Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Решение интегрального уравнения (69) можно записать в следующей форме:

Уі S

4T V 6 ~ a ' T cosco , - T - ! - 2

T V

e _ e ' T sina ) T T +

, = 0 v = 0

j = 0 v = 0

ЛТ+І1

(T) + 2 ^ o U )

( T - T )

L (p) L* (p) M - i ( p ) X

j = l

/ = 0

7=0

X M*~l

(p)

i ? M ( T _ 6 ) x ( 0 ) d e

, 0 < т < Г .

(70)

Предположим, что п і ( 0 = 0 , 5 , , ( U ) ) = / V 2 ,

g (0 =

cos

Я ( р ) = 1 .

В этом случае на основании решения

(70) получим

k (т) =

А'0 е~аа%

cos » 0 т +

А'0 е~а°х

sin со,,-: +

А\ хё~а°х

cos

ш0 т'+

+ 1\xe~a°x

sin со0т,

0 < т < Г.

Подставляя k(t)

ограничивающие

условия

(64), найдем

- ,

- /

j [Ло e - a

° T

cos со0т +

А'0 ё~а°х

sin ш0 т -j- А[ x e - c t ° T c o s ш0т + Л J т е ~ а " т

sin u)0t] X

со

X е- 0

*"1 cos со0тгіт =

е -

а ° т

cos ш0 тб (х) dx =

— со

|' ~.е~а°~ cos ш0 х [Лр е - " " 1

cos ш0х +

Лц е ~ а ° т

sin со0т +

ЛJ т е - а " х

cos со0т

СО

-f

Л J т е -

а ° т sin

<о0т] dx =

т е ~ а , т

cos co„x6(x) dx = 0;

— ОС

J ё~а'х

sin со0т [Ло е~а'х cos со0т +

Лц е~а'х

sin ш0 т + ЛJ хе~а'х

X cos со0х +

А\ хе~а°х

sin со0т] dx =

е а » х sin со0х8 (г) dx = 0;

—со

_ (

f т е -

а » т

sin ш0х [А'Д

е~а'х

cos ш0 т +

А'0 е~а«х

sin ю0 х +

Л[ т е ~ а , т

cos со„х

~А\ х е ~ а

° г

sin <о0х] dx =

со

т е -

« г sin ш0т8 (х) dx =

Решая

систему

из четырех

уравнений,

найдем значения А'0, А'0, А\ ,

А[, входящие в оптимальную

импульсную

переходную функцию.

Г л а в а 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

В НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ

При решении задач синтеза применяются два разных подхода. Первый подход используется во всех случаях, когда заданная часть системы является линейной и не содержит осо бенностей. Он связан с определением оптимальных динамиче ских характеристик и последующим выбором по ним и задан ной части системы корректирующего устройства. Этот подход описан в гл. 1. Второй подход необходимо применять при нали чии особенностей в заданной части системы. К таким особенно стям можно отнести наличие запаздывания, неминимально-фазо вых элементов, нелинейностей и др.

Поэтому возникает необходимость применения другой рас четной схемы, состоящей из последовательного эквивалентного элемента и заданной части с последующим определением кор ректирующего устройства по оптимальным характеристикам эк вивалентного элемента. Целью второй главы является опреде ление оптимальных характеристик, учитывающих указанные осо бенности заданной части системы.

1. УЧЕТ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ЗАДАННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ СИСТЕМЫ

Ряд элементов систем автоматического регулирования имеет передаточные функции, в которые входит запаздывание. Поэтому возникает необходимость учета влияния запаздывания на динамические характеристики оптимальной системы.

Рассмотрим систему, изображенную на рис. 1. На первый вход системы поступают сигналы g(t), m(t) и n(t), причем функция g(t) является полиномом степени г, a m(t) и n(t) — стационарные случайные сигналы. Ко второму входу системы приложено случайное стационарное возмущающее воздействие u(t).

Предположим, что заданный элемент системы имеет переда точную функцию с запаздыванием, т. е.

где t\ — время запаздывания.

