книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

Для определения

(.to и

jib

используя

формулу

(80),

запишем

со

1 = , H 0 j V « e d e

=

о

со

со

- Сх = - И 1 j' е~ав

dQ - цо j &е-ав

dB = - - ^ - - - ^ Но-

о

о

Отсюда

Но = а;

Ці = c i a

— 1 •

Определив

Но и Hi, подставляем

импульсную

переходную

функцию в ог­

раничивающие условия

(79)

и

находим

еще два

уравнения

А Т2

+ £ 0

+

D 0 ;

Сга-1

А Т"

АлТ3

а = А0Т+-^—

= - ^ —

+ — і — + Ц,Г /

Решая систему четырех уравнении, получим

4 а 2 ( а 2 7 2

+

ЗаТ + 3)

(Сх а — 1) 6а 2

( а 2 Г 2

+

6аГ +

12) (аГ +

2)

( а 2 Г 2 + 6аГ +

12)

Лі

ба»

(Сісс — 1) 12g2

~

а 2

Г 2

+ 6 а Г + 1 2

+

Т (а-Т2 -\- 6аТ +

12)

'

2 (2д2Г2

+

9схГ +

12) а

( d « — 1) 6 (аГ +

2)

_

:

( а 2 Г 2

+

6аТ +

12) (аГ +

2)

~

Т {а-Т-

+

баГ + 12)

'

2а 2 Г (аТ +

3)

, ( C T K —

1) 6 («Г +

12)

~~ (а 2

Г 2

+

6аГ +

12) (аТ +

2)

~ г

Г (а 2 Г 2

+

6аГ +

12)

Подставляя

А0,

Ah

Е0

и D0

в функцию

k*(t),

находим

оптимальную им­

Теперь предположим, что g{()=go;

Я т ( т ) = 0 ;

Rn(r) =№б(т); Н(р)=Нв(р)

=

= 1, а импульсная переходная

функция

ч ч

А + Р

Р

ч

принадлежит

неминимально-фазовой

заданной

части,

так как соответствую-

1 — fis

щая ей передаточная функция W0(s)

=

.

В данном

случае

1 +

as

3.

Наконец,

предположим,

что g(t)=0

и

и ( 0 = 0 .

В данном случае среднее значение квадрата ошибки опре­

деляется

формулой (86) при

Т=оо,

а интегральное уравнение

принимает форму

со

/

f

со

„

I

[Rm (т - 6) + #„ (т -

6)] k* (8) d9

=

j ' Rm

(т — 9) х (0) d6.

(89)

О

—со

Его решение

можно

записать следующим

образом:

A*(T) = 2 B |

e

v +S £ / б < / ) <*) +

1=1

у= 0

+

L (р) Z* (р) М - 1

(р)М* - ' (р)

j

R'm

(т -

0) х (0) d9. .

— 00

.Полагая,

что

(т) = е ~ й

1т

' ,

R„ (г) = С2 б (т),

Н (р) = 1 и №0 (s)

=

1 — ps

Ь(х, =

1 ± ї - в " ' - і - в

( т ,

, находим

1 - f

vs'

1 т I

1 — B 2 a 2

(Y2 — P2 )

v~

Спектральная плотность

5 Т (со)

[2а + С 2

(сі2 + ы2)1

(1 + Р2 м2 )

(о2 -}-со2 ) (1 + Y 2 « 2 )

ф

лфтоэтому

і .

»

і = —

l'C2 cz2 + 2g

1 .

<7 = — 1 .

л

g

; л, = — - р - •

,/И (р) Л1* (р) = [2а + С 2

(а 2

- р2 )] (1 -

В2 р2 ); L (р) L * (р) = (а 2

— р2 ) (1 - у2 р2 )

Тогда

k* (т) = Вге^х

+ В2е%'-Г + 1 (р) L * (р) М-г (р) ЛІ*"1

(р) Х

СО

X J

е-«(т-Є) б (0) d6 = В і Є * - т + В2 е*"\

где

На основании схемы рис. 4 и формулы

(76)

можно

пред­

ставить

ошибку

воспроизведения системы в

следующем

виде:

6 (0 =

Я (р) [g (і) + т (01 -]u{t-x)b

(x) dx

-

T

b

со

— x — Q)]b (0) dQ +

— J k* (T) dx { [g(t — r — Q) + m(t — x — Q) + n(t

-

T

CO

CO

(90)

f k* (T)

[ 6 (0) d0 j1 u (f — T — 0 — 0 ) b (a) da.

"о

b

b

Пусть

среднее

значение

ошибки равно нулю,

тогда

со

Т

со

— T — 6)6(8)d9.

(ftl)

j

— T ) x ( t ) d r =

[ k*(x)dr

f

С учетом

формулы

(45)

выражение

(91)

можно

переписать

в виде

j* 2a - P v

г

У

S а Л P -

9) 6 (T) d0 ,

V ~ T ) * (T)d T =•• J ** Wd x I

T -

—оо v = 0

0

0 v = 0

(92)

или для класса функций

(47)

имеем

оа

п

г

Т

со

п

і

2 a

v S

&д (т) ^ (0 *(т ) dx = J /г* (т) dx j

V av X

—со v = 0

ц = 1

0

6 v=0

X

У,

bl(x)Vl(t-Q)b(Q)dQ.

(93)

n=i

Если

рассматривать

уравнение

(93)

как

тождество,

то оно

определяет

(п+1)г

ограничений,

накладываемых

на

импульс­

ную переходную функцию

<& =

]bl{x)k*(x)dx,

(94)

'о

'

v = 0,

1,

2,

. .

. ,

п;

р, = 1,

2, .

. .,

г,

т

{x)k*(x)dx,

тем решения системы уравнений относительно f b~^

'о

получаемой из тождества (93).

