книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

AR

(*, t)

= -

2 \k (O) dQ f mx

(v) [Rmg

(0 -

v) +

R„a

(0 -

v)]

X

b

6

X

k (v) dv +

j' k (0) dQ \ [m,

(/ - 0 )

mx

(t -

v) Ra

(0 -

v) +

Ra(B

— v) X

0

0

.

X

tf.Vc

(* -

0, / -

v) +

/?в д .с

(/ -

0,

t

-

v)

tf,cfl (/ -

0, t -

v)] /г (v) dv.

(302)

Дисперсия сигнала ошибки выразится на основании урав­

нения

(232)

следующим

образом:

Rtc

(t,

t)

=

R,0

(/,

t)

+

&REc

(/,

/),

(303)

где

Re» (t,

0 =

Я г а (0) +

Я,„ (/,

0 -

2 f /?,„ (0) k

(0) d0;

(304)

b

ARSc

(t, t)

=

ARX

(t,

i)

+

2

f tnx

(t — 0) Rnm

(0)

k

(0)

d0.

(305)

В уравнения

(300) — (305)

входит

взаимная

корреляционная

функция

Raxc {t,

т),

которая

на основании

формулы

(228)

равна

Я « с

С

т) =

f [# a m

(/ -

т -

0) +

Ran

(t -

т -

0)] к (0) d0

-

о

—

\ mx

(t — 0) Ra

(0) /г (0) dQ.

(306)

b

Таким образом, поведение дисперсии выходного сигнала и

сигнала ошибки определяется интегральными уравнениями

(300)

и

(303).

Перейдем к рассмотрению некоторых характерных случаев.

На систему действуют только случайные сигналы m(t)

и

n(t).

В

этом

случае

на

основании

формул

(296)

и

(297)

получим,

тх=—°\

Rax

(0)

к (0)

dQ;

тй

=

f

R^

(0)

к (0)

dQ =

-

mx

b

°

b

c

и

CO

CO

R°*c <°> =

J' lR™

^

+

R"" ^

k

( G )

d Q

-

m *

f

0

^ / ?

<Є>

d Q -

о

со

С [Rma (О) +

Кпа (9)1 k (0) dQ

Rax(0)

=

- ±

1 — j'

k (a) da

j' Ra (0) k (0) d0

(' A (a) da

j' №,! a (0) +

^a (0)]/e(9)d0

m, = -

^

5

.

(307)

- l

CO

CO

'

1 — f k (a) da j '

#a

(0) k (0) dO

'о

о

(247) и

(248) общего случая, если в них положить RUla ( т ) = 0

и учесть

равенства (295).

выходе системы является наличие взаимной корреляции

между

сигналами

на

входе системы и a(t).

Если же Ram(т) = Ran(т) =

= 0, то среднее значение

сигнала

на выходе

системы

равно

нулю.

Дисперсии в этом случае не зависят от времени t и на осно­

вании формул

(300) —(306)

принимают вид

^ ( 0 ) =

Ял„(0)+ЛЯ, с (0),

(308)

где

СО

со

RXo

(0)

= j

k (a) do j [Rm (o-0)

+ Rn(G-0])k

(B) dQ;

ARxc (0)

=

-

2m,

j" k (a)

da

f [Rna (a -

9) +

R n a (a

- 8 ) ]

k (9) dQ +

b

b

+

J

k (a)

da F \m*Ra

(a -

G) +

Ra

(a -

9) R

(a -

0) +

о

о

+

Raxc

(a -

G) RXca

(a — 9)] k (9) dQ,

и

tfE (0) = tf6o(0)

+ A £ £ ( 0 ) ,

где

Яе,

(0) = /?„ (0) +

Rx. (0) -

2 _f Д м (0) k (0) d0;

ДДЄ с (0) =

ARXc

(0) +

2 f /?m a

(0) k (0) dB.

b

В уравнения входит взаимная

корреляционная функция [см.

ф о р м у л у (306)]

со

Ra,c (Т) = I' [Ram (1 ~ 6) +

Ran (t ~ 9)] * <*6 -

0

СО

— тх

6\Ra{x

— О)й(Є)d9.

Эта

функция

с учетом

ф о р м у л ы

(307)

м о ж е т

быть

опреде­

лена и

поэтому

интегральное у р а в н е н и е (308)

сводится

к

виду

интегрального

уравнения

(280),

решение

которого

описано-

выше .

Следует отметить, что

если

случайная

с о с т а в л я ю щ а я

коэф­

фициента уСИЛеНИЯ ЯВЛЯетСЯ беЛЫМ ШуМОМ И Ram(x)

^Rna{r)

=0,

то вычисления

значительно у п р о щ а ю т с я , и

можно

показать, что

со

со

f k (a) do

\

[Rm

(а -

0)]

+

R„ (а -

0)] k (0) dQ

Я, (0) =

J

°

с

CO

1 — C= [ ft2

(a) da

и

b

CO

^ ( ° ) = ^ O ) - 2 f tbf m ( W ) d 0

+

CO

CO

(a — 0) +

j'

k (a) da J' [Rm

R„ (a -

0) 1 k (a) da

.

1 — С 2 f k2(o)do>

0.

b

Входной сигнал является заданной функцией времени. При

этом возникают две

особенности в

поведении такой системы:

сравнению с системой с постоянными параметрами;

система

может стать неустойчивой при превышении дисперсии

случай­

ной составляющей некоторого

уровня.