Постановка задачи этого параграфа отличается от постанов

ки задачи § 1 гл. 1 только тем, что					заданная		часть системы
имеет запаздывание.
Согласно расчетной		схеме		рис.	3 ошибку		воспроизведения
можно записать в	следующем			виде	[см. формулу			(11)]:
				со
z(t) = Hg(p)g(t)	+			о	H(p)m(t)-\u(t-x)b(x-x1)dx-
т				о
т			— f) +
— $lg(t	— T:) + m(t		— f) +		n(t	— T)]k(x)dx		+
о
+ T\k{x)dx\		u(t	— x — a)b(a			— xjda,		(71)
b		b

где b{%—ті) —является импульсной переходной функцией, со ответствующей передаточной функции WQ(S);

тх = tlt

Потребуем, чтобы среднее значение ошибки воспроизведения равнялось нулю. В результате придем к тем же ограничениям вида (15), (16) или (14). При выполнении указанных ограни чений на импульсную переходную функцию ошибка воспроизве дения принимает форму

со

— т) b (x — xj

£ (t) —

m (t — т) x (т) dx — J

u(t

dx — j' [m (t — т) +

—со

— Tj)

n(t

— x)]k (T) dx + \k

(x) dx |' u{t —

T — a)b(o

do.

Возводя в квадрат и усредняя e(t),

из последнего

выраже

ния имеем

оо

со

«& =

j x(t)dT

# m ( T - e ) x ( 0 ) d e - 2 j / j ( T ) d T . j

Я т ( т - Є ) Х

—CO

—oo

—CO

x (9) d9 +

J k (T)

dx \ [R m

(x -

6) + R „ (x -

6)] k (6) d9 +•

+ Ї

b{x

— Xj)dx\Ru(x

— Q)b(Q — xJdB

— 2\k{x)dx]

b{a

—

— -r^daj Ru(x

a — 0)b(9

— x1)dQ+

\k{x)dx\

b{a — та )

X da J

b (v — T,) dv ] Ru

(x + a—

v — 9) fe(0) d0 .

о0

После замены переменных среднее значение квадрата ошиб ки можно записать в виде соотношения, которое после приме-

Рис. 4. Расчетная схема для не минимально-фазовой системы

PCt)

П р .

нения обозначений (19) ничем не отличается от выражения для среднего значения квадрата ошибки, записанной в форме (18). Поэтому выкладки для определения оптимальной и импульсной переходной функции с учетом запаздывания ничем не отлича ются от тех, которые производились в § 1—7 гл. 1.

2. ВЛИЯНИЕ НЕМИНИМАЛЬНО-ФАЗОВОЙ З А Д А Н Н О Й ЧАСТИ СИСТЕМЫ НА ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Предположим, что в состав неизменяемой части си стемы входят элементы, вносящие запаздывание, или элементы, передаточные функции которых содержат неминимально-фазо вые множители в числителе. Для того чтобы корректирующее ус

тройство системы, найденное в P(tM(t\ результате синтеза, было устой чивым, очевидно, необходимо из менить подход к определению оптимальных динамических ха рактеристик. Если выше опреде лялась оптимальная передаточ ная функция всей системы с уче

том передаточной функции заданной части, то здесь будет опре деляться оптимальная передаточная функция эквивалентного корректирующего устройства разомкнутой системы с учетом за данных элементов [50].

Итак, предположим, что передаточная функция системы (см. рис. 1) Wo(s) является неминимально-фазовой, требуется найти оптимальную передаточную функцию корректирующего устрой

ства Wh(s) при	тех же	воздействиях,	приложенных к	системе,
что и в § 1.				W0(s)	—
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 4. Здесь				W0(s)	—
передаточная функция;		b(t)—импульсная	переходная	функция,
соответствующая	W0(s)	для заданной	части системы;	Wg (s)	—

передаточная функция эквивалентного корректирующего устрой

ства,	a	k* (t)	— импульсная переходная			функция,	соответствую
щая		W3{s).
Для		схемы,		изображенной на	рис. 4,	можно записать
		E(s)		= P (s) - W, (s) W0	(s) [Р (s) + Q (s)]		-
		=	[l-W3(S)W0(s)]P(s)-Wa			(s) W0 (s) Q	(72)
		=	[l-W3(S)W0(s)]P(s)-Wa			(s) W0 (s) Q	(s).

