Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

j [R'm ( T - 8) - f R'n (T - 6)] k* (9) 46 =

со

= S +J Rm ( T — в 4- T , ) x (0) d0;

0 <

T < T; (105>

1=0

—CO

i=0

В. е'Л 4- 2 £ ; 8 0 ) (T)

k* (T) =

+ V

Dj 5 ( /

) (т — T) -\- L (p) L* (p)

(p) M * - 1 (p) X

/=o

\ / ? ж ( т —0 4-T1 )x(9)de

0 < т <

Г .

(106>

Пусть

g ( 0 = g e

+ ?i<;

Я(р) =

ffe(p)

l - C i p ;

r 0 ( s )

; SO T (<o)=0;

S„ (©) = ДР.

В этом случае на основании формул

(84) имеем

R >

/узе - « I т |

= V T b

н поэтому

= — 2 5

следовательно, с учетом формулы (106)

получим

к* (т) = А0

4- А т 4- £„6 (т) 4- D„5 (т — Г),

0 < т < Т.

Для

определения Ао, Аь £о. О 0 используем

тождество

(100),

которое

можно записать следующим образом:

Гсо

со

gV)-ClPg(t)=

("А* (т) dx f g ( i - x ) & ( e - T j ) d 6 - J

8pg (/ - T ) X

Г г

& (в -

d9 =

j g (<)ft*(т) dx -

rpg (0 А* (г) dx X

со

[ 6(9 — Ti)d9— $ pg (t) k* (T) d-v $ .8&(9-Ti)d9.

Отсюда

находим

два уравнения

для определения ограничении

Но и ЦІ.:

со

1 = Но [ Ъ ( 9 ' -

т,) d9 =

Цо \ e~a{Q~%l)

d9 = Но ^

;

- С 1 =

- н і

ft(6

—т,)(/в —це

86(9 —Tj)d9 = - И і

- H o — Г

. і

a-5

d a — 1

-at,

: Jft*(T) dx;

ці =

= J xk* (x) dx.

Подставляя сюда импульсную переходную функцию, находим два урав нения для определения неизвестных А В , А І, Е0 И А>:

Остальные два уравнения получим, если подставим k*(x) в интегральноеуравнение (105):

а 3

• Е0 = 0;

-f- —— — D 0 = 0,

а г

Решая

эту систему

уравнении

и подставляя

найденные значения Ао, А\,

Е0 и

Do в уравнение

(106),

получим

оптимальную

импульсную переходную-

функцию

k*{x).

Для

случая

g(t)=0

среднее

значение

квадрата

ошибки

запишем

следующим

образом:

«&=

* (т) dx

J Rm

(т -

9) х (9) d0 -

2 f А* (т) dr

( т - О + т ^ Х

—со

—оо

*(9)de+

f A*(T)cfrf

1#т(т—Є)

+ # ; ( т — 0 ) + '

Я,', (г -

0)] k* (0) <*6 +

(0) -

2 f

(т +

ті)

(т) Л •

Интегральное уравнение определяется

формулой

[Rm (Т -

9) + & (Т -

в) +

(Т -

0)] &* (0) d8

— 0 0

Импульсная

переходная функция

k* (т) = j ] 5 ;

еV

2 £ / в"» (т) + і

(р) L* (р) М - 1

(р)

t=i

/ = о

М * - 1

(р)

[

j / £ < т - Є

+ Tj) х (8) d8 +

(т +

тх ) J .

3. Положив

дополнительно

u(t)=0,

найдем, что

со

оо

«& =

j vi(x)dr

/ ? r a ( x - 0 ) x ( 0 ) d 0 - 2

J _ A *(T)drX

—CO

—oo

X j Rm(x-Q

+ xi)%(Q)dQ+

Jk*(x)dxJ

[R'm(x — Q) +

—oo

+я;(т-0)]А*(Є)де.

Соответствующее интегральное уравнение определяется вы ражением

со

„

[ [Rm (т -

6) +

R'N (т -

6)] А* (9) d9

= \ RM (т -

9 + T l ) % (9) d8. (107)

Интегральное уравнение (107) имеет решение

к* (т) =

V B ,g

V + V £ . б ( Л

(т) +

L (р) L* (р) A f - 1

(р) М * - 1

(р) X

СО

(

R„,(x

— e

T1)%(Q)dQ.

