книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех
.pdfRn(t, |
т). Система должна |
наилучшим |
образом |
воспроизводить |
||||||||
управляющий |
сигнал |
y(t)=g(t) |
+ m(t) |
и |
подавлять |
помеху |
||||||
n(t), |
Под наилучшим |
понимается такое |
воспроизведение, |
при |
||||||||
котором |
сумма |
квадрата |
динамической |
ошибки eg и дисперсии |
||||||||
ошибки |
г2сл |
с некоторым весом K2(t) в каждый |
момент |
времени |
||||||||
имеет минимум, т. е. в качестве критерия |
качества |
системы |
||||||||||
управления |
принимается функционал |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
J(k) |
= el + V^A. |
|
|
|
|
(415) |
|
k(t, |
Требуется |
определить |
импульсную |
переходную |
функцию |
|||||||
т), |
минимизирующую |
этот |
функционал. |
Раскроем |
выра |
|||||||
жение (415). Имеем
о
|
%л (0 = т |
(0 - |
\ [т (т) + |
п (х)] k (Л т) dx. |
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
Возводя |
последние |
выражения в |
квадрат, осредняя |
е|_, (t) и |
|||
подставляя |
в функционал |
(415), считая Rmn(t, |
x)=Rnm(t, |
х) = 0 , |
|||
M[n(t)]=0, |
получим |
|
|
|
|
|
|
J = g4t) |
+ |
\4t)Rm(t, |
t)-2l[g(t)g(x) |
+ |
r-(t)Rm(t, |
т)]Х |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
X |
k (t, |
х) dx + |
Ц {g (8) g (x) + |
V (t) [Rm |
(x, 6) + |
|
|
о0
+R„(T, Q)])k{t, Q)k(t, x)dxdQ.
Минимизируя это выражение относительно k(t, |
х), |
найдем, |
||||||||
что необходимое и |
достаточное |
условие |
минимума |
|
сводится |
|||||
к тому, |
чтобы |
k(t, |
х) удовлетворяла |
интегральному |
урав |
|||||
нению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
{g(Q)g |
(т) + |
W (t) [Rm (х, 0) |
+ R„ (т, |
8)]} |
k (t, |
9) dQ |
= |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= g®gW+W®Rm{t,x), |
|
|
t>x, |
|
|
|
|
|
Это — параметрическое интегральное |
уравнение |
|
Фредголь- |
|||||||
ма первого рода. Решение такого уравнения |
может |
содержать |
||||||||
б-функции и вызывать поэтому |
существенные |
трудности при |
||||||||
практической |
реализации. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть функционал / может принимать в каждый |
|
момент |
||||||||
времени заданное допустимое значение |
|
|
|
|
|
і |
||||
J |
+ |
= о (ft. |
В качестве функционала сложности примем следующий:
N = [ /г2 (t, г) dx.
о
Таким образом, определение импульсной переходной функ ции, обладающей минимальной сложностью относительно функционала N и доставляющей функционалу / заданное зна чение, сводится к решению следующей вариационной за дачи:
mmJ, (k) = J{k) + \iN(k).
Пользуясь приемами вариационного исчисления, получим не обходимое и достаточное условие минимума в виде параметри ческого интегрального уравнения Фредгольма второго рода:
С, *) 4- J \g (9) g W + |
w (0 \.Rm |
Q) + Rn (T, 9)]) k (t, |
6) dQ = |
~g(t)g® |
+ V(f)Rm(t,T), |
І>Г. |
(416) |
Если правая часть этого уравнения представляет собой огра ниченную функцию, то и решение будет содержаться в классе ограниченных функций, т. е. не будет содержать б-функций.
