книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

Если

корреляционная

связь

между

полезным

сигналом

m(t)

и помехой

n(t)

отсутствует, то

осредняя последнее

выражение

получим среднее значение квадрата ошибки

_

со

со

Rm(uQ

— а Є ) х ( а Є ) - 2

Л'

k(uQ)X

Е ; к

=

V

и («в)

v

V

(1 =—СО

в— —СО

,

11 = 0

со

N

со

X

V

Rm

(ив

-

об) х И ) +

V k (ив) V

\Rm

(ив _

ив)

+

ст=—со

и=о

<т=0

+

/?п (ы6 —ав)]А(ств).

(145)

Далее задача состоит в том,

чтобы

найти импульсную

пере­

ходную

функцию

к(ид),

обеспечивающую

минимум среднего

ничений

(143)

или

(142).

С этой целью составляем

функционал

^ = е ? « - 2

Ь л -

( 1 4 6 )

( = 0

Придадим в нем

импульсной

переходной

функции k(uB)

ва­

риацию

цг(ив).

В результате

получим

со

со

N

Л,

=

2

*

И )

2

Ят

(ив -

ов)

х (<т6) -

2 V

[ті? ("9) +

11=—со

о=—со

М=0

+

к(ив)\

2

^ m ( " 0 - c T 0 ) x ( a 0 ) + v [T]Z(„.0) +

A(U 9)]X

(У=—со

и=0

со

X

2

И

~

ст0)

-г

И

-

о-в)]

[k (a0)

+ гіг (ов)]

~

С=0

- 2

2

V,

2

(иву[к(иВ)

+

гр(ив)].

j = 0

ц = 0

Выполняя

операцию

=

0,

получим

необходимые и

до-

I 11=0

статочные

условия,

которым

должна

удовлетворять

импульсная

переходная

функция

k(uQ)

в виде

интегрального

уравнения,

обеспечивающая

минимум среднего

значения

квадрата

ошибки

2 [Rm

("9 -

О-0) + Rn

(ив

-

<хЄ)] k (ов)

=

о = 0

=

2

Rm ("9 -

Ов) X (Ов) +

2

Уі С"0)'-

( 1 4 7 )

а=—со

1=0

В случае, если корреляционной функции Rq, (ив) =Rm(ue) +

+ /?n(«9) соответствует

дробно-рациональная

спектральная

плотность от z (функция

z=e s 9 )

a/z' + o ^ j z ' ' + . . . + oiz + a0 +

uxz-i-I- .

. .+aiz~l

M (z) M* (z)

L(z)L*(z)

то можно показать, что корреляционная

функция

стационарного

(148), связана с функцией

Грина соотношением

# (ив — v8) =

М (Д) М* (Д) G (г/6 — v6),

(149)

L (Д) L * (Д) G (ив — v8) = 6 (ы8 — v0).

(150)

2 М (Д) М* (A) G (ив — ав) ft (оВ) = 2 Rm

(иВ —ств)х (ст8)

+

а = 0

а=—со

+ 2

УіШ

или

1=0

Л4(Д)М*(Д)

V

G(uB — ов)к(иВ)

=

2

Я*. («9 .—

о = 0

а=—со

_ аЄ)х(оЄ) +

2 ^("0);-

1=0

Решение разностного уравнения порядка 2ft можно предста­

вить следующим образом:

N

г

k

2 G (ив -

ств)ft(o-Є) =

2 At (иву +

2 Bt dll +

<j=0

i'=0

:'=1

+

Л Г 1 ( Д ) М * ~ 1 ( Д )

2

Rm№ — сгв)x(09),

(151>

где d,- — корни уравнения

C=—CO

M(di)M*(di)

=

0.

Применяя

к обеим частям

уравнения (151)

оператор L ( A ) X

XL*(A)

на основании формулы

(150), получим .

г

2k

q

q

k (ив)

= 2

A i ("Q)' +' 2

Bid<

+

2

E

A

' 8 ("6)

+

2 D i m ("e

-

1=0

1=1

/= 0

/=0

— yV0) +

L ( A ) L * ( A ) M - ^ (Д)М* ] (Д )

2

Ят(ив

— ав)%(ав),

(152)

0=—со

Неизвестные

коэффициенты,

входящие

в

импульсную пере­

ходную функцию k(uQ) из выражения

(152), определяются в

следующем

порядке.