—оо

Пусть

(т) = е~~а 'т

' ;

К„ (т) = 0 ;

Я (р) = 1 и \V0 (s) = — J —

е-*.« .

s + 1

Пользуясь формулами

(84), определим

a e ~ | T f

e~~a,xl

е - «(т+т,)

« » W = l T f - l ^ T =

**(* ) =

a + 1

° -

Спектральная плотность, соответствующая

Rm'(r),

и поэтому

^ { Ы

) =

(f f l ' +

a*)(«o*-H)

k*(x)

£ 0 6( т)

+ £ , 1 б ' ( т ) .

Подставляя Ят'(т), Лг а "(т) и &*(т)

в интегральное уравнение

(107), най

дем два уравнения для определения £ 0

и £\:

-[Exd — £ „] =

є"" - ;

— Ц - (a £ 0

— а ^ ) = 0,

а— 1

Отсюда

находим, что Еа=Е\=е

и, следовательно,

(т) =

е~а'-'

[б (т) +

б' (т)].

Перейдем к рассмотрению особенностей решения сформули

рованной выше задачи для того

случая, когда

С,- = 0

задан

ная

функция

времени

может

быть

описана

формулой

(45).

В этом случае ошибка воспроизведения системы может быть

представлена

выражением

е (0 =

Я (р) [g (0 -f- т (t)] — Ju(t

— x)b(x — xa) dx — \k* (x) dx X

•

— T —в) +

лі(/ — T —в) + л(^ — T —в)]Ь(9 —Tjrfe-r-

со

+ f£*(x)dx j 6(9 —Xj)d9 f u(f — T —9 —a)6(a — Tjda .

Если потребовать, чтобы среднее значение ошибки равнялось нулю, то получим

Н (Р) g(f)=]k*(x)dxT\g(t — x — Q)b(Q — x)dQ.

С учетом формул (47) и (92) последнее соотношение можно

развернуть в виде следующего			равенства:
со	я	г	Т	оо	п
j	2 av	2 U СО ^ (О (т ) dx = J ft* (т) dx		J	2 av	X
—оо v=0		ц=1	0	0	v=0
		x 2 bl W w l V - 0 ) b ( 0 - T i ) d 0 -					( J 0 8 )
Рассматривая равенство (108) как тождество, как						и	ранее,
находим	(п+1)г ограничений		на импульсную переходную				функ
цию k*(x),	которые являются		такими же, как		и ограничения

(94). Если выполняются условия (94), то ошибка воспроизведе

ния и среднее значение квадрата

ошибки

описываются форму

лами (101) и (102). Решение

вариационной

задачи

приводит к

интегральному уравнению относительно функции k*(t),

обеспе

чивающей

минимальное

среднее

значение

квадрата

ошибки

(102):

\ [Rm (х -

0) +

Rn {х -

0) +

Ru (т -

0)] k* (0) dQ =

2 У] УІ bl

(T) +

Ті) + f R'n

V=0

ц=1

+ R'a {x +

(x — 0 +

T a ) x (0) dQ;

0 <

T <

(109)

Можно

показать,

что

решение

интегрального

уравнения

(109) имеет вид

A* W =

6*(т) +

В, e V

V £

; б <

/ >

v = 0

ц = 1

і=1

/=0

+ 2 Dj 6( / )

(т -

Г) +

(р) Z* (р) М~* (р)

Х М * - 1 (р)

Rm(x—Q

+ ТІ) X (0) dQ +

(т +

T l )

0 < т < 7 \

Порядок определения

неизвестных

А^,,

В І,

и £>j

остается

прежним.

В более общем случае, когда заданная функция времени

может быть представлена формулой (55),

среднее

значение

квадрата ошибки

описывается

выражением

(102). При этом не

обходимые и достаточные условия заключаются в том, чтобы импульсная переходная функция удовлетворяла интегральному уравнению.