Пусть теперь в составе входного сигнала отсутствует случай ная составляющая полезного сигнала и помеха. Тогда инте гральное уравнение (416) примет вид
4)+{gQ)gWk(t, |
Q)dd = g(t)g(x), |
t>x. |
о |
|
|
Это — интегральное уравнение с |
вырожденным ядром. Его |
решение имеет следующую форму: |
|
g ( ; ) g ( T ) |
, t > r . |
u. + J V ( T ) dx
0
Г л а в а 8
ФИЛЬТРЫ КАЛМАНА — БЬЮСИ 1
Рассмотрим еще один подход к задаче синтеза опти
мальных систем по критерию минимума математического |
ожида |
|||
ния квадрата случайной ошибки. Этот подход |
был предложен |
|||
Калманом |
и Быоси [63]. Определение фильтров |
Калма- |
||
на —Быоси |
связано |
с идеями формирующих |
фильтров и оп |
|
тимальной обработки |
случайных процессов. |
|
|
|
1. ОДНОМЕРНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Пусть имеется система, которая описывается ска лярным дифференциальным уравнением первого порядка
|
|
-%- = a(f)x + q(f). |
|
|
|
(417) |
|
|
at |
|
|
|
|
Структурная |
схема такой системы |
приведена |
на |
рис. |
39. |
|
Процесс x(t) |
на выходе подвержен действию шума |
ft(t), |
так |
|||
что фактически |
наблюдатель имеет дело с процессом |
z(t) |
= |
|||
— x(t) +ft(t). |
Далее предполагается, что |
q(t), |
b(t)—нестацио |
|||
нарные случайные процессы типа белого шума с нулевым мате матическим ожиданием. Корреляционные функции этих процес
сов |
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
Я „ (/, |
х) |
= М[д (0 q (т)1 = |
щ it) б (/ - т); |
j |
|
|
|
(t, |
х) |
= М [0 (t) |
& (т)] = |
п (0 б (t — т); |
(418) |
|
|
ВД^,т) |
|
= 0, |
|
|
j |
где |
m(t), |
n(t) — непрерывные, непрерывно дифференцируемые |
|||||
функции; |
|
|
|
|
|
|
|
|
т ( 0 3г0, п ( 0 > 0 ; |
[36]. |
|
|
x(t) в виде |
||
|
Поскольку представление |
случайного процесса |
|||||
выражения (417) является существенным для вывода фильтров
Калмана — Быоси, уместно провести |
обсуждение |
возможности |
|||
такого представления, |
если система (417) |
не задана. |
|||
Для получения представления (417) требуется специальный |
|||||
вид решения задачи |
определения |
формирующих |
фильтров. |
||
Когда случайный процесс x(t) |
имеет |
произвольную непрерыв |
|||
ную корреляционную |
функцию |
Rxx(t, |
х), |
задача |
определения |
Гл. 8 написана в соавторстве с канд. техн. наук В. Ф. Бирюковым.
формирующего фильтра пока еще мало исследована. Дл я таких процессов затруднительно воспользоваться излагаемыми ниже
идеями. Здесь также уместно напомнить |
о некоторых |
извест |
||
ных классических результатах решения |
задачи |
определения |
||
формирующего |
фильтра, позволяющего |
получать |
из |
белого- |
шума случайный |
процесс с заданными характеристиками. |
|||
Для скалярных стационарных ъ широком смысле случайных процессов, определенных на всей прямой, непрерывных в сред неквадратичном задача изучена. В этом случае задача решает ся наиболее просто, если случайный процесс имеет дробно-рациональную
с п е к т р а л ь н у ю плотность, и ф о р м и р у ю - - ^ j g .