Так как преобразования Лапласа E(s) для сигнала ошибки расчетных схем, изображенных на рис. 3 и 4, должны совпадать,

то, приравнивая значения E(s) из выражений (8) и (72), на ходим, что

!	р (S)		WK(s)W0(s)—		Q (s ) =	[1 — W3		(s) W0		(s)]	X
l + W K ( s ) W 0 ( s )	w	1 + WK(s)W0(s)			* w		e	W	0	W J	^
	XP(s)-W3(S)W0(s)Q(s).										(73)
Отсюда находим, что
	1 - W,	(s) W0		(s) =	і		,
и, следовательно, передаточные функции W9						(s)	и WK		(s)	связа
ны следующими соотношениями:
	W3(s)		=	1 + WK (s) W0 (s)						'	(74)
				1 + WK (s) W0 (s)
	WK	(s) =		^		.					(75)
				l-W3	(s) \V0 (s)					V	;
Пользуясь	формулой		(75), по		передаточной		функции			экви

валентного корректирующего устройства всегда можно опреде

лить передаточную функцию Wk(s)	корректирующего устройст
ва (см. рис. 1).
Расчетной схемой (рис. 4) можно	пользоваться также в слу

чае минимально-фазовой заданной части системы. На основа


нии	изложенного	сформулируем задачу		следующим		образом.
По	заданным корреляционным		функциям	Rm(%),	Rn(x),		Ru(x)
времени переходного процесса Т, передаточной функции							W0(s),
оператору воспроизведения Н(р)			и коэффициентам			ошибки С*
найти импульсную , переходную функцию				k* (t)	эквивалентного
корректирующего		устройства так, чтобы		обеспечивалось			мини

мальное среднее значение квадрата ошибки. После решения

этой	задачи, пользуясь		формулой (75), найти		передаточную
функцию корректирующего устройства.
Решим задачу в предположении, что заданная функция вре
мени	представлена формулой (5). Пользуясь формулами (72),
(9) и	(10), запишем	ошибку		воспроизведения	в следующем
виде:
є (f) = р (t) — f k* (т) dx		\	[P ((—	x — 9)_ + Q (t — T — 9)] b (Є) dd =
	о	0

= Hg(P)g{t)	+ H(P)m(t)-J	u(t-x)b(x)dx-]k*	(x)dx X
		b	о

xJlg(t-T-Q)

+ m(t-x-Q)

+ n(t-x-Q)]b(Q)dQ

]k* (т) dx f b (0) d6 f

u {t — T — Є — a) b (a) da.

(76)

Если потребовать равенства нулю среднего значения ошибки,

тго получим

Hg(Р)

g(t) = J k * (т)dx \ g ( t -

x -

0) b(0) dQ.

(77)

Учитывая,

что

g (t — x)

(— ] ) v

—

pv g (f), формулу

(77)

v = 0

можно

записать

в виде

оо

Hs(p)g(t)

ft*(T)dT^](-

1 ) г ^ Є ' * ( в ) ^ ( * _ т ) < Ю

( _ 1)' ±

j" p'gr

_ Т ) ft* (T )d T r j' 6<b(e)d0 =

j > (x) dx

j* b(0)dQ — pg(t — т)

6&(0)d0 -|—^-p2 g(t — x) j>6(0)d0

•

• . +( - i ) r 7j - P r ff(' - T )fe^(e)de

= [ [ ^ ( 0 - w ( 0

. .

. +

(-l)r^-prg(t)]k*(T)dx^b(Q)dQ~^pg(t)-

-«P2g(t)+

. .M-W-1-^^Prg(t)]k*(x)dx^b(Q)de

je«b(6)dB — L <\p3g(t)-xp*g(t)+

. . .+ ( _ i ) ' - » x

х ^ г ^ г p r g ( 0 ] к * ( т ) d x

\ т

( 0 ) d Q

J [ p 4 g ' ( 0 ~ т р Г ' ^ ( 0

со

+ .

