитель и Ф(5)Ф(—s)5a (s) в виде суммы простых дробей и сохраним в Sx (s) только те члены, которые содержат корни, лежащие в левой полуплоскости комплексного

переменного s; результат	обозначим		5 *с	(s). Отыскание Rx (0)
производится с помощью предельного перехода
lim Rx	(т) =	lim sSx		(s).
T-+0	c	s-*co	c

Перейдем теперь к изложению возможного способа решения интегрального уравнения (280) в области времени, который позволяет оценить дисперсию сигнала xc(t). Предполагая, что S„(s), cD(s) и Sx (s) являются дробно-рациональными функ циями s, решение будем проводить следующим образом.

Определяем корреляционную функцию Rv (т) по формуле

	Rv(x) =		— М k(Q)dQ\		Ra(x	+ Q — v)ft(v)dv		+
			л 2	о	о
	1	оо	со	RaXc(x+Q-v)RXca(T		+
+	4 r f	k(Q)dQ\		RaXc(x+Q-v)RXca(T		+	0-v)k(v)dv.
	А "	'о	о
В большинстве случаев Rv					(т) имеет вид
					1=1
Подставляем			в	интегральное		уравнение	(280)	функцию
ЯА.с (т)	в виде
				Я,-С (т) = 2				(282)

где коэффициенты ВІ являются пока неизвестными.

Полученное соотношение будем рассматривать как тожде ство, из которого определим систему нз п алгебраических урав нений относительно неизвестных ВІ.


Решая систему а уравнений, находим				коэффициенты
Дисперсию сигнала	хс{1)	определим		подстановкой	найден
ных коэффициентов ВІ в формулу (282)			при т = 0 .
На систему действуют только стационарные случайные вход
ные воздействия m(t)	и n(t).	Если входные сигналы			коррелн-
рованы со случайной	составляющей		коэффициента		усиления

o.(t), то среднее значение выходного сигнала не равно нулю. Согласно формулам (268) — (269)

Mx(s)	=	-Me(s)
-J- IRma	(0) + Rnn	(0) - F (S)] Ф (S)
Mx (s) = —		.	(283)

- Ф (s) Y (s)

Если же in(t) и п(/) не коррелированы с a(t), то средние значения сигналов x(t), є(/) и v(t) равны нулю.

В рассматриваемой системе в установившемся состоянии среднее значение выходного сигнала .v(^) является постоянной величиной,

- J

(0)

+ Rna (0) -

(0)]

Ф (0)

/nv = lim т ґ (t) =

lim s Mx

(s) =

•

л-

(284)

или

-Г

Una (0)

+ Rna (0)

I' lRma

(Є)

Я,І а

(9)] A (0)

del

/г (о) da

[

I b

/7ZV

'і" A (a) da 0\

(0) k (0) d0

(285)

Случайные составляющие сигналов xc(t),

zc(t)

и vc(t)

в уста

новившемся

состоянии

являются

стационарными.

Уравнение

(270) для корреляционной функции выходного сигнала можно

записать следующим			образом:
	со	со
RXc	(т) - f	k (a) do J	[Rm (T+o-Q)	+ Rn(r + o-Q)] k (9) dQ -
	b	b
I	CO	CO

— 4 " M ^ ) < M ^ a m ( ^ + <7-0) + ^ a „ ( T + ^ - 9 ) ] / e ( 0 ) d 9 -

Л	о	b
1r	m J	fc(<r)da f [Rma ( т + a - 0 ) + Л я в ( т + о - 0 ) ] k (9) d0 +

оb

1	CO	CO
+ 4 " 1	о	^ j ' К ^ ^ т	+ а - 9	) + ^ ( т + < 7 - 0 ) ^ с ( т +
"	о	b
+	a -	0) + Rav^ (t +	o-Q)	RVca (т + a - 8)] ft (9) d8,	( 2 8 6 )

т. є.

а корреляционная функция сигнала ошибки [формулы (274)—

(276)]

будет иметь

вид

Яе ,(т) =

ЯЄ 0 (т) + ДКЄ с (т),

где

со

Reo

(т) =

(т) +

Rxo

(т) -

Ї Rm

(т + 6) ft (В) dQ

_ f # m ( T - 0 ) f t ( 0 ) d 0 ;

AREc

(т) =

ДДЛ .с

(т) +

со

6) ft (9) d0

'о

( т +

СО

Rma(r-Q)k(B)dQ.

уравнение

(286)

входит

взаимная

корреляционная

функ

ция Rav (х), которая согласно формуле (227)

определяется

следующим

образом:

со

Rave

(*) =

# e m

W + Ran W ~

J Wan (* ~ Є)

6)].ft (6) dQ +

Я а

( т -

f яп

(x — 8) ft (0) d8.

Корреляционная

функция

(x)

сигнала yc (0> входящая

в А/?*

(т), определяется

интегральным

уравнением

RVc

СО

(т) = Я * (т) +

Я„ (т) +

j ft (a) dcr} [ Я и (т + а

в) +

+ Rn(t

°-Q)]k(Q)dQ-llRm(t

Q) + Rn(t+mk(Q)dQ-'

[Rm

(х -

9) +

R„ (т -

0)] ft (8) d0

+ - T - 1 ^

e ) +

Я в Л (* +

o)]ft(B) ^0

~ - j'

1 Я в т (t -

в) +

Я а

(т -

0)] ft (0) d0 -

Г X

Ran

(x + о -

X ft (0) <fo f [Л

в І В

o- -

0) +

0)] ft (9) d9

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