	([R'm		(т -	Є) +		R'n (т -	9) + R'u (Т -	Є)]ft*(Є) dQ =
	о
	г	S
=	2	S		T v	e""*''1 cos оо,т + 2 2			^e _ a ' ' s i n W 'T +
	i =0 V=0						' = 0 v=o
+	J R«(T +		T 1	) +	J	Rm(x — Q + x1)x(Q)dQ,			0 < т < 7 \
					—CO
Этому интегральному уравнению удовлетворяет импульсная
переходная		функция
		£=0 V=0					1=0 v =0
			4
- f V Bt	exix	+	2	£ у в ( / )		(т) -f- v D; - 6( / ) (x-T)+L			(p) L * (p) M - ^ ) X
£=1			/ = 0				y'=0
X ^ " ' ( P )			J	/ ? ; ( T - 9 +			T1 )x(e)de +	^ ( T	+ T1 ) , 0 < т < Т .

Выше рассматривался вопрос определения импульсных пе реходных функций систем, имеющих только последовательное корректирующее устройство. Перейдем теперь к рассмотрению того случая, когда техническими условиями предусмотрено нали чие в системе как последовательного, так и параллельного кор ректирующего устройства.

4. СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ
КОРРЕКТИРУЮЩИМИ		УСТРОЙСТВАМИ
Рассмотрим	задачу оптимизации,		отличающуюся					от
ранее рассмотренных	лишь	тем, что система	содержит			не одно,
.а два корректирующих устройства: последовательное					корректи
u(t)		рующее	устройство			с	пере
		даточной функцией				WK(s)		и
		параллельное		корректирую
		щее устройство с передаточ
		ной функцией		Wn{s) (рис. 5).
		По-прежнему,				ошибку
		воспроизведения			полезного
1Рис. 5. Система с двумя	корректирую- сигнала		определим				путем
щими устроист-ами		сравнения» выходного					сиг-
		нала искомой		оптимальной

•системы	с	выходным	сигналом	некоторой идеальной	системы
(рис. 6).
Согласно этой схеме преобразование Лапласа для ошибки
ммеет вид
Е (s) =	Hg	(s) G (s) +	H(s)M (s) -	1 + ^ ; У м ! г д ( Д )	[G(s) +

M(s)

+ N(s)]

W„ (S)

1 + WB (s) W0 (s) W„ (s)

[Я _

(s) G(s) +

H(s)M

(s) -

F 0

(S ) С/ (S )]

1 + WK (5) W0 (s) Wn

(s)

(s) W„ (s) W„ (s)

(s) + M (s) +

N (s)

-Hg(s)G(s)-

+ WK {s) W0

(s) Wn

(s)

— H(s)

M(s)

P(s)-

1 +

(S) WO (S) Wn (s)

WK (S)

(s)

(110)

1 +

WK (s) W0

(s) W„ (s)

y ( S

)

где

P (s) =

(s) G(s)+H

(s) M (s) -

(s) U (s);

(111)

Q(s)=

° ( 5

) +

У (

} 5 Г (

5 )

-Hg(s)G(s)-H(s)M(s).

(112)

tftthmtthnq)

aft}

xft)

£0J

да

m(t)

Н(Ё)

Рис. 6.

Расчетная схема для системы с дву

мя

корректирующими

устройствами

Если теперь принять, что передаточная

функция

эквивалент

ной замкнутой системы

равна

У ,

( . )* . ( . )*„(,)

1 +

WK (s) W„ (s) W n

(s)

то задачу

определения

импульсной

переходной

функции

k{t)

можно решать способами, изложенными выше, пользуясь рас

четной схемой рис. 3. Однако в данном случае							эквивалентный
полезный	сигнал P(t)	и эквивалентная помеха					Q(t) определя
ются соотношениями (111) и (112).
В самом деле, преобразование Лапласа для ошибки воспро
изведения	(см. рис. 3)	с учетом		формул		(111)	и	(112)	имеет
вид
	E(s)=*P(s)-<b(s)[P(s)				+	Q(s)] =
= Hg (s) G(s) + H (s) M (s) -			1	+	j r ^ (	g V n (	, )	t G ®	+
	+ M(s) + N(s)] - l +		w J }		\ i S X W n { s )		U (s)		(114)

Зак. 1249

Сравнивая формулы (ПО) и (114), видим, что они совпа дают полностью, поэтому для расчета оптимальной импульсной переходной функции k(i) можно пользоваться схемой, изобра женной на рис. 3.

