Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

/е0 (0 = Be

0 < / <

oo.

Неопределенный

коэффициент

найдем

путем

подстановки

ko(t)

в интегральное

уравнение

(396). При

этом

имеем

0 <

со.

Вычислим

интеграл

Г е «-«»

° d& =

У " Г і Є ~ <

2V ~

(397)

УК-

УК+і

Подставляя выражение

(397)

(396), получим

УК

e~t

JL е-

('+'.).

(398)

2 ^ - У к Ч

Рассматривая соотношение (398) как тождество и прирав

нивая коэффициенты при е - ' , имеем

BVh

«.

—

Vh+i

или

Зе~'°

УК ( / М - 1

УК)

Следовательно,

k0(t)=

r -

7=-,е

•

° < ' < ° ° -

(399)

VK(/K+i+VK)

Вычислим

среднее

значение

квадрата

случайной

ошибки.

оо

M{*l®}mm

Ra(t-U)h(f)h(b)dtdb-

СО

- j

(t - &) k0

(t) h (ft) <*Ш -

J k\

(t)

dt.

—со О

Интеграл

СО со

9е, - 2 '»

—со О						2 ( / * i + l			+VK)2
—со О
	X,	Щ (t) dt		=		9e~2t°
	X,	Щ (t) dt		=	2 ( ^ + 1		+VKfYK+y
					2 ( ^ + 1		+VKfYK+y
Следовательно,
	ПК)-					9е				(400)
	ПК)-									(400)
График	зависимости			У	2(1^+1+^1)/^i+l				33 для t0 = 0,b.
График	зависимости			У		приведен	на	рис.	33 для t0 = 0,b.
Выделен участок оси ординат от 2,7 до 4,5.
При Х\^-оо		/(A,i)->4,5.								Ji(k)
Сравним	решения		задач			оптимизации		функционала		Ji(k)
и функционала		J(k),	т. е. сравним решение,					получающееся		яри

дог

0.04

от

Рис. 33.

Зависимость

среднего

квадрата

случайной

ошибки

от

параметра

использовании

принципа

сложности,

и решение задачи синтеза

по минимуму дисперсии

ошибки

без

данных

ограничений

на

искомую импульсную переходную функцию.

J(k),

k(t)

Решение задачи оптимизации

функционала

имеет

вид

3e-fo 6(0-

(401)

На

рис. 34

'приведены

графики

функции

k0(t)

при

^о =

0,5

и различных Х[. Обозначим среднее значение

квадрата

случай

ной ошибки, соответствующее

функции

k{t)

=Зе-'° b(t),

/ ( 0 ) .

Как следует из выражения

(400), при

любых Xi>0

J(K\)>J(0).

При

малых Х\ J(k\)

и 7(0)

различаются

мало. Исходя ив

за

данного значения показателя качества

J(k)

= o, может быть вы

брано требуемое значение параметра Х\.

Передаточные функции <Do(s) и <D(s), соответствующие им

пульсным переходным функциям k0(t)

и k(t),

получим как пре

образования Лапласа

k0(t),

k(t),

т. е.

8* 211

Ф0 (5) = \ К (0 e~s'dt;	Ф (s) = f k (0 e-s<dt.
о	b

имеем

Фв(5) =

Ф (S) = Зе-'о; ф 0 (s) =

где

Зе~'°

Передаточная функция Oo(s)	определяет апериодическое
звено с коэффициентом усиления k0	и постоянной времени Г0 .

Рис. 34. Импульсная переходная функция при различных значе ниях параметра К[

I 0,01 0,02 0,05 Oft* 0,051

Передаточная функция Ф(5) определяет идеальное усили тельное звено, т. е. применение принципа сложности позволяет при незначительном увеличении среднего квадрата случайной ошибки получить реализуемую передаточную функцию — апе риодическое звено вместо идеального усилительного звена. Пара метр %\ характеризует сложность системы, так как он опреде ляет коэффициент усиления kQ и постоянную времени Го филь тра Фо(«). При Яі->-0 Го-э-0, £о->-Зе?_'«. Изменяя параметр %и можно придавать системе желаемые свойства.

