книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

k(т) = v А,І' + v Вів4'

+

2 E i b U )

(т ) + 2 D J 8

U )

( т - т )

г

і = 0

i'=l

/=0

/=0

L(p)L*(p)M - '(p)M*

»

R,n

(т —6)х(0) dO • 1- /?и

(т) -|-

Г ф(х

— 0)x„(0)d0

0 < т <

Г.

(122)

Определение

неизвестных

значений

Л,-, 5,-, Ej

и Д,- ведется

по обычной схеме.

Для определения неизвестного множителя її импульсная пе­

реходная функция k{x)

(122)

подставляется в

формулу

(120).

Здесь можно рассмотреть,

как и выше,

некоторые

частные слу­

значения

квадрата

ошибки

можно записать в виде

со

оо

со

со

= 5

х (х) dx j"

Rm(x

— Q)n (0) dQ - 2 \ k (x) dx J

Rm (x -

Є) X

CO

— C O

0

— C O

CO

PO

X x (9) dQ -!- J'

k (T) dx \

[Rm

(T - 0) ;- Ra (T -

9) +

(T -

0)j X

0

— CO

X

/г (0) dQ -

2 J я ; (т) /г (т) dt -p Я* (0).

b

со

j [Rm (т - Є) +

R„ (т - 0) +Я,; (т -

0) +

T]G (т - 0)] k (0) dQ = R* (т) +

о

+ J

l « « ( r - 0 ) 4 - r | G - ( T - 9 ) ] x ( 9 ) d 9 .

(123)

—со

Это интегральное уравнение имеет решение

k (т) =

2 ВіЄ%г

+ _2 £.-б") (т) + Z, (р) L* (р) М~1

(р) X

«=1

/=о

Х М * " 1 ( р )

W

J 1ЯИ

(т -

6) + г|0 (т - 9)] У. (0) d0 . (124)

Порядок определения Bj, Ej и

її остается

прежним.

Следует отметить,

что

решение

справедливо

только

в том

случае, когда функция g(i)

имеет преобразование

Лапласа.

Предположим,

что

g(t)=go,

Я т ( т ) = 0 ,

Rn(x)

= С2 б(т),

Яи(т)=0

и Не(р)=Н(р)

=

\.

Для решения данном задачи представим

сначала

g{t)

в виде

затухающей

со временем функции, т. е.

Тогда

g (0 = go* -Р'

go

Р2 -|- £0*

(со) =

С= +

ц

рг 4 W-

р» 4 ш-

Далее

на основании выражения (124)

где

k (т) =

В і Є ? - ' т ,

Подставляя А(т)

в

интегральное

уравнение (123), имеем

CsSje'"" 4 її •

go

. P - * i

Р + А х

P 4 ^ i

iW5

-р-

2Р

2Р

и отсюда

Si =

-

(Р + К)

и k (т) =

-

(4 Р +

*i) <?м

Подставляя /г(т) в формулу

(120),

получим

so

(Р 4 \л

ёо

9

р

і

ёо_

2>,'

поэтому

( gp ~

4J»p°-)

и

A-i =

go

2У

Подставляя значение

в

импульсную

переходную

функцию

/г(т) на­

ходим

А(т) =

2/

р

е

Окончательную зависимость для /г(т) получим, если в последней

формуле

положим Р=0, т. е.

k (т) =

go

е

-

_£о_

2J

Предположим

(см. рис. 1), что u(t)=0

и что заданная

часть

системы имеет і

нелинейностей типа ограничения. Задачу

можно

Zj(V, ^

сформулировать

следую-

щим

образом.

По

задан­

ії ы м

ко р рел яц11 онны м

функциям

Rm{x),

на

Rn{x),

ограничениям

аї

вхо­

де

нелинейностей,

им­

пульсным

переходным

функциям

/І(Т), b(x),

вре­

мени переходного

процес­

Рис. 7. Система

с

нелинейностями

са Т и оператору воспро­

изведения

Н(р)

найти им­

насыщения

пульсную

переходную

функцию

эквивалентного

корректирующего устройства £*(т) так,

чтобы

обеспечивался

минимум среднего значения квадрата

ошибки.

«(0 = 118

V — x) +

m(t

— х)\ K(x)dx

—

]b

(Є) dQ j [g (t — T - 9) +

—"oo

6

0

+ m(t

— T — Q) +

n(t — x — 9)]

k*(x)dx.

Пусть

среднее

значение

ошибки

равно

нулю, тогда

получим

]

g[t

— x)x(x)dx

=

jb

(9) dB$g(t

— x — 9) k*

(x)dx

или

H (P) g (0 = J k* (T) dx j g(t

— T — 9) b (9) dQ.

Полагая,

что g{t)—полином

степени

г,

найдем

r+l

ограни­

чение на импульсную переходную функцию

- т

(125)

д-v =

\x-'k*(x)dx.

*о

Если

условия

(125)

выполняются,

то

ошибку

воспроизведе­

ния можно представить

в виде

e(Q = j

tn(t — x)K(x)dx—\b(Q)dQ\[m(t

— x~Q) +

—со

'О

О

со

оо

Т

оо

Rck = j К

W Л

.[ Я» (Т — 8 ) Х (0 ) d Q — 2 J k * (Т ) d T J (а ) ^ X

—со

—со

Т

'О

0

со

со

со

X

J ^ ( т +

а — e)x(6)d0 + J A * ( T ) d T f

6(a)daf6(v)dvX

—со

'о

b

Ь

X

[ \Rm

(х + о -

v - 9) +

Ra

(т + a -

v -

6)1 А* (9) d0.

