книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

ных воздействий заданы своими

корреляционными функциями,

а неслучайные — аналитическими

выражениями в виде полино­

г (0 = S

gtf,

(181)

1=0

и стационарной

случайной функции

времени

m(t)

с

известной

корреляционной

функцией Rm(x).

Кроме того,

на вход

системы

поступает помеха в виде стационарной случайной

функции n(t).

Необходимо

по корреляционным

функциям

Rm(x),

Rn{x)

Пусть сигнал на выходе системы будет

х (0 = I \gФ) + т(В) + п(9)] k(t, 9)dQ.

(182)

g{t)—

j g(Q)k(t,

8)de = 0.

(184)

—со

С

учетом

формулы

(181)

выражение

(184)

можно

предста­

вить

в

виде

2

git'

~

f

S

gfi1 k (t,

6) dQ = 0.

(185)

i*=0

-co

i = 0

Рассматривая

уравнение

(185)

как

тождество,

получим

(г+1)

ограничивающих k(t,

х)

условий

Р =

J

6'7г(/,

9)d9,

i . = 0, 1,

2, . .

. , г.

(186)

—со

При

выполнении

условий

(186)

ошибка

воспроизведения

є (t)

= in (t) —

\ [m (8) + ti (9)] k (t, Q)dQ.

(187)

'o

системе в момент времени

^ = 0.

Возводя

в квадрат

выражение

(187)

и усредняя,

получим

it, t) = Rm

(t,

0 —

2 f Rm(t,

T) A ; T ) d t +

b

+

j /г (t, x) dx

f [fl r a (T,

9) +

# п

(T,

8)] k (t, 8) d9.

(188)

условиям

(186). Составим функционал

J

=

4к

(t, 0 -

2

?, (0 f ^

(*. т) dx.

(189) '

ї=0

о

Придавая

импульсной переходной функции k(t, х)

вариацию

Дт) (t, х),

получим

JA

=

Rm

(t,

t) -

2 J Rm

(t,

x) [k (t,

x)

+ Ar, (/, x)] dx

+

+ f [Ал (t,

т) + ft (t, x)] dx \ [Rm

(x, 0) + Rn

(T, Є)] X

b

b

X [ft 6) 4- Аті (Л

Є)] ^ - 2 5 ] v, (Off *

[ft ft T) +

Ail (t, x)\ dx. (190)

\[Rm(x,

Q) +

Rn(^ e W .

в)гів = /?и (/, т) +

У]ї/(0т.'. (191)

b

t = o

Интегральное

уравнение

(191) определяет

оптимальную им­

персии е^к (*> 0

(188).

Если

случайные

процессы

m(t)

и «(/)

являются стационарными, то

дисперсия

е 2 к

(^, ^)

определяется

формулой

0 = Rm

(0) -

2

о\ Rm (t - т) ft (/,

т) rfr 4-

4- {ft

т) dx \ [Rm (х — 9) - f #„ (т — 0)]ft(г, 0) dQ.

(192)

j [Rm (т -

6) 4- Rn (т -

Є)] ft (t, 0) dO =

/?m

(/ -

T) 4- j] уІ (0 т'-, г > т.

О

1 = 0

(193)

Если корреляционной

функции

соответствует

дробно-рациональная

спектральная

плотность

(24), то и здесь могут быть использованы формулы

(25) и

(26),

связывающие корреляционную функцию с функцией

Грина.

На основании формулы (25) интегральное

уравнение

(193)

можно представить в виде дифференциального

уравнения:

М (р) М* (р) \ G (х -

0)ft(t, 0) dQ =

Rm

(t -

x) 4-

Yi (0 т; .

(194)

0

i = 0

Дифференциальное уравнение

(194)

имеет

общее

решение

t

G (x — 0)ft(/,

0) dti = M _ 1

(p) M *

(p) Я т

( ' - т ) 4 -

J

1

fej,

J

jsl

,=o

4- Л Ї - 1 (p) Л 1 * - 1

(p) Я т

(/

-

T)

+

T] Л,- (г) e V .

(195)

Используя

оператор L(p)L*(p)

(26)

и уравнение

(195), по­

лучим

: { t ' т

) = § л < w т

і + § 5

' ю е ' + д E i w б ( / ) ^ - т > +

+

L (p) L * (p) M-1

(p) M*

1 (p)

Rm{t-x).

(196)

В импульсную

переходную

функцию

входят

неизвестные

функции Ai(t),

Bi(t) и Ej(t),

число

которых г + 1.