Численный метод решения интегрального уравнения (396).

Сведем интегральное уравнение к системе линейных алгебраи ческих уравнений. Заменяя бесконечный верхний предел в инте грале на конечный Ті и аппроксимируя интеграл по формуле

прямоугольников на отрезке [0, Tj] с шагом At}, где Af}= ~ ,

получим
Kk (0 +		I } '	Rm	V -пЩ		k (пМ) Ai> =			Rmz	(t),	(402)
где
				CO
		Rm2(t)=		J			RM(t-V)h(u)db,
				CO
		n =	0,	1,	2, . .		. ,	N — 1.
Придавая аргументу				/ значения			/At), где £=0,			1, 2, ... ,	N—1,
выражение	(402)	примет		вид
W	(ІАЩ +*УІ		Rm		— пАЪ) k (пДв) Ді> =					(i"A»)
		п = 0
или, в матричной		форме,									(403)
			%\Ek		+	Akp=R,					(403)
где А — квадратная матрица					размером			NxN,
	Rm(0)		Rn(Ab)					Rm[(N-1)АЪ)
	Rm(Ab)		Rm(0)		. .			.Ra[(N-2)m
	Rm[(N-l)Ab]							Rm(0)
E—-единичная		матрица			NxN,
				1	0		0
				0	1
		E
				0	0		1
k — вектор-столбец,				координаты				этого	вектора — искомые
ординаты импульсной переходной функции в дискрет
ных точках			k—k(nAft),

k =

kN—\

і?—вектор-столбец,		R„=Rm'	( " А Я ) ,		n = 0,	1, 2	N — 1,
		R0
		Ri
	R	=		1	Д»
				1	Д»
		RN-
Систему	(403) можно записать в виде
		(Л +	ft	=	#,
или							(404)
			£& =	R,			(404)
где матрица	б
	Я«(0) + Ь1 Rm№			•	• . i ? m [ ( i V - l ) A 5 > ]
5 =	Rm(Ab)	Rm(0)+X;		.	.	.Rm[(N-2)Ab\
	Rm[(N-1)АЪ)	. . .				Rm(0)+K

На рис. 35 приведены приближенные решения интегрального уравнения (396), полученные из системы алгебраических урав нений (404) при различных %\ и t0 = 0,5.

k(t)\

/Х=5-'Л'5

0,01	0,02 ОМ	0.04 0.051.
	і
Рис. 35.	Численное	р е ш е н и е ин-	Рис. 36. Численное	р е ш е н и е	воз -
тегрального уравнения			м у щ е н н о г о интегрального		урав
			нения при	A,i = 0

Вычисленные ординаты импульсной переходной функции в дискретных точках соединялись плавной кривой. Сопоставляя рис. 34 с рис. 35, видим, что получаются хорошие приближения точных решений. Теперь рассмотрим вопрос о непрерывной зави симости решения интегрального уравнения от вариаций исход ных данных. Пусть корреляционная функция выходного сигнала


m(t)	определяется экспериментально				и пусть	вместо	Rm(x)	=
= —	e~lт 1 известна		оценка корреляционной функции				R^ (т) =
= Я т	( т ) + Д Я т ( т ) , где		Д # т ( т ) =0,0125 [ е - М — \| т \| е - М ] .					при
Приближенное решение интегрального уравнения (396)
Л,і = 0		с возмущенными		исходными	данными	приведено		на
рис.	36.	Приближенное		решение определялось		из системы		ал

гебраических уравнений (403), соответствующей возмущенным данным в интегральном уравнении. Найденные значения им пульсной переходной функции в дискретных точках соединялись отрезками прямых. Видно, что таким образом найденные орди наты импульсной переходной функции не имеют ничего общего

K(t)