В соответствии со схемой			рис. 3 и с учетом		формул	(111) IT
(112) можно написать
e(t) =	P(/)-r\lP(f-T)	+	Q(t-T)]k(T)dT	=	Hg(p)g(t)	+
	о
	Т		Г	со
+ Н(р)m(і)	— \ и{t — x)b (т) dx + j ' к (т)dx \ и(( — х — a)b(а) da —
	. о		'о	'о

Гсо

— \ к (т) dx \ \g(t — т — а) -j- m (t — т — о) -j- п {t —- т — о)] Ьп (а) do,

оb

где Ь(х) и Ьп(х) являются импульсными переходными функция ми, соответствующими передаточным функциям

W0(S) н

Требование равенства нулю среднего значения ошибки, если g(t) —полином степени г, приводит к выражению

Не (р) (0 = f к (т) dx Jg		(t - х -	a) b„ (a) da.	(115)
"о	о
Рассматривая равенство	(115) как тождество и			пользуясь
рассуждениями § 2 настоящей		главы,	получим (г-\-\)	ограни

чивающих импульсную переходную функцию k(t) условий (79),

которые определяются из системы уравнений							(80) путем	замены
Ь(х)	на 6„(т) и /г*(т) на k(x).
С	учетом		ограничений (79) ошибка			воспроизведения		опреде
ляется формулой
е (/) >.*		со	/// (/ • - t) и (i) <h		со		Г
е (/) >.*		(	/// (/ • - t) и (i) <h	--	\ и (/ — і} Ь ( г ) dx -і- ( k (IJ а с				х
	—со				0		0
X (f и {t — х — a)b (a) da — J				[m {t—т — a) - f п (t — т— а)] 6Й					(а) dcr).
lb			b						I
									(116)
Возводя		в квадрат ошибку			(116) и усредняя ее, получим
8С2К - j		к (т) dx j /?и (т -		6) к (9) d8 +		j" 6 (т) dx [ Я„ (т -		Є) X
	—со		—оо			0	0
		7*	оо	со	Т

X 6	(9) dB - f J /г (т) dr f *(a)rfaf 6(v)dvJ				/?„ (т -f- a — v — 0) /e(G) d6+
T	b	b	b	о
T	со	со	Г
+ Їft(T) dx j 6„ (a) da \ bn (v) dv \ [Rm				(x - f о - v - 0) + Ra (x + a -
o	b	b	b

		Г		со		со
—V—0)] /г(0) dQ -		2 [ k (т) dx )' b (a) da \ Ra					(x +	a — 0) 6 (0) d0
		b	o	b
	7*	со		CO
— 2	[ /e (T) dx ( bn		(a)	da j'	Rm (x +		a - 0) x (0) dQ.
	b	о		b
С учетом обозначений			(19), полагая, что
		со
Я т ( т ) =		1' i?,„(T-!-a)b; J (a)da;
		О
		со		со
Яп (т) =		\| 6„ (a) da j			(х +	о -	v) Ъ„ (v) dv;
^	(т) =	\|" 6„ (a) da		\ Rn	(х +	а -	v) 6Я	(v) dv,
		о		о

среднее значение квадрата ошибки можно представить в виде

	со	со	Rmix	-				Г
*« =	, j	х (т) rfT j	Rmix	-	0) к (0) d0	+	Л в (0)	-f- J /г (x) dx	X
	CO	— C O						0
X	] Ru	(T - 0) k (0) dQ -'- ] k (T) dx ]				[R'm	(x -	0) -i- /?; (x	-
	о			b	b
	— 0)) /г (0) dQ — 2 r\R'і /?„u{x)k{x)dx(x A: (x) dx——22) j', k (x) dx X
				b			о
		X	!	&«(T — 0)x(0)d0.					(117)

Далее, решая обычную вариационную задачу, получим не обходимое и достаточное условие для минимума среднего значе ния квадрата ошибки (117) при ограничивающих условиях (79) в виде интегрального уравнения относительно импульсной пере ходной функции k(t).