С учетом ограничений (94) ошибку воспроизведения можно

записать в форме (81), а среднее значение квадрата

ошибки —

в виде (82).

рата

ошибки

и

одновременно

удовлетворяющей

ограничиваю­

щим условиям

(94). Для этого определяем минимум

выражения

(50). Придавая импульсной переходной

функции

k*(x)

вариа­

цию

Дт)*(т),

а

затем

выполняя

операцию

=0,

полу-

чим интегральное

уравнение

дД

д=о

] [R'm

(т — 9) +

R'n (т, -

0) + R'u ( т - 9)] k* (0) d9 = 21 І ^

^ W +

0

V—0 JJL=1

+

R'u (т) +

J Я,» (т -

9) х (0) d6,

0 <

т <

Т.

(95)

—со

Корреляционные функции, входящие в интегральное урав­

нение (95), определяются по формулам

(84).

Решение интегрального уравнения, если спектральная плот­

ность

5 Ф (со)

имеет

вид формулы

(24),

можно

записать сле­

дующим образом:

,

k* (т) =

п

г

2к

q

V ' у>

Al bl (т) +

2 В, e%ix

+ v E

j

6<'> (т)

+

V = 0 | X = 1

l'=l

;'=0

+ 2 £>/ б ( Л (* - Л + L (р) L * (р) М - 1 (р) М * - 1

(р) X

X

j

/?m ( T - e ) x (8)d9 + /?L(T)

0 < т <

Т.

(96)

Определим

неизвестные

Лц,

5,-, £3- и Dj. Для этого

по за­

данному оператору Я ( р ) , импульсной

переходной

функции

Ь(х)

находим ограничения (94).

Пользуясь формулами (19) и (84), определяем Rm'(x),

R'n (т),

Ru'(x),Rn"{x),Ru"{*)-

(96), записываем импульсную

пере­

Пользуясь

выражением

ходную функцию k* (т).

Подставляя

импульсную

переходную

функцию

(96)

в

огра­

ничивающие

условия

(94)

и

в интегральное

уравнение

(95),

получим 21-\-(п+

\)г

линейных

алгебраических

уравнения.

Решая систему

21+ (п+\)г

уравнений, находим

неизвестные

Л^, Bi, Ej и Dj

и

подставляем

их

в

импульсную

переходную

функцию k* (т)

(96).

В

заключение

данного

параграфа

рассмотрим

особенности

определения

оптимальной

импульсной

переходной

функции

k*(x),

если

заданная

функция

времени

может

быть представ­

лена в форме (55).

Для данного случая на основании

расчетной

схемы

(рис. 4)

и формулы

(76)

ошибку

воспроизведения запишем

в

форме

среднее значение квадрата ошибки — в виде

выражения (82).

Далее решается обычная вариационная задача,

позволяю­

щая найти импульсную переходную функцию

k*(t),

обеспечи­

одновременно

удовлетворяющую

ограничивающим

условиям

(64). В результате

ее решения получим интегральное уравнение

f [Rm (т -

6) +

R'n (т -

Є) +

R'a

(х- Є)] k*

(Є) dQ =

b

r

I

t e

1

C ° S

x

+ 2 2

Tv

e ~ ' s i n ( 0 - T

+

-Hi

S

®i

v=0

; = 0

v=0

i=0

+ Ru(x)-\-

j ' Rm(x-Q)%(Q)dQ,

0 < т < Г .

(97>

CO

Интегральное уравнение (97) имеет решение

й*(т)=

2

2 4Tv e~a i T cosu),-T

+ 2

2 ^T v e ~ e ' T s i n a ) i T

+

t=0 v =0

i=0

v=0

+ V

Bt

c V

+ 2

6( / )

(T) +

2

60 >

(x-T)+L(p)

L * (p)

X

i = l

/ = 0

/ = 0

X M - i

(p)M*-'(p)

/?« (т —Є)и(Є)гіЄ

-i-

# в (т)

0 < T < 7*.

Путь

определения

неизвестных

А1Ч,

А^,

Ви

Ej

и

£>j

оста­

переходную

функцию &*(т), если на систему действует сигнал

g(t) вида

(45) или (55), а система имеет две точки приложе-

- Є + T l ) х (9) dQ + )' k* (т) dx

J [#,'„ (T -

9) +

R'n (x - 6) +

R'„ (x -

b

о

- 9)] ft* (9) dQ -!- &

(0) - 2 f &

(T +

T , ) ft* (T) dx.

(102)

b

] [Rm (т -

9) +

R'n (х -

0) +

R'„ (х -

9)] /г* (9) dQ

=

о

=

^ytf

+ R'u

(Т + Т 0

+

1 = 0

J'

Rm(x

— 9 + T1 )x(9)d9,

0 < т < 7 \

(103)

ft* (х) =

V

Л,т' + 2 5,

е?-'х + 2

(т) + J] D; . б( / > (т -

Т) -Ь

1=0

1 = 1

/=о

/=о

+

L(p)L*

ф)М-і

<р)М*-1(р)

j

і? т (т — в +

Tj) X

—CO

X

х (9) d9 +

(т + T l )

0 < т < 7 \

(104)

Порядок

определения

неизвестных

Л,, В І, Ej

и

Dj остается

прежним.

Из формул

(102) — (104) видно, что

среднее

значение

квад­

щего решения.

1. Если положить u(t)

=0,

то

г'ск

= j '

х (т) dT j

Rn

(х —

9) х (9) d9 — 2 \ ft* (х) dx

X

—со

—со

0

со

„

'

т

т

(т - 9)

+

X ]

Rm (т - 9 + T j х (9) dQ +

J А* (т) dr j

+

R'„(x-Q)]

ft*(9)d9;