В	0,01	ОД	0,03 0,04		0,05	0,05	0,071
	Рис. 37.	Численное		р е ш е н и е в о з м у щ е н н о г о
	интегрального уравнения				при	Xi = 5 - 1 0 _ i
с точным решением k(t).			Следовательно,				малые		изменения	ис
ходных данных вызывают большие изменения									решения.	Это
является экспериментальным				подтверждением					некорректности
интегрального	уравнения при Лі = 0.
На рис. 37	(кривая		/ / )	приведено		приближенное решение
возмущенного	интегрального			уравнения		(396)		при Лі = 5 - Ю - 4 ,

полученное из системы алгебраических уравнений, и аналитиче

ски найденное решение	интегрального уравнения	(396)	при
Л-1 = 5-10- 4 , ^0 = 0,5 с точными исходными данными		(кривая I ) .
Полученное решение мало отличается от точного		решения	ин
тегрального уравнения	(396) без возмущений.

Данный пример показывает, что применение принципа слож ности к задачам синтеза статистически оптимальных систем ав томатического управления позволяет непосредственно отыски вать реализуемые передаточные функции и устойчивые алгорит


мы получения приближенных решений.
Синтез		системы	с конечной	памятью	Т. Исходные данные
следующие		(см. рис. 32):
1)	g(t)—go+git		— многочлен	первого	порядка с неизвест
ными	коэффициентами;				m(t)=0\
2)	полезная случайная составляющая
3)	спектральная		плотность помехи n(t)

а2 + со»

4) идеальный преобразующий оператор Н (р) = 1;

т	k2(t)dt.
5) функционал N(k)= j'	k2(t)dt.
о
Согласно выражению (390) искомая импульсная переходная
функция будет удовлетворять	интегральному уравнению

Мо(9 + ЇЯя ('-в)*о(в)<Ю = їо + 7і'.

° < ^ < ^

(405)

или

(t-b)

+ Kb (t -

&)] k0

(&) d& = V o

+ y,t.

J" [Ra

Определим спектральную

плотность

(со),

соответствую

щую корреляционной

функции Rn(t)

+ho(t):

s * (

\ _

Agio2 +

ha2

+ 2a

M (/to) M* (/со)

со2

L (/со) L* (/со) '

Решение

интегрального

уравнения

(405) функция k0(t),

как

следует из формулы

(389), будет иметь вид

К (0 =

Л +

А4 +

В^*

B f ,

0 < f < Г,

(406)

где а\, а.2 определяется

из

уравнения

М * ( а ) М ( а ) = 0

или

—Яіа2 +Яіа2

+ 2 а = 0 .

Отсюда

_ І /

* __!

Ч / * I

Так как Н(р) — \, то условия на моменты импульсной пере ходной функции будут

ц0

= / А 0 ( / ) Л = 1 ;

|*1 =

j f A o ( 0 *

= °-

(407)

При

каждом Яі уравнения

для определения

коэффициентов

А0,

А],

В], В2

получим,

подставив

выражение

(406) в

инте

гральное уравнение

(405) и условия

на

моменты

(407). При

этом имеем

К(А0

+ А1і + В

1 ^ + В ^

)

4- [ е-° І ' - 8

' (А0

4 - Л]& 4 - Вге^

+ В2е^)

db =7о 4- у^.

(408)

'о

Вычисляя входящие в последнее выражение

интегралы, по

лучим

V 4 0

+ М і ' + КВіЄа>1

+ \В2еа><

2ЛП

•

e~at

21. р-а

(T-t)

V а

а2 /

а 2

— а2

а х 4- а

B i - a { T - i )

2Впаеа>{

B.e-at

Вге~а(-т-Ъ+а'т

ах — а

а | — а 2

а2 4- а +

аг — а

= Vo +

Yi*-

(409)

Рассматривая

выражение

(409)

как

тождество

приравни

вая

М е Ж Д у СОбОЙ КОЭффИЦИеНТЫ П р и e~at,

e _ a ( T - t ) j

g л е

в о и и

правой

частях,

получим

уравнения

в,

а2

а х + а

а 2 4- а

(410)