Порядок их

определения следующий.

Подставляя импульсную переходную функцию (196)

в инте­

гральное уравнение (193) и в условия (186), находим

{г+1)

уравнений.

ВІ и Е,

Решая 1+г

уравнений относительно неизвестных

Аіу

Найдем

оптимальную импульсную переходную функцию k(t,х)

для сле­

дующих исходных данных: 5 п , ( и ) = 0 , 5 п ( с о ) = С 2 и g{t)=go+g\t

и, следова­

тельно, к=0,

<7<0; поэтому.

k(t,x)=AB(t)+A,(t)x,

t>x.

Используя моментные равенства

(186), получим

t

1 = j

Mo it) + Аг

(t) x] dx =

A0

(t) t +

^^-fl;

о

і = $ г [ А

о { і )

+

Аі(і)хих

=

^

+

^

.

0

Решая систему этих уравнений относительно неизвестных A0(t)

и

Ai(t),

находим

2

6

>«о(0 =

-

у

и

Al(t)=—.

Подставляя значения Aa(t)

и A\(t)

в

выражение для

импульсной пере-

лодной функции k(t, т), получим

6т

2

b(t,

,

О т .

х) = —

— —

Выходная

величина

x(t)

связана

с

g(t)

и k(t,т)

соотношением

| Л , .

* (0 = j

g (т ) * е . т ) d x

=

| teo +

іТіт]

~ 7 г — ~ ] r f T

= c7e +

gi*-

0

о

Если предположить,

что g{t)=0,

то получим

постановку

за­

ше. В этом случае дисперсию на

основании выражения

(192)

запишем следующим

образом:

&V,

t) = Rm{0)-2$Rm{t-x)k{t,

x)dx

+

о

+ j k (t,

x) dx

f lRm (T - 6) +

Rn {x - 6)] k {t,

6) dQ.

(197)

b([Rm

(т -

0) +

R„ (т -

9)]ft(t,

0) dB =

Rm

(t -

x).

(198)

Наконец,

решение

интегрального уравнения

(198)

будет

иметь вид

k (t,

т) =

В І (t) ех'х

+ £

Ej (t) б ( / ) (t -

т)

+

i'=l

/= 0

+

L (p) L *

(p)

(p)

(p) Rm

(t -

T).

(199)

Пусть ^ m ( T ) = e - a / T / ,

/?п (т)=С2б(т);

тогда

v

со- +

а 2

и поэтому

k{t, т) = Вх

(0 <??"т,

где

.

/ С 2 а 2

-f• 2а

Лі = —

р

Для определения

неизвестного

подставляем

k(t,

т)

в интегральное

уравнение (198). В результате получим

Bx(t)e^z

Bx(t)e~ax

В 1 ( 0 е ' " і Т

,

,

„ r r

Отсюда находим, что

/ a 2

C 2 +

2a

— aC

„,

(0 = —

^

e

и, следовательно,

k(t,

т) =

/ а ^ + 2а -aC

/ " ' c

^ %

—

^

ea ( e

c

—со

со

* ) = j

и (Л T)dx J Rm(x-B)x(t,

0 ) d 0 -

СЮ

—со

— 2 JA(/, T)dr J / ? т ( т —в)х(Л

0)d0 +

т ) Л Х

0

—со

0

X j" [Rm

( T - 0) + tf„ (T -

0)] ft (f,

0) dO.

(200)

t

со

j [Rm (т -

Є) + Rn (т -

В)] k (/, 0) dQ= j Rm

(T - Є) x (t, 0) dQ.

(201)

0

—со

Решение же интегрального уравнения определяется фор­

мулой

k (t, т) =

В,- (/) ei%

+ Д

(0 б 0 ) (t-x)

+ L (р) L*(р) М-1

(р) X

X M*~l (р) J

Rm ( т - 0) х (t, 0) dQ.

(202)

тора для следующих исходных данных:

* m W = e - *" T | ;

Д „ ( 0 = сзб(т) .

k(i,T)=B1

(t)e%iX.

Подставляя

k{t, х) в интегральное уравнение (201),

находим

B^t) —

=a(a - f %\)e a t .

Окончательно импульсная

переходная

функция имеет вид.

а ( а С - / а 2 С 2 + 2 а ) „, - V a ' C i + 2 a

т

Можно показать, что для интегратора,

т. е. когда

%(t,

x)=\(t—т),

опти­

2а

к

' \

a

a 2 C 2 - j - 2 a ;

^ а 2 С 2 + 2а '

где

кг

= —

V а

СР+ 2а

а

2

g(t) = J) avPv(t),

"

(203);

где

Pv (0 = eav'coscovr, или Pv(t)

= ea^ smayt.