Т\ [R'm	(т — 9) -f- R'n (х - 0) + R'„ (г -					0)] k (0) d0		=
о
r	»	'	0 0	*	0) x (0) dQ,		0 <	X < T.	(118) .
= 2 Ъ т ' + R"		W +	I	(т -	0) x (0) dQ,		0 <	X < T.	(118) .
1=0			—со
Полагая, что корреляционной					функции
		#Ф (г) = # т (т) +			Ял (г) +	#«(т)
соответствует	дробно-рациональиая спектральная плотность
(24), можно	показать,		что	интегральное		уравнение		(118)	имеет
решение
								з*	67

k (т) = л ;		Ait1	+	V Я, e V + V		Ej б( / )		(т)	+
	i = 0			(=1	/=0
v	D-. б, ; )		(т -	Г) +	L (р) /_* (р) М - '			(р)	X
X М*-' (р)	\|- /?П І (т —6)х(9)гіЄ -\|- /?,'					(т)	,		0 < т < 7 \
Д ЛЯ определения		неизвестных			Л,-, В,-, Ej и Dj поступаем точ
но так же, как и раньше.
После того	как	определена			импульсная		переходная функ

ция, нетрудно, пользуясь формулой (ИЗ), найти передаточную функцию корректирующего устройства WK(s). Аналогичным об разом можно подойти к решению задачи и в том случае, когда воздействие g(t) в виде заданной функции времени может быть представлено выражениями (45) или (55), и при определенных условиях получить некоторые частные случаи. Решение данной

задачи можно	выполнить, если известна либо	передаточная
функция Wn{s),	либо передаточная функция	WK(s).

5. ОПТИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЕ ИНТЕГРАЛЬНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ОЦЕНКИ

Рассмотрим задачу определения оптимальной им пульсной переходной функции при наличии ограничения на ха рактер переходного процесса в виде заданной величины инте грала от квадрата динамической (систематической) ошибки, т. е. в виде интегральной квадратичной оценки:

J	= j el (/)	dt.
	CO
Итак, задача формулируется следующим образом: по за
данным корреляционным	функциям	Rm{x),	Rn(x),	Ru{x),	вре

мени переходного процесса Т, коэффициентам ошибки С,-, инте гральной оценке / и передаточной функции W0(s) найти им пульсную переходную функцию системы так, чтобы обеспечи вался минимум среднего значения квадрата случайной ошибки. Используя результаты § 1—2 первой главы, найдем ограничения, накладываемые на импульсную переходную функцию коэффици

ентами ошибки СІ и оператором			воспроизведения Н { р ) , опре
деляемые	формулами (14)	или	(15) — (16),	и выражение	для
среднего	значения квадрата	ошибки в виде		равенства (18).	Со

ставляющая ошибки от сигнала в виде заданной функции вре

мени g(t) определяется	равенством
со	г

є , ( 0 =

J g{t-x)-Ks{x)dx-)g{t-T)k{T)dx.

(119)

На основании выражения (119) интегральная оценка при нимает вид

j eg (t) dt	— j '	dt	j'x,,(x)dx ]	g(t — x)g{t	— Q)Kg$)d&	—
-2\k(x)dx			\ g(t-T)g(t-Q)Hg(Q)dQ		+
	0	- c o
+	]k(x)dx]g(t		— x)g(t	— Q)k(Q) dQ

о0

Введем обозначения [29, 50].

G ( T ) = j g{t-x)g{t-Q)dt;

тогда

J = j xg(x)dx J G(x — Q)xg(Q)dQ — 2§k(x)dx j	G(x — 6) x g (8) dQ +
+ j k (T) C?T j G (T — 0)Je (8) d%.	(120)

Для определения импульсной переходной функции k(x), об ращающей в минимум среднее значение квадрата ошибки (18) при выполнении ограничений (14) и (120), необходимо соста вить функционал

J K = ^ 2 K - 2 y i y l l i i + y]J.

Придавая	вариацию	импульсной переходной	функции k(x)
в виде AV(x)	и выполняя обычную операцию по отысканию экс-
		91А I
тремума функционала,		т. е.——\|д=о ==0, получим	необходимое

и достаточное условие для минимума среднего значения квад рата ошибки в виде следующего интегрального уравнения отно сительно импульсной переходной функции k(t):

]\Rm	(х -	Є) + Rn	(x -	0) +	R*u (x -	0) +	TIG (t -	0)] k (8) dQ =
= S Yi%i	+	К CO 4- j [/?,„ (T -			6) x (0) dQ -h		J ліС (T - 0) xf f (0) d0,
			CO				CO
				0 < т < 7 \				(121)
Если	выражению		/?ф	(т) =Rm(x)		+Rn(x)	+Ru	(x) +T\|G(T ) соот

ветствует дробно-рациональная спектральная плотность S<p (со) (24), то интегральное уравнение (121) имеет решение

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 257 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