щий фильтр можно описать обыкно |
|
|
венным |
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м у р а в н е |
|
нием с постоянными коэффициентами . |
б ft) |
|
Последнее получается на основе фак |
|
|
торизации |
дробно-раЦИОНаЛЬНОЙ СПек- |
Рис. 39. Структурная |
ТралЬНОЙ |
ПЛОТНОСТИ. |
системы |
x(t)
схема
Для |
нестационарных случайных |
|
процессов з а д а ч а выяснения вопроса |
с у щ е с т в о в а н и я , единствен |
|
ности и |
определения ф о р м и р у ю щ е г о |
фильтра несравненно бо |
лее с л о ж н а я . Она, например, изучена |
для н е с т а ц и о н а р н ы х слу |
|
чайных процессов с р а з л о ж и м ы м и корреляционными функциями, которые можно представить в виде [17]
|
|
|
RxA*> |
* ) = 2 |
ФІ(0Ч>І<Х), |
t > x > o . |
|
|
||
|
Имеются результаты |
получения ф о р м и р у ю щ и х фильтров д л я |
||||||||
с л у ч а й н ы х процессов, р а з л о ж и м ы х в ряды [17]. |
|
|
||||||||
|
Как |
известно |
[17], |
представление |
случайного |
процесса |
||||
x(t), |
/ е ( 0 , оо) в виде |
системы (417) возможно, если |
процесс |
|||||||
о б л а д а е т |
автокорреляционной функцией вида |
|
|
|||||||
|
|
|
Яхх |
С т ) = Ф (0 Ф |
t > |
т > 0, |
|
|
||
где |
<р(0. 'Ф(т) имеют непрерывные |
производные |
И |
(р(І)фО. |
||||||
|
Причем функция |
a(t) |
в в ы р а ж е н и и (417) будет |
равна |
||||||
|
|
|
|
а(9 = Ф(*)ф-1 (9- |
|
|
|
|||
|
Далее |
предполагается, |
что представление (417) |
имеется. |
||||||
|
Для |
оценки y(t) |
процесса x(t) |
системы (417) |
Калман и |
|||||
Бьюси предложили использовать систему (фильтр), описывае
мую дифференциальным уравнением вида
l!L = h(f)y + k(f)z(1); t/(g = 0. (419)
Функции h(t), k(t) выбираются из условия минимума
M{[z{t)?)=M{[x(t)-y(t)f\.
Пусть k\(t, т) импульсная переходная функция системы, описываемой однородным дифференциальным уравнением
|
|
|
JjL |
|
= h{1)y. |
|
(420) |
|
Тогда |
решение уравнения |
(419) |
будет иметь |
вид |
||||
|
у (() |
= |
j |
^ |
(/, т) k (т) z (т) dx. |
(42І) |
||
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k2(t, |
x) |
= k(x)k1(i, |
т); |
(422) |
|||
|
k2(t, |
t) |
= |
k[f)k!(t, |
f) |
= k(t), |
||
|
|
|||||||
поскольку |
k і (t, t) = \. |
|
|
|
|
|
|
|
С учетом формулы |
(422) |
|
|
|
|
|||
|
y(f) |
|
= |
{ |
kt(ftx)z(x)dx. |
|
(423) |
|
^Следовательно, приходим к задаче Винера, оптимизации ли нейной нестационарной системы по критерию
т і п Л І *(9— {bit, |
x)z(x)dx |
(424) |
і. |
|
|
Случайный процесс x(t), для которого получено представле ние (417), является желаемым процессом. Как следует из пре дыдущих глав, необходимое и достаточное условие минимума функционала (424) имеет вид
f К if, |
х) Rzz |
(X, т) dx |
= Rxz (t, Я), |
t 0 < X < t . |
(425) |
|
'и |
|
|
|
|
|
|
Если проводить анализ выражения (424) |
с целью |
оптимиза |
||||
ции импульсной переходной функции в фильтрах |
Винера, то |
|||||
рассматриваемая |
в |
данном |
параграфе |
задача |
аналогична |
|
случаю фильтров Винера, когда желаемый оператор единичный. Это случай задачи фильтрации. Однако не должно создаваться впечатления, что фильтры Калмана — Бьюси решают только задачу фильтрации. Также как и в задаче Винера, может ре шаться задача упреждения, сглаживания.