(126)

о

Ограничения

a2 i определяются формулой

Г

Г

со

со

І7 =

а ? =

Г А* (т) dr

fft*(Є) de

f//(a) do-f

(т + a — v —

9)4-

0

0

0

0

4- Ra

(x + a -

v -

9)1 U (v) dv.

(127)

і = 0

1=1

AV(t)

и выполним

операцию

д^

=

0, в результате

которой

получим интегральное

уравнение

д=о

Т

со

об

(•ft* (Q)dQ[b(a)do[[R,n

(т 4- a — v - 9 )

- f Rn(х

+

о-v-0)]

X

О

О

О

п

Т

оо

оо

X 6 ( v ) d v 4 - g r | , fft*(9)d0

f / (

. ( o ) r f a f I £ m ( T 4 - o - - v - 9 ) 4 -

(=i

b

b

b

+ Rn(x

+

o-v-Q)]li(v)dv=\b(o)da

оо

CO

9) x (9) dQ

+

'0

_f Я г а

(т +

a -

—CO

4 - І > - т Л 0 < т < Г .

(128)

i=0

Если корреляционной функции

со

оо

# ,

(т) =

\ Ь (a) da

f [Rm

(х 4- ст -

v) 4- Я я (т +

а -

v)] 6 (v) dv +

0

0

Л

оо

со

4- 2

Л і f /і (or) da f

(T 4- a -

v) +

Я „ (т + a -

v)] lt

(v) dv

"

i=l

6

о

следующим

образом:

г

Ik

q

q

к* (т) = УІ AtTf - f 22 Bse%r

+ У, £,6</> (т) •+- У, 0,60') (т — Г) +

(=0

1=1

/= 0

/ = 0

со

со

-'г L (р) L * (р) /И-1 (р)

(р) j' 6 (a) da

J' Я,„ (т +

а -j-

0) и (0) d0,

0

—со

0 < т < 7 \

(129)

Для определения неизвестных А;, В{,

Ej, Dj

и

множителей

Лагранжа у

и т), как и ранее, используем

импульсную переход­

вающие условия

(125) и (127).

По

найденной

импульсной

переходной функции

£*(/) опре­

делим

передаточную функцию

т

'о

а по ней передаточную

функцию корректирующего

устройства

WK(s) =

^

,

1 -

W0 (s) Wj (s)

где W0(s)—передаточная

функция

неизменяемой

части

си­

стемы.

7.

ОПТИМАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ,

СОДЕРЖАЩИХ БЕЗЫНЕРЦИОННУЮ НЕЛИНЕЙНОСТЬ

Для решения задачи используем метод статистической

линеаризации.

Ограничимся случаем,

когда

u(t)=0

[8, 9, 11,

?(t)m(thn(tU _t

n(t)

4(s)

Рис. 8. Система с безынерционной нелинейностью

31—33,

35]

и Wn(s)

= \

(рис. 8). При этом

задачу

сформули­

руем следующим

образом. По заданным

корреляционным функ­

циям Rm(i),

Rn{i),

времени переходного процесса Т,

нелинейной

характеристике

ср необходимо найти такую импульсную переход­

ную функцию k(t),

чтобы обеспечивался

минимум среднего

зна­

чения квадрата

ошибки

воспроизведения

е « . При этом среднее

значение

ошибки

в

установившемся

состоянии — заданная

по­

стоянная

величина

пге.

с ;

S _

.

(із4)

і + ( т ; - ' ) { 4 и л

Коэффициенты С*,- выбираются следующим образом:

\

С;

=

0;

С;

=

0, г =

1,2, .

. .,

/

- 1 ;

CV —задается техническими условиями.

Равенство (134)

через

коэффициенты

можно

записать в

следующем

виде:

где

V Лі

. о

т

}(0 =

1 — С0 ;

JLI,

=

( —

1)' С,- =

j' т{ /г (т) dt.

'о

Среднее значение квадрата

ошибки

имеет

вид

г2ск

= Rm

(0)

-

2 )

Rm

(г) ft (т) dx +

)

k (т) dr

f [R m (т -

0)

+

b

b

b

+

RN(T

— 0)] ft (0) d0.

Далее, решая обычную вариационную задачу, получим ин­

тегральное

уравнение

о

=

І ]

Y/* +

# т (т).

0 <

т <

Г.

1=0

Решение

последнего

уравнения

для

спектральной

плотно­

сти (24)

принимает

вид

г

2k

д

q

ft (т) =

2 л,*

+

у. Bt

Л т

+

2 £ / 6

М +

2 £/6

(т ~ г ) +

i"=0

£=1

/=0

/ = 0

+

L (р) L*(р)

М"1

(р) М^1

(р) Rm

(т).

Постоянные ЛІ,

Bit

Ej

и Dj определяются обычным порядком

при фиксированных

Ко и

К\.

Задача,

решаемая

шоке, формулируется следующим

обра­

зом: по заданным корреляционным

функциям

Rm(№),

Rn(lQ)

идеальной

импульсной

переходной

функции

х(/0) желаемого

цию А(/0), так чтобы обеспечивался минимум среднего

значе­

ния квадрата ошибки.

Пусть идеальная система должна воспроизводить на выходе

сигнал

h(lQ) = Hg(6)g(lQ)

+

Н{А)т{1в),

(136)

где

«—і

є (/0)

Л (/()) — х (/6) = Hg (Д) g (/В) -и Я (Д) щ (/в)

—

— V

[g(/0 — ы0) ; - ш (/в — ив)

\~n(ie — uB)]k(uQ).

(138)

«=о

Потребуем

теперь, чтобы среднее

значение

ошибки равня­

лось нулю, т. е.

М [Hg

(Д) g (Ю) Н- Я (Д) т [Щ -

f М [g- (/G - и8)

+

4- т (/8 — «0) -!- п (/0 — «0)1 k («0) -

0.