Подставляя

импульсную переходную

функцию

(152)

в урав­

нение (147)

и ограничивающие условия

(142), получим

2/ + /-+1

уравнении для определения неизвестных В(, А{, Е:„

D}.

Совместное

решение г + 2/+1

уравнений

дает

возможность

определить

эти

неизвестные,

входящие

в

импульсную

переход­

ную функцию (152).

Bi, DJ II EJ в выра­

Подстановкой найденных

значений

Л,,

импульсной переходной функции k(г/0),

обеспечивающей мини­

мум среднего значения квадрата ошибки.

Решим задачу для следующих исходных данных. Пусть

ё (Ю) = с?о + 8х т + й (/О)2; R M (/0) =

0; R„ (/0) = С2 5 (/0)

ft (ив)

= А0 + А (ив) + Л,

(иву.

Подставляя

импульсную

переходную

функцию

k(uQ)

в

уравнение

(147),

получим

v

С-6 (ив -

об) [А0 4-

AL (а0) + А.г

(иву-}

=

ї

о + V

l

(ив)

+ у,

(«Є)2

C-Aa

+ С-А,

(ив)

+ C M 2 (иву- = Yo +

Yi (ив)

+ V* И ) 2 -

Отсюда, как из тождества, находим неопределенные множители Лагран-

жа Yo. Yi н Y2 в виде уо=С2 -40 , уі=С 2 Ль

> 2 =С 2 Л 2 .

Интересно заметить, что если Rm(lQ)=0,

то

на

основании

формул

(145)

и (147)

можно записать

е« = 2

2

Я„ И

~

об) ^ (ив) ft (огб);

(153)

u=0

cr=0

2

Ra

(ив —

ов) ft (00) =

2

У і (ив)1.

(154)

o=0

i=0

Подстановка

интегрального уравнения

(154)

в выражение

(153)

дает

4 = S

ІЗї;(и9)''*("9) =

І №

=

Е

^ - І>(-і)'q.

ц = 0 £=0

[=0

1=0

1=11

В данном случае г2ск

=C2(A0+CiAt—С2Л2).

Для определения неизвестных А0,

Ау,

А2

подставляем

импульсную

пере­

ходную функцию k(uQ)

в ограничивающие условия

(143):

N

1 = 2 [At + Аг (иВ) + Л, (иОУ) =

(N +

1)

NBAt

(/V +

1) А0

+ ^

J

l

J

}

+

+

/ V ( W + 1 )

(2/V+1)

0M2 ;

d

=

> j

не [ Л 0 +

ЛІ («Є) +

Л ,

(«9)*] =

QV+1)A'Q

Af(A/+

1) ( 2 # + ! ) „ . ,

, J V ^ V + 1)»-

W W 4- П (2/V -і- 1)

c-- = 2 u ( " G ) 2 M o

+

Л і ( " 0 ) +

A i

( " G ) 2 ] =

6 —

0 M °

u=0

+

'—

&>Ar + — — — — 4

^

' ем ,

4

3 0

Решая

совместно

полученную

систему уравнении,

находим

3

(2 + 3N + ЗУУ2) О 2 — 18 (1 +

2УУ) 6 C T

— З О С ,

Л

о =

(/V +

1) (Л'2 -|- 5N+

6 ) О2

1

18 (1 + N — 2 Л ' 2 ) + 6 ( 3 2 N 2

+ 4 W — 6 ) С Г 0 + 1 8 0 Л / С 2

Лі =

N(N+\)

(Л" + 4iV2 - f N — 6 ) 0з

л 2

=

30/VQ2 (N — 1) — 180)V8Ci — 180t?g

JV (JV +

1) (Л'з -і- 4/V2

-I- N — 6 )

0~

Пусть

теперь

/?m (/6)=0;

Rn(lQ)=e

а

Щ

;

Я(Д) = 1;

Я,,(Д)= 1—СГ Д;

£(/0)

= £o +

gi (/Є).

Для корреляционной

функции

Rу

(IQ )=R„

(IQ)

запишем

спектральную

плотность 5 ф

(со):

S9 (г) -

Sr t

(г) =

2 = _

— 2 sh ct0z

=

_ 2

— 2 sh «0

- i

'

2

с Ь а Є

2 + 1

z

c h

a e +

z

и поэтому

/=1,

А=0,

9=0,

й(и0)=Ло+Лі(нО)+£о б(и0)+£»об(«0—JVG),

0<«s£JV.