Переходим к отысканию соотношений, определяющих функ ции h(t), k(t). Продифференцировав обе части уравнения (425) по t, получим
j ' ± k2 |
(t, x) Rzz |
(X, T) dx + k2 (t, t) Rzz |
(X, |
t) |
= |
± |
|
Rxz |
(t, |
X), |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t0<K<t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(426) |
||
Случайные |
процессы x(t), |
т>(г) |
некоррелированы, |
ft(A), |
ib(t) |
||||||||||||||||
некоррелированы |
для X<t, |
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Rzz(X, |
|
t) = |
Rxx(X, |
t) |
= |
Rzx(X, |
t), |
/ 0 |
< |
X < |
*. |
|
|
(427) |
||||||
Так как Rxx(tj |
|
|
X)—RXX(X, |
|
t), |
то из выражения |
(427) |
сле |
|||||||||||||
дует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rza{Kt)^Rxz{t,X), |
|
|
|
|
t 0 < b < t |
|
|
|
|
(428) |
|||||||||
Преобразуем |
|
правую часть уравнения |
(426): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
~ R x z { t , |
l) |
= |
^-M[x(t)z(X)] |
|
= |
M[x(t)z(X)) |
|
|
= |
|
|
||||||||||
at |
|
|
|
|
|
ot |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
М[а |
(0х(0 z (X)] + |
М [q (t)z |
(X)). |
|
|
|
|
(429) |
||||||||||
Из выражения (417) и того факта, |
что |
z(t) |
=x(t) |
+т}(^), |
|||||||||||||||||
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M[q(t)z(X)] |
|
= |
0, |
|
* 0 < Х < * . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Поэтому правая |
часть уравнения |
(426) |
принимает |
вид |
|
||||||||||||||||
|
±Rxz(t,X) |
|
|
= a(t)Rxz(t,X), |
|
|
t 0 < b < t , |
|
|
|
(430) |
||||||||||
Уравнение |
(426) |
|
с |
учетом |
выражений |
(428) — (430) |
будет |
||||||||||||||
|
і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J~ h |
{і, |
т) R„ (X, |
т) dx + |
h (t, |
t) RX; |
V, |
X) |
= |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
a(t)Rxz{t, |
|
X), |
|
t0<X<t. |
|
|
|
|
|
|
|
(431) |
|||
В уравнение |
(431) |
вместо Rxz(t, |
|
X) подставим ее |
выражение |
||||||||||||||||
из условия |
(425), тогда |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
jJL * 2 |
(f, |
т) Я г г (X, |
т) dx |
+ |
[k2 (t, |
t)-a |
|
(01 X |
|
|
|
|||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X§k2(t,x)Rzz(X,x)dx |
|
|
|
= |
0, |
|
|
t0<X<t |
|
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
[a (/) ft2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
T) — -j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f |
T) - |
k2 [t, |
t) k2 |
(t, |
- |
ft2 |
T) x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
X |
Rzz |
(X, x) dx = 0, |
*0 |
< |
X < |
r. |
|
|
|
|
(432) |
||||||
225
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (t, т) = a (t) k2 |
(t, |
x) — /еа (*, 0 k2 |
(/, г) — |
- | - |
ft2 (t, |
T). |
(433) |
||||||
Тогда выражение |
(432) |
можно записать так: |
|
|
|||||||||
f / & т ) Я « |
(Л, |
т) eft: = |
0, |
/0 < |
Я, < |
Л |
|
(434) |
|||||
Складывая соответствующие части уравнений (425), (434), |
|||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f [k.2 |
(t, |
т) + / (t, |
т)] Я г г |
(Я, т) |
= |
|
Я), |
|
|
||||
Следовательно, |
и |
функция |
k2(t, |
т) и функция k2{t, |
т) + |
||||||||
+ /(7, т) удовлетворяют |
уравнению |
(425) |
и |
доставляют |
мини |
||||||||
мум функционалу |
(424); можно |
показать, что |
разность |
двух |
|||||||||
решений интегрального уравнения (425) равна нулю, |
поскольку |
||||||||||||
Ji(t)>0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\k% (t, |
т) + I (t, |
т)] — ki (t, |