\ а

ctx —

a'cu—a

(411)

M i

Yi-

Из

условия

(407)

определим еще два уравнения,

связываю

щие

коэффициенты

J k 0 (t)dt

= j \AQ

ALt

Bxe*J

4- B^*\

dt=l;

Jtko (t) dt=]t[A0

Ajt +

V « < +

B2e^]

dt =

0 t

или

a 2

(412)

Решая совместно

систему

четырех

уравнений (410)

и (412)

с четырьмя неизвестными, найдем А0,

А\,

В ь

В 2 . Обозначим

тп

; т

1 2 — — ; т13

+ а

/ г

т 1

4 =

/72,2 =

т 2 3 -

се2 -(- a

з _ а

\ a

а2

_ a

т 2 4 -

Ш31- 1 ,

т 3 2 — —

— і

^ 3 3

т 3 4

И о

Т* _

е а , Г ( а і Г - 1 ) + 1 _

^ ( O a T - l J + l

m« - —g—, /П43 =

/П44 =

•

Выпишем систему линейных алгебраических уравнений для

определения А0, Аи

Ви

В2:

miz-Ai

'"14^2 =

mnA0

-f- тогЛх +

m2 3 Bi +

/«24-62 =

(413)

m31A0

+ тзгАх

m^Bi + тЗІВ2

= 1;

/ " 3 2 ^ 0 + т 4 2 ^ 1 + ^ 4 3 ^ 1 + тиВг = °-

Согласно правилу

Крамера, решение

(413) найдем из выра

жений, считая

detA=#=0

Л0 =

^ Ц -

4 - ;

х =

. £ ;

Вл=*±.,

(414)

где А — определитель квадратной

матрицы

коэффициентов си

стемы

(413);

А, — определители матриц,

полученных

из матрицы

коэффициентов,

заменой

/-го столбца на

столбец

правой

части.

тц,

Раскрывая

выражение

(414)

подставляя

получим

соотношения для А0,

А\, Ви

В2.

Коэффициенты зависят от параметра Х\:

Л0 = Д,(Я1 );

А^А^КУ

В^ВЛКУ,

В2

Вг(К).

Выражение для среднего квадрата ошибки с учетом форму лы (392) будет

М {eL}min = Yoh> + ViMi — ^1j"ko (t) dt.

Подставим	в последнее выражение значение у0 из форму
лы (411), и так	как ц 0 = 1, u,i = 0, то

ЛІ (є2 .,)m i n = ^ 0 ^ 1 + A ) - ^ J f e 0 ( 0 d t =

=	2 Є	2 а . ґ	— ^ В?
=	—A0 (k^T^B +	^ - 7 ^ Л І Т - J^A]	— ^ В?
		2 a s

„а.Г	• 2 M i	e a,r ( a i r - l )	+ l
a 2	• 2 M i	5j
a 2
e*zT (a»T — 1) +		1
— 2 М А - ^	г	2'K1B1B2T=J	(Я,).
a	2

Достаточно просто показать, что величина математического ожидания квадрата случайной ошибки при фиксированных а, ТФ в зависимости от Ki имеет вид, приведенный на рис. 38. Опти-

Рис. 38. Зависимость с р е д н е г о квадрата слу чайной ошибки системы с конечной памятью

от параметра к\

мальная импульсная переходная функция k(t), доставляющая минимум функционалу J(k), имеет вид

А ( 0 = Л + і 4 1 ^ + £ 0 б ( 0 + Д о б ( ї - Г ) > 0 < ; < 7 \

8.	ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА МИНИМАЛЬНОЙ	СЛОЖНОСТИ
К	ОДНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧЕ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ДИНАМИКИ
Пусть на вход линейной нестационарной		системы уп

равления поданы управляющее воздействие, состоящее из задан

ного	аналитически		сигнала	g(t)		и случайного сигнала m(t)
с нулевым		средним	значением		и	корреляционной	функцией
Rm{t,	т),	а также	помеха	n(t)	с	корреляционной	функцией

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2522 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