книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

со

со

- - ^ Ч А (о)

do

f

[ Я ш п (т +

а - 6) +

Raa

(т +

а -

8)] /г (8) d9 +

л

О

'о

і

оо

со

+ —\k

о

(a) da f

[/и*Яв

(т +

о - 9 )

+

й „ ( г і а - Є )

R

( т + а - Є ) +

л "

о

+

Ravc(*

+ °-Q)Rvea(*

+ G-Q)]

k{Q)dQ.

'

(2 87)

Обозначая

в

уравнении

(287)

совокупность

всех

известных

•функций

через

/?Ф(Т), приходим

к

записи

интегрального

урав­

нения

(287)

в

форме

Rvc

w = # Ф ( т ) + 4 - Г k

& d a

х

fо ^ 0

л "

b

X

+ а — Є)

(т Ч- or — Є) ^ (Є) dG.

(288)

Из

интегрального

уравнения

(288),

пользуясь

способами,

изложенными выше, определяем Rv

(0).

Зная

RVc

(0),

находим

дисперсии

сигнала

ошибки и

выход­

ного сигнала

по

формулам

со

R*c

(0) =

RVe

(0) -

Rm

(0) -

Ra

(0) +

2 f

[Rm

(0)

+

b

+ Rn

(0)] k (6) dQ -

2 m * J [Ram

(8) +

Я Й П

(0)] k (0) d0;

A

о

Rec(0)

=

RVc(0)-Rn(0).

k (t) =

кё~*.

жимах работы системы.

П е р е х о д н ы й

п р о ц е с с

п р и е д и н и ч н о м

с т у п е н ч а т о м

в о з д е й с т в и и .

В

соответствии

с

формулой (269) преобразование Лап­

ласа для среднего

значения ошибки

в переходном процессе равно

Рис. 11.

Структурная

схема

м о д е л и р о в а н и я

системы:

1 — генератор

случайного

напряжения;

2 — формирующий фильтр;

3 — задатчнк

входных воздействий;

4 — сумматор; 5 — электронный пе-

ремножнтель;

6 — делитель

напряжения:

7—усилитель;

8 — сумматор;

9 — модель передаточной

функции

разомкнутой системы; 10 — модель

замкнутой

системы;

И — осциллограф

В данной системе при Ra(x)

=R2a е

а | т | и м е е м

G (s) =

—

;

5

1 _

ф (S ) = •

s +

V — k

s + y

y(t)=R(l(t)k(t)=Rlke-<a+Vi

при

t>0;

Y

Is) =

Rlk

s+a

+ y

следовательно,

s +

y~k

s(s

+ y)

1

A2

(s +

V)(s + Y + « ) .

(s + y — k)(s+y

+

a)

(289)

s

(s +

У) (s +

У + a) —

A2

Этому выражению соответствует функция времени

т£

(0 =

С 0 +

Сів-*-»* +

С,е~^\

(290)

где X] и Яг — корни

знаменателя

выражения

(289);

С0=т&—установив­

шееся значение ошибки.

(291У

(S + 2XX) (s -І- ХІ + Я») (s +

2X.) ( s - I - 2y —

k-

Дисперсия ошибки, как функция времени, есть обратное

преобразование

Лапласа от выражения

(291) н имеет вид

Re (і, і)

D^-V'1 + Do e~p =' + D3 e-№ + 2 V - f

V >

(292>

где Р,- — корни знаменателя выражения

(291).

Рис. 18. Экспериментальные записи ошибки

На рис. 19 показана кривая дисперсия ошибки, построенная по формуле

(292), для

случая R\ =2,

а

также нанесены

точки,

полученные эксперимен­

тально путем осреднения

по

совокупности

40

записей

переходного

процесса.

В

астатической системе

дисперсия

ошибки

в

переходном

процессе

стремится

к

нулю.

В статической

системе

дисперсия

ошибки

стремится к

установив­

шемуся значению, которое

равно

С

СО

*а (0) dQ

т2

—

(

2V

Ке. (°) =

-

А-

о

(293)

k- (0) dQ

А-

о

Л2

'

2 V

На рнс. 16 построены кривые

(0),

и точками нанесены резуль-

таты, полученные при моделировании.

Д и с п е р с и я

и с р е д н е е

з н а ч е н и е о ш и б к и

п р и с л у ч а і'і-

н о м в х о д н о м с и г н а л е.

При подаче на

вход системы случайного сигнала m(t)

с корреляцион­

ной функцией Rm(x)

=M2e~ix ' т ',

некоррелированного с a(t),

средние значе­

Ml

1

і

IB

12

7

1

?.,5 і.сек

0

0,1

2,0

0,3

0,4

0,5 Cj

Рис.

19. Сравнение

теоретических

Рис.

20.