x) |
= 0, |
r0 |
< |
x < f, |
|
|
||||
T. e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ (t, |
x) |
--=0, |
t0 |
< |
T < Л |
|
|
|
(435) |
|
Из равенства |
(435) и выражения |
(433) |
найдем |
|
|
||||||||
— кг |
(t, |
х) |
= |
а (t) Ъ (t, х) — |
k2 (t, |
t) ft2 (t, x). |
|
(436) |
|||||
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифференцируя no t левую и правую части выражения (423), шолучим
t
|
JjL |
= |
^±k2(t,x)z |
|
|
(т) dx |
+ |
k2 |
(t, t) z (t), |
|
(437) |
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из выражений |
(436), |
(437) |
имеем |
|
|
|
|
|||||
^-=\[a |
(/) k0 |
(t, x) — |
k, |
(t, |
t) h |
(t, |
x)] z (r) dx + k, |
It, |
t) z (t) |
|||
дали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ = a{t) |
f kt (t, |
x) z (x) dx — |
ks (t, t) |
f |
k2 |
(t, |
x) z (x) dx |
+ |
/г2 (t, t) z(t). |
|||
(438)
С учетом соотношений (422), (423) уравнение (438) прини мает вид
|
JL. |
= |
[a(t)-k(t)]y |
+ |
|
k(t)z(t). |
|
|
|
|
|||
|
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнений |
(439) и |
(419) следует, |
что искомая |
функция |
|||||||||
|
|
|
|
h{t) |
= |
a(t) — k(t). |
|
|
|
|
(440> |
||
Уравнение |
(439) можно переписать в виде |
|
|
|
|
||||||||
|
|
±L |
= |
a(t)y |
+ |
k(t)[z(t)-y(t)] |
|
|
|
|
|||
и представить структурной |
схемой, приведенной |
на рис. 40. |
|
||||||||||
|
|
|
|
№ |
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
40. |
Оптимальный |
фильтр |
|
|
|
|
|||
С учетом |
соотношения |
(440), для окончательного |
решения |
||||||||||
задачи остается |
еще |
определить |
функцию |
k(t). |
Подставив, |
||||||||
в уравнение |
(439) z(t)=x(t)+ft(t), |
|
получим |
|
|
|
|
||||||
|
Ц- |
= |
a(t)y + k(t)(x-y) |
|
+ |
k(t)b(t). |
|
(441) |
|||||
|
at |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ошибка е(^) с учетом соотношений (417), |
(441) будет |
удов |
|||||||||||
летворять дифференциальному уравнению |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(442> |
Функцией |
веса |
однородного |
дифференциального |
урав |
|||||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с учетом предыдущего |
будет |
k\ (t, |
т) . Поэтому |
решение |
урав |
||||||||
нения (442) имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
є (0 = kx (/, |
g є ( g + j К (t, |
т) [q (т) - k (т) & (т)] dx. |
(443) |
||||||||||
Найдем дифференциальное уравнение для |
|
|
|
|
|||||||||
С учетом того, что |
г ( 0 = М [ е я ( 0 ] . |
|
|
|
|
(444) |
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
— |
= 2е — |
|
|
|
|
|
|
||
dt |
_ |
dt |
и соотношения (442) |
.' |
^ at = 2 [а (0 - k (01 е2 (0 + 2ц (0 є (0 - 2k (t) Ь (/) є (/). |
(445) |
Выполняя операцию взятия математического ожидания от •обеих частей выражения (445), получим дифференциальное уравнение относительно r(t):
— = 2 [а(0 — /г(/)] r + 2M[q(і) є(01 — 2k(t) M [D (t) є (*)]. (446)
Для |
отыскания |
M[q(t)e(t)] |
рассмотрим |
выражение |
(443). |
|||||||||||||
Умножив его обе части на |
q(t) |
|
и |
выполнив |
операцию |
взятия |
||||||||||||
математического |
ожидания, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
М [q (0 є (01 = |
К (t, |
Q М [q (0 е (t0)] |
+ |
|
|
|
|||||||||
|
+ |
f К(t, |
t)[M[q(0 |
|
q(x)\-k(T) |
M |
[q(t) |
ft (x)]] dx. |
(447) |
|||||||||
С учетом выражений |
(418) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
M [q (0 & (г)] = |
0. |
Так |
как |
є (t0) |
= |
х (t0) |
- |
у (/„) |
|
|
||||||
некоррелирована |