(204)

Задача в этом случае формулируется следующим

образом.

По заданным корреляционным функциям Rm(x),

Rn(x)

необхо­

димо найти импульсную переходную функцию k(t,

х),

так чтобы

ходе системы в каждый момент

времени при точном воспроиз­

ведении g{t). Для поставленной задачи ошибка

воспроизведения

полезного сигнала

по-прежнему

определяется

соотношением

(183).

точного воспроизведения сигнала g(t) до­

Для обеспечения

выполнялось условие

(184), которое с учетом формулы

(203)

может быть представлено в виде

V

avPv

(і) =

J Ь

avPv

(9) k it,

9) dQ.

(205)

v=0

0 v=0

Перепишем

тождество

(205) с учетом

того,

что Pv

(t)

опи­

сывается

формулой

(204),

т. е.

eE v 'cosGV = j'ea v e cosa>v e/2(/,

Q)dQ,

v = 0 , 1 , 2 , .

. . ,

п.

о

Если выполняются /1+1 ограничений на импульсную пере­

ходную

функцию,

то

ошибка

воспроизведения

определяется

формулой

(187).

Соответствующая формуле (187) дисперсия принимает вид

равенства

(188).

Для определения импульсной переходной функции, обеспе­

чивающей

минимум дисперсии

(188), составим функционал

J =

<& (t, / ) - 2 V Y V

(t) f e a v 8 cos a,,Qk (t,

9) dQ.

(206)

v = 0

b

Придадим

в выражении

(206) импульсной переходной функ­

ции k(t,

9) вариацию Лг|(/, 9).

Решая

теперь

обычную

задачу

по отысканию экстремума

вала минимум дисперсии

(188) в форме интегрального урав­

нения

| [Rm (Т - б) + Ra

9)1 k (f, 9) dQ = Rm (t-r) +

0

Если корреляционной функции Rv(x)—Rm(x)+Rn(x)

соот­

ветствует дробно-рациональная спектральная плотность

(24),

v = 0

i = l

Е-

(t) = Є 2 (0 +

f (0 в2к

(Л t) = g (t) g

(t) -2\g(t)g

(T) ft (t,

x) dx

+

b

+ f k (t, x) dx j g(T) §(0) /г (f, 9) d0+f{t)

[Rm(0)-2

f Д т ( * - т )

/г(/, x) dx+

b

o

о

-I-

fft(t, x) dx \ [Rm (T -

0) +

Rn (x -

8)] ft (t, 9) dQ],

(211)

y2(t)

b

b

где

определяет

вес одной ошибки относительно другой.

Придадим вариацию импульсной переходной функции k(t,

х)

в виде Лг|(і\ х). В результате получим

El(0

=

8(08(0

-2\8(t)B(т)[Ат)

+ Ат] (/, т)] dx

+

b

+ f [Дт| (t, x) +

k (t,

x)] dx \g(x)g

(9) [ft

0) + Дті (t,

0)] d9 +

b

b

+

Y2 (0 fЯ т

(0) -

f Rm (t -

x) [ft (t, x) +

Дг, (f,

x)] dx 4-

l

b

+

f [Ди

x) + ft (*, x)] dx f [/?и (x -

0) + Я я

(x -

0)]

X

Дифференцируя £ |

(0

по величине Д, получим

дЕ\

It)

І

x)dx+

І

—±±L=-2$g(t)g(T)4(t,

2 Г ті (Z1, x)dxX

ЗД

о

о

X

f g ( x ) £ ( W . в)гів +

2Д (т)(^ x)dxfg-(x)g(9)T]^

0)d9

+

о

о

о

+

Y2 (?) j -

2 j

Я г а (* -

x) її (/,

x) dx + 2 j ті (t,

x) dx

f [tfm

(x -

9) 4-

I

0

0

0

+ Ra

(x -

9)] ft (f,

9) d0 + 2Д f T] (/,

x) dx f [Rm

(x -

9) +

b

b

+

Л я ( т - Є ) ] л С ,

(212)

Полагая

в

выражении

(212) Д = 0 и

приравнивая

остав­

печивающая минимум

E2(t):

\ Y2 (0 IRm (Т - Є) +

Ra (x-B) + g (Т) g (в)] k (t, 0) d0 =

0

= v4t)Rm(t-t)

+

g(t)g(r)\.