Сравнение

теоретиче ­

и

экспериментальных

данных

в

ских

и экспериментальных

дан ­

п е р е х о д н о м

р е ж и м е

ных

в

установившихся

р е ж и ­

мах

Дисперсия ошибки в установившемся состоянии определяется формулой

(262), которая в данном

случае принимает вид

Rm (0) - 2 |

Rm

(0) k (0) dO +

I k (a) da \ Rm(a-

0) k (0) «/9

# £

(0)

=

о

о

b

If- (a) da

Л2 b

/VI2

k2

— 2ky 1

V (.« -'- V)

ft2

2y

На

рис. 20

построена

кривая

относительной

дисперсии

ошибки RB(0)

в функции С~

и показаны

точки,

полученные

экспериментально.

Согласно

формулам

(283) — (285) при подаче

на

вход

системы

случай­

ного

сигнала,

коррелированного со

случайной

составляющей

коэффициента

—— і k (a) da

Rma (в) А (в) dd~Rmn

(0)

1

A2 •j

k(a)da{

Ra(d)k(e)de

Система исследовалась в следующем режиме: на вход подавался сигнал

m{t) с корреляционной функцией

Rm{x)=M4~fl

, т , ;этот же

сигнал,но ослаб-

atn

в

виде

ai

структурной

схемы,

и представить его

эквивалентной

показанной на рис. 22, в.

Для системы

со

структурной схемой, показанной на

рис. 22, а — б, может

быть

решена задача

определения

средних

нала x(t)

и ошибки

е(^)

воспроизведения

полезного

сигнала

g(t)+m(t).

На основании

результатов, полученных

в

§

1—3

данной главы,

решим

задачу

в предположении,

что Ui(t)

отсут­

ствует.

Обозначим

передаточную

функцию

замкнутой системы

с по­

стоянными параметрами [Л(ґ)= . 4] через

Ф(я), соответствую­

щую ей импульсную

переходную

функцию

через k(t)

и найдем

выражения

для всех

kpa(t),

входящих

в

полученные

выше

формулы:

®xm(s)

=

Ovm(s)=<X>(s);

* г * (/) =

*«,» (0 = *(');

(295)

Фхи(з)

=

Фг,и(з)

=

-Ф(з);

Уравнения

kx„(f)

=

kva(t)

=

-Ht).

сигналов,

когда

(220) — (221)

для

исследуемых

записать следующим образом: x(t) =и(ґ) .

х(і)

= тх

(0 -г хе (0 = f [g (Є) + т (Є) +

п (0)1 k (t - 0) dQ - f a (8) X

b

b

X[mx(Q)+xc(Q)]k(t-Q)dQ;

є (0 = тг

(t) 4- є, (0 =

g(t)

+ m (/) -

\ [g (0) + m (9) + n (Є)] X

b

X

k (t — 0) dQ + J a (0) [mx

(0) 4- xc

(0)] k (t — 0) dQ.

о

Будем

считать

приложенные

случайные

воздействия

m(t)

и

n(t) стационарными,

связанными

с

a(t)

корреляционными

ФУНКЦИЯМИ Ramif)

И Ran ( t ) . Определим

СреДНИе ЗНЭЧеНИЯ

СИГ-

налов x(t)

и s(t):

тх

(0 = $g (0) k (t -

0) dQ — f R a r

(Q, Q)k(t — Q) dQ;

(296)

тг (t) =

g (0 -

f g (0) k (t - 0) dQ +

f R

(0, 0) k {t - 0) dQ.

(297)

b

b

Начальная

ордината

взаимной

корреляционной

функции

Rax

{t, т),

входящая в

формулы (296) и (297), на основании

выражения (234) определяется интегральным уравнением:

R«*c

С

О

= f \Rma

(' - 0)

+ Rna

V - 0 )1

k(t-Q)dQ-

0

-

[Ra

(* -

0) k (I -

G) dQ

{g

(v) ft (9 — v) dv

+

о

b

+

\ Ra (t-Q)k(t-

Q) dQ " /^я .Г с

(v, v) ft (0 -

v) dv.

(298)

'о

о

c

Преобразование Лапласа для Raxc(t,

t), являющегося

реше­

нием

уравнения

(298)

в

соответствии

с формулой (235),

равно

Sat(s)

=

-

,

(299)

а х с w

1 _

ф (S ) Y(s)

V

'

где Saxc(s),

F(s),

G(s),

Y(s)—преобразования

Лапласа,

со­

ответствующие

функциям

времени

RaXc

С

')»

/ V) =

\Rma ( 0 +

Rna (OJ * ( О

П Р" < > Oj

S<t),

y{t)

=

Ra(i)k{t)

П Р И ^ > 0 .

•средних значений выходного

сигнала

x(t)

и

ошибки

s(t):

G(s)<b(s)

—

—F(s)<b(s)-

Мх (s) = G (s) Ф (s) — S a x

(s) Ф (s) =

^

;

X W

V /

\ /

В Л с w

w

1

— ф (S ) К (s)

M£

(S ) =

G (s) [ 1 -

Ф (s)] +

Sa.,c

(s) Ф (s)

=

1

G (s) [1 — Ф (s)l — G (s) Ф » К (s) +

—

f

(s) Ф (s)

RXc (t, t) = RXo (t, t) + bRXe {t, t).

(300)

Rx0

(t, t) = f k (9) d0 j [Rn (9 - v) + Rn{Q - v)]ft(v) dv; (301)

о

0