, +

(^іу-*-ЇІ1-рг§Щ

ft*(T)dtjV&(O)d0

•

со

+ ( - ^

т т з т у г I l p r ~ l s r ( 0 ~ x p r g

{ t ) ] / е * ( т ) c h

\ Q r ~ x ь ( 9 ) d Q

( - l) r ^

jT Pr g (0 ft* (T) dr соj 0'& (0) d0.

(78)

Рассматривая уравнение

(78)

как

тождество и учитывая вы

ражения

(6)

(7), получим

г + 1

ограничивающих

импульсную

переходную функцию ft* (t)

условий

вида

j' rv ft* (т) dx,

(79)

причем постоянные j . i v

получаются

путем решения

следующей

системы уравнений:

Я 0 = ц 0 " б ( в ) а 6 ;

#і = — М Ь (9) dQ — Ио j 0Ь (8) d0;

оо

оо			со		со
Нг = -L \|LI2 J" Ь (в) dQ + (.і! j вЬ (Є) d0 + - і - j.i0					J' 026 (0) d0;
0			0		0
Hs=	со			со
Hs=	J	6 (в) d6	1-	^ e & ( 8 ) d 6 - - l - ^ X
	о			0
	со			со
X	\	&b (8) d8 — - і - ц0		j " 036 (0) d0	(80)
	о			0

ит. д.

Сучетом этих ограничений ошибку воспроизведения (76) можно записать в следующей форме:

со	со	Г
8 ( * ) = J tn(t — х) х.(х) dx —	j" u(t	— х) b (т) dx — j ft* (т) dx X
—CO	0	0

X	j [m(t — x— Є) +		n(t — x — 9)]b(9)d9 +
	b
+ )"A*(T)dT J 6(Є)гіЄ\|			T — 9 — a)b{a)do.	(81)
b	o	o

Возводя в квадрат выражение (81), усредняя и учитывая обозначение (19), запишем среднее значение квадрата ошибки в виде

		оо	оо			Т	оо ч
« & =		j %(x)dx j		Я т ( т — Є)х(Є)ав — 2\|й*(т)гіт[				6(a)daX
		—оо	—CO			0	6
	CO	Rm(x			T	CO	CO
X	J	Rm(x	+ a — Q)K (9) d9 + J А* (т) dx J & (a) da]					6 (v) dv X
	— oo				0	0	0
x][Rm(t+o-v-e)				+ RA(T:+a-v-e)]k*(e)de+RUO)				+
0					f
+	Г		оо	со	f			(0) d9 —
+	]k*(x)dxlb(a)da]				6(v)dvJ/?„ (т + a — v — 9)			(0) d9 —
	0		0	0	0
			— 2 j & * (T)dx J " ( T			— 9) Ь(9)d9.		(82)
				о	о

Теперь задача состоит в том, чтобы найти импульсную пе реходную функцию k*(x), обращающую в минимум среднее зна чение квадрата ошибки (82) и одновременно удовлетворяющую

(г+1)	ограничениям (79).
С этой целью, как и раньше, ищем минимум выражения										(20).
Придавая		импульсной переходной			функции			k*(x)	вариацию
Дг)(т)	и выполняя		операцию dJ^			=0,	получим		следующее
				ЗД	\|д=о
интегральное уравнение				относительно		k*(x),		обеспечивающее
минимум среднего значения квадрата ошибки:
	]	[#« (т -	в) + R'n (т - в) +		R'U	(Т -	9)] k* (9) d9		=
	о
	=	2 Vi* +	Ru(i)+	J /?m(-c-e)«(8)d9,				0 < т < Т ,		(83)
	,•=0			—со
где
			со	со
		Rm(x)=	j" b(o)da\/?m(r		+	a - v ) & ( v ) d v ;
			о	о
			со	со

=J 6(a)daJR n (f + or - v)b(v)dv;

о о

R'a (т) = \

b (a) d<s f Ra

(т +

a — v) 6 (v) dv;

„

Rm(t)

= \ Rm(x

+ V)b(<s)d<y,

Я и

( т )

= \

Ru(t

+ Q)b(Q)dQ.