Для определения

Ло, Л|, £ 0

и Do подставляем

/г(«0) в интегральное урав­

нение (147). В результате получим

N

У

е-*

I " G - a

0 I [Л0

+

Лх (об) -j- Е08

(ов) +

А.6 (ав -

/V0)] =

у 0

+ Ъ (ид),

0 <

« <

JV.

Найдем каждую сумму в отдельности:

1)

и

е„--« і »\ «0О--оо9 б1 |

/Гг-06с (о0), „ , ц =

£р„„<-Гаив .

а=0

2)

е~а

1 "° - а

0 1

£)„6 (00 -

Л'0) =

D0e~a

1 "Q-'vo

1

;

Л'

и—Л'

0

я—Л'

3)

v - 0 " " 8 " 0 0 ' = 5 ] л „ с - а ^ 0 і = л 0

2 ] < r - a 0 v - і - л „

^ c o 0 v =

о = 0

V=H

v = «

v= — 1

e a 9 _ 1

л и .

-ави

А0е

-aO(u-N)

де

, ,

ЛіОеа 0

4) V Лх (00) Є - а І я О - о О І _±

~1

Аі (нв) +

о=0

( e * ° - l ) 2

еа0

+

1

е а 0

+ 1

То = - 7 7

Г"Л о

"

Yi = - T ^

~Ai

e a 0 - l

и два

уравнения

для

определения

неизвестных А0,

/її, Е0

и

Д>:

е а д

- 1

+ £0 +

:0:

„осв.

1

е « 0 _ 1

~

( e * 9 - l ) 2

D o

=

0.

Два других

уравнения

получаются

из

ограничивающих

условий (143)"

(N+l)Ao+

N

(N4-1)0

DQ =

1;

J

'

Ах + Е0 +

/V(W+1)

Л' (ЛГ +

1) (2N4-

1)

2

'

6

Решая

совместно

систему

четырех

уравнений,

находим

постоянные

Ао

Л і, £ 0

и D0 .

Л0 , А\, Е0

Подстановкой найденных

значений

и Do

в

/г(«0) заканчива

ется процесс вычисления оптимальной импульсной

переходной

функции.

вое

В

том

случае,

если

функция

времени

g(/0)=O

ошибку

сать формулами (144) и (145) соответственно. Положив в

выра

жении

(145)

N=oo,

получим

оо

* оо

оо

со

<& =

S

2

Я т И - а Є ) и ( а . Є ) - 2 2

* ( « 6 ) £

Rm(uQ-

U——со

0 = — с о

и=0

С=—СО

• а 8 ) х (ав) + 2 * И) Ц ^« ("9 - 0 0 )

+

("9 — а 9 ) 1

* ( а 9 ) '

времени переходного процесса NQ найти импульсную

переход­

ную функцию системы ft(/0) так, чтобы обеспечивался

минимум

среднего значения квадрата ошибки [39].

со

N

g(lB — uQ)k(ud)=.

0.

(157)

2

g(/B — нв)и(ыб) — V

u=—со

и=0

С

учетом

формулы (156) последнее

выражение

перепишем

в виде

со

п

N

п

V

v av Pv

(IB — «О) х (u6) — 2

2

av р*

(/0 — u Q ) k ("e)

= °-

(158)

u=~ со v=0

« = 0 v=0

Pv (/в -

«0) = 2

bl (нб) Ч'* (/0).

(159)

Тогда с учетом формулы (159)

выражение

(158)

можно пере­

писать в следующей

форме:

со

п

г

Ъ

Ъ a v 2

&>Є)Ч^(/Є)х(и8)

=

//=—со V=0

Ц=1

=1 І av

2 b l («Є) ^

(/0)ft(/0).

(160)

Последнее тождество

определяет

(n+l)r

ограничений на

Q £ = 2

Ь1(иВ)Цив),

v =

0, 1, 2, . . . ,

л;

ц = 1, 2,

. . . , г.

Если

тождество

(158)

удовлетворено,

то

ошибку

воспроиз­

ведения можно записать в форме

е (/0) = Я (А) т (В) — 2

[т (/0 — ив) +

п (1В — ив)] ft (ив) =

= 2

m (/Э — ив) х (ив) — V [т ('9 — "в) +

п (IB — иВ)] ft (ив).

—со

ц = 0