с q(t), |
поэтому |
M[q(t)s(t0)]—0 |
|
и соотношение |
|||||||||||||
(447) примет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
М [q |
(0 є (/)] = |
\t К (t, |
т) М [q (0 q (т)] |
rfr, |
|
|
||||||||||
С учетом выражений |
(418) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М [q (0 є (01 = |
\ К (?, т) m (0 6 (f —г) tfc = |
-±" * i |
|
0 " * ( / ) = — m |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(448) |
Аналогично |
можно показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
M t & ( 0 e ( / ) ] = - - i - * ( 0 ' » ( 0 - |
|
|
|
|
(449) |
|||||||||
Уравнение |
(446) с учетом соотношений |
(448), |
(449) |
прини |
||||||||||||||
мает теперь вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
2 [а (0 - |
k (0] г + |
т (0 + ft2 |
(0 п (0. |
|
|
|||||||||
Далее |
нам |
потребуются |
некоторые |
соотношения. |
Остано |
|||||||||||||
вимся на их выводе. Для |
этого |
вновь |
рассмотрим |
уравнение |
||||||||||||||
(425). Уравнение |
|
(425) можно |
переписать |
в следующем |
виде: |
|||||||||||||
f |
k, |
(t, т) М |
[z (к) г (т)1 |
dx = |
М |
[х (0 |
г (X)], |
|
|
t0^X<t |
|
|||||||
U
или |
|
[і /е2 (/, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
т) z (Я) г (г) |
dx |
= |
M[x(t)z(k)}, |
|
|
/ 0 < Я < / . |
|
|||||||
С учетом выражения |
(423) |
это уравнение принимает |
вид |
|||||||||||||
|
|
М [у (/) z(k)] = |
M [х (0 г (Л)], |
|
t Q ^ k < t |
|
|
|
||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М { [ * ( / ) - 1 / ( 0 1 г(*)} = |
О, |
^ 0 < Я < г . |
|
|
|
|||||||||
Так как e(t)=x(t)—£/(0> |
т 0 |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
/?в (/, Л ) = 0 ; |
* „ < * . < / . |
|
|
|
|
(450) |
|||||||
Умножим обе |
части |
выражения |
(423) |
|
на |
г(і) |
и перейдем |
|||||||||
к математическим ожиданиям. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
М [Б (0 у (0] = |
f |
ft, |
т) М [е (0 z (т)] Л . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
'о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
учетом соотношения |
(450) |
правая |
часть |
этого |
выражения |
||||||||||
равна |
нулю, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Яа д (*. 0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
(451) |
||||
Соотношение |
(450) |
с |
учетом |
того, |
что |
z(t) =x(t) |
|
+-Q(t), |
||||||||
можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M[[x(t)~y |
|
(і)] [х (к) -f- 0(Я)]) |
= 0. |
|
|
(452) |
||||||||
Так как имеют место соотношения |
(417), |
(418), то |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
M[x(t)b(K)] |
|
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
(453) |
||
Подставляя в соотношение |
(452) |
вместо y(t) |
его |
выражение |
||||||||||||
в соответствии с формулой |
(423), получим |
с учетом |
выражения |
|||||||||||||
(453) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
[х (t)х |
(к)] — f ft2(t, |
х) (М [х(т) |
+ |
0 (х)][х(к) |
+ |
Ь (к)]} dx |
= |
О, |
|||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/И [х (0 * (А,)] — / ft2 (ґ, |
т) (ЛГ [х (т) л- (Я,)] + |
|
М [Ь (т) & (Я)]} dx = О, |
|||||||||||||
или |
|
|
'о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я,™ С, Л) — /ft2 (*, |
т) |
(т, К) dx = |
ft2(t, |
к) п(к), |
t 0 < k |
< |
t. |
(454) |
||||||||
Так как обе части уравнения (454) являются непрерывными функциями от Я при любом t, то, переходя к lim при k-*-t, по лучим
R*x (<. 0 - / h (t, х) R х х (т, 0 dx = ft (0 n (0. |
(455) |