(84)

Если корреляционной

функции

ЯФ (т) =

R'm

(т) +

(т) + R'u

(т)

соответствует дробно-рациональная

спектральная плотность

(24),

то можно показать, что решение интегрального уравнения

(83)

имеет вид

k* (т) = V Ар

V 5,

Л т

^j6 ( / >

("с) М- S

£>;6( / )

(т — Г)

/=о

1 = 1

/=0

/ = 0

£ (р)

(р) М - 1 (р) Л Г -

(р)

[

^ ; ( т - Є ) х ( 0 ) с і 0

7?;(т)

—ОО

0 < т < 7 \

(85)

Неизвестные Л,-, Bj> £ j и Dj определяются следующим

обра

зом. По заданному оператору Не(р)

импульсной

переходной

функции Ь(х) находим ограничения

(79).

Пользуясь

выражениями

(19)

и (84),

определим

R'm(T),

Я«(Т) ,

/ ? « (Т),

Rm(r),

R'B(X).

Сначала находим спектральную плотность Sq, (со), соответ

ствующую

корреляционной

функции /?ф (т), а затем по Sq>

(со)

ищем /, k,

L(p)L*(p),

М(р)М*(р)

корни

уравнения

М(Х)М*(%)

= 0

записываем

импульсную

переходную

функ

цию,

пользуясь уравнением

(85).

Подставляем импульсную переходную функцию (85) в ин

тегральное

уравнение

(83)

и, требуя, чтобы оно удовлетворя

лось

тождественно, получим

2 /

линейных

однородных уравне

ний

для определения

неизвестных

Л,-, В{,

Ej и

Dj.

Подставляя

импульсную переходную функцию (85) в ограничивающие усло вия (79), получим r-f-1 линейных уравнений.

Решение 21+r+l алгебраических уравнений дает возмож ность определить все неизвестные, входящие в импульсную пе реходную функцию (85).

Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев.

1. Полагая u(^)=0, приходим к		системе с	одним		входом..
Для этой системы		Т
со	оо	Т	со	„
£ск = ]' и (т) dx	j Rm (х — 0) к (0) d0 -	2 j' ft* (т) dx	J	# m	(т — Є) X
— со	—оо	0	—со

M( т - 0) + R'N (т — Є) ] й* (9) d6. (86>

оо

Винтегральном уравнении относительно импульсной пере ходной функции, обеспечивающей минимум среднего значения квадрата ошибки е2ск в выражении (86), по сравнению с ин

тегральным

уравнением

(83)

отсутствуют

члены

с R'u(x)

и-

Д и " ( т ) , Т . Є.

J [/?m (Т -

0) + R'n (т - 0)] ft* (0) d0

Я«(т-Є)х(Є)</6,

0 < т < 7 \

(87>

( = 0

—со

(87) также

отсутствуют

В решении

интегрального уравнения

эти составляющие:

ft* (т) = V

Л,т<' +

Bte 1

+ 2 £ / s

fa)

2 D ; 5

(т —т ) +

°°

4- L(p)

(р) М-1

(р) Л1*

(р)

^ m ( T - 0 ) x ( T ) d 0 ,

0 < т < 7 \

—со

Для

случая,

если

g ( 9 = g 0 + £ i * .

Я m

(т) =

(т) = № б (т),

& (T)J=

= е ~ а т ; Я (р) == 1 и Я е (р) = 1 — Cip,

прежде всего находим

со

R'n

(т) =

\ е~аа

\ N*8 ( т + о — v) e~o v

dv =

2 а

•• ,

т > О

s* («>)1

/V-

<о» +

о«

поэтому

" ' "

А* (т) = А0

Ait

-Ь £ 0 б (т) + D0 5 (т — Т),

0 <

т <

Г,

Подставляя

й*(т)

интегральное

уравнение (87),

определим

№ г у 2 Л 0

| 2Л,т \

Аа

Ах

-ах

2а

а 2

а-

Отсюда

составим два уравнения для нахождения Д0>

Еа и D0 :

а 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 255 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