Средние

значения сигнала ошибки и выходного

сигнала,

по-прежнему

определяются

формулами (296)

и

(297),

а Raxc (г, г!)

на основании уравнения (227) принимает

вид

Среднее значение ошибки

воспроизведения

т

т

т* (0 = S (0

- )' g (t - 0) k (0) dQ — -j f i?a 0 c (* — e,t

— Q)k (0) d0,

0

6

или

пц

(/) = mE o (0 — - г f

(/ — 0, * — 0) /г (0)

d0.

процесса,

вызванного

приложением

воздействия,

т.

е. при

t>T,

на основании формул

(277) — (279)

можно

записать

следующее

выражение для среднего

значения

ошибки:

/ле (9 =

— г

—

^

для

t>T.

(311)

1 - —

\k(a)da

\Ra(Q)k(Q)dQ

А " 'о

о

Если

воздействие

g ( t ) представляет

собой

полином

сте­

пени г, то динамическая ошибка

системы

может

быть

выра­

жена через коэффициенты ошибки [39]:

Динамической ошибкой системы со случайными

парамет­

рами является

т в ( 0 = У . - т г ( О ( 0 -

(313)

1=0

С* =

^

:

.

(314)

1 — —

f k (a) da

\Ra

(Є) k (Є) dQ

А ~ о

о

С'0 = 0;

С: = 0,

/ = 1, . .

. ,

г — 1 ;

(315>

С* —задается.

Равенство

(314)

через

коэффициенты

ц,- запишем

в

виде

Р' =

,

(316)

1 — —- {k (a) da С«а (в)/г(0) dQ

где

А ~

"о

'о

=

1 _ с 0

;

її, = (—

\ус,;

И

о

в свою очередь,

ц,- =

]xik{x)dx.

(317>

о

Для определения

дисперсии

ошибки

возведем

в квадрат е(/)

из уравнения

(310)

и усредним.

В результате получщм

К

(0 +

tfsc

(*, t) =

т\

(t) +

Rm

(0) +

f k (T) rfx f [/?,„ (T

0)

4-

c

0

0

+ R n ь —в) + 4^

<т - e)i * (0>rf9

-ь "І І"k юdT><

л-

л- 0

X

J[/ne (f —9)ш,(/ — т ) / ? в ( т - в )

+

/?0 (т

— 6 ) X

b

X Rvjt

—T,

/ — 9) 4> #F L 0 F (/ — T, / — 9) RVca

{t — T, / — 0)

- j -

+

Що С

01 k (0) d0

H- JmE o (0

(t-Q,t-Q)k

(0) d0

-

с

A

-0

c

(318)

_ 2

(x)dx.

b

Вычитая из левой и правой частей уравнения

(318)

квадрат

среднего значения,

получим

дисперсию

случайной

составляю­

щей ошибки воспроизведения в виде

REc (t,

t) =

Rm (0) +

f k (T) dx } \Rm

(T -

0) + Rn

(x -

0)

+

о

b L

+

Jr2RuAx-e)]k(Q)de+~]k(x)dx][me(t-0)me(t-x)

b

X

л

J

л "

b

Х # в ( т —Є) +

# в ( т - 8 ) Д „ е

( / — т, / - Є )

+

/ Ц . ( * —т,

/ - 0 ) X

X

Rvca

(t-x,t-Q)]k

(0) dQ]-

2

f Д т (x) k (T) dx.

(319>

^

=

Л И ( 0 ) +

\k(x)dx$

/ ? м ( т - 0 )

4 - # „ ( т - 0 ) 4 -

+

А-

-L.RUi(x-Qy ft(0)d0

— 2j-

(т) /г (т) dx

+

о

+

_ L f /е (т) dx f [w= /?а (т — 0) 4-

/?в

(т -

0) Rv

(х -

0) - f

л " 'о

о

Ч- /?о»£ (т — В) RVca

(х — 0)] к (0) d0.

(320>

Сигнал

v(t)

на входе

элемента

со

случайным

коэффициен­

том усиления можно выразить так:

f(0 = g ( 0 + « ( 0 -\-n(l)-r\\g(!-Q)

+ m(t-Q)

+ n(t-Q)

+

b L

4-

_ L U | (t — e] ft(0)d0 — —

]a(t

— B)v(t — 0)ft(0)d0.

(321>

Л

J

A

0

Для нахождения корреляционной функции случайной состав­

ляющей

сигнала

v (t)

в

установившемся

состоянии

умножаем

v(t)

на

v(t—т),

осредняем и исключаем из полученного равен­

ства

квадрат

среднего значения m2v.

В

результате

получим

Rvc

(т) =

Rm

(т) 4-

Rn

(х) 4- |- к (a)

da

f | > л (т 4-

а

-

0) Ч-

о

о L

4- Я„ (т -1- 0)] к (0) dQ -

f [Я ш (т -

0) 4-

Rn

(х -

0)] ft (0) dQ 4-

b

4-

j ft (a) da

[ [т.2, Ra(x

+

о — Q) +

Ra(x

+

a — 0) Rz,c(x

4 - а — 0) 4>

+

Ravc

(T 4-

a — 0)

^ (T 4- a — 0)]ft(0) d0.

(322>

Взаимные

корреляционные

функции

сигналов vc(t)

и a(0>-

с учетом уравнения

(321), равны

Ra»c

(т) =

^-Г т є Я п

(т -

0) к (0)

d0;

л о

Rvca (т) =

f m e ff e

(т - І- 0) ft (0)

dQ.