Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Расчет оптимальных систем автоматического управления при наличии помех

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.10.2023

Размер:

9.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Если корреляционной функции /?ф (т) = Rm(x) -т-Я„ (т) соот ветствует дробно-рациональная спектральная плотность (24), то на основании формулы (25) имеем

y(t)M(p)M(p)			• о (т -		6) k (t,	8) d% -		М - 1 (р) М*—і (р) Rm			(1-х)
					g(t)-\g(Q)W,				8) dQ		(213)
	Учитывая, что выражение в квадратных									скобках	правой
части не зависит от т, перепишем дифференциальное											уравне
ние	(213)	следующим		образом:
где			M(p)M*(p)N(t,t)=g(x),								(214)
		Y2 (0
N	(t, x)	=	j G (т - 9 )		k (t, 9) dQ — M - i				(p) M*	(p) # m (< — т)
					g ( 0 - Uо( 9 ) A ( / , 9)d0
Дифференциальное				уравнение			(214)		имеет	решение
		ТУ (t,	х) = Ь	В; (/)e V		+ /И" 1		(р) М* ' (р) £ ( т ) >			(215)
где	Яг- — корни		характеристического					уравнения		Аї(Л)=0.
Ограничим общее решение дифференциального уравнения
(214) условиями
		dvN(t,	х)		0.	v =	1,	2,	3,	, к.
					0.	v =	1,	2,	3,	, к.

дх"

Эти условия позволяют определить к произвольных функций Bi(t). Далее, пользуясь приемами, изложенными в работе [39], получим импульсную переходную функцию в следующей форме:

kit, X) =

L ( p ) L * (p)N(t, т) 8 (0 - j ' L (P) L * (P) M _ 1 (P) (P) ^ « Є" 6 ) ё(9> d Q

•p{t) + \Hp)L* (p) [tf (f. 0)]g(0)d9

+ L(p) L* (p)M _ 1 (/j) M * - 1 (p) tfm (* _ T).

5. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ ОБЩЕГО ВИДА

Рассмотрим задачу определения оптимальных харак

теристик

для нестационарных

полезного

сигнала m(t)

и помехи

n(t)

[38]. Известными

предполагаются

корреляционные

функ

ции Rm(t,

т)

и Rn(t,

х). Ошибка воспроизведения

(216)

г (г) = т (/) — |" [от (т) + п (т)]/г (t, т) dx.

'о

Возводя

в квадрат выражение

(216), имеем

Ё 2 (/) = тъ (t) — 2\[т (т) +

п (х)]от(t) ft (t,

т) dx

f f [tn (x) +

n (т)І [ОТ (0) + n (0)1

T)ft(/, 0) dx d6.

(217)

Выполняя операцию определения математического ожидания

случайных функций,

входящих в уравнение

(217), получим

М [є2 (/)] =

Rm (t,

t) -

2 J

(т,

x) dx

f \ [Rm (T,

Є) +

# „

(T, 9)]ft(/,

T)ft(*, 9)

dQ.

Придадим

импульсной

переходной

функции

k(t,

х)

вариа

цию An. (t, х). В результате

получим

J ( 0

= * m

С . 0

- 2 j #m (т, 0

I * V, х) + Дг,

х)] dx

| Г [ Я т

(X, 0)+

0 0

Rn (х,

9)] [ft (t,

х) +

Дг) (f, х)] [ft (г,

0) +

Дт)

9)1 сЫ0.

Согласно правилу вариационного исчисления необходимым

условием экстремума

функции J(t)

является

= 0 ,

ад

д=о

которое приводит к интегральному

уравнению

\ [Rm (х,

Q) + Rn

(х, 9)1ft(t, 0) dQ =

i?m (x, f).

(218)

Уравнение (218) обеспечивает необходимые и достаточные условия для минимума дисперсии ошибки, но оно не может быть решено непосредственно относительно оптимальной им пульсной переходной функции k(t, 0). Его решение можно по лучить, применяя приближенные методы или средства вычисли тельной техники.

I l l

Г л а в а 5

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ СО СЛУЧАЙНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ

Повышение требований к динамической точности си стем автоматического регулирования приводит к необходимости учитывать при их проектировании не только внешние воздей ствия, но и возможные изменения внутренних параметров.

К числу причин, вызывающих отклонение параметров системы от номинальных значений, следует отнести в первую очередь производственные допуски и медленные изменения параметров в результате старения. Кроме того, параметры элементов, вхо дящих в состав системы, могут в условиях эксплуатации испы тывать быстрые колебания относительно среднего значения. Это имеет место, например, в системах регулирования летательных аппаратов под влиянием вибрации и перегрузок. Случайные изменения мощности радиосигнала также могут быть причиной колебаний параметров системы, включающих в СБОЙ состав радиоканалы или радиолокационные средства измерения ко ординат.

Случайные изменения параметров оказывают существенное влияние на динамические свойства системы, ухудшают ее точ ность и могут вызвать неустойчивые режимы работы, т. е. сни зить надежность и эффективность системы.

В данной главе рассматривается динамическая точность систем автоматического регулирования, содержащих один эле мент со случайным переменным коэффициентом усиления, при наличии управляющих сигналов, содержащих заданную функ цию времени и случайную составляющую, а также возмущаю щих воздействий, приложенных в различных точках системы.

Исследуется поведение среднего значения, корреляционной функции и дисперсии выходного сигнала системы и ошибки воспроизведения полезного сигнала. Решение дается как для общего вида структурной схемы системы без ограничения места расположения элемента со случайным коэффициентом усиления, так и для нескольких типовых структурных схем. Рассматри ваются условия устойчивости системы.

Дается методика синтеза системы со случайным коэффи циентом усиления измерительного элемента по критерию мини мума среднего значения квадрата ошибки при учете заданных

ограничений на динамическую ошибку воспроизведения неслу чайной составляющей входного сигнала, иллюстрируемая при мерами и экспериментальными результатами [2, 25, 27, 65, 66].

1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛОВ

ВСИСТЕМЕ СО СЛУЧАЙНЫМ ЗНАЧЕНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТА УСИЛЕНИЯ

Предположим, что один из элементов системы имеет

случайный коэффициент усиления	А (/) =/1 +a(t),	где	А—по
стоянная величина, а(1)—случайная	функция времени,		причем

этот элемент может быть включен произвольным образом в

структурную схему системы.		Остальная часть системы имеет
Ж)	А	а)	хШ.
			• Сі)

а)

p(t)+m (t)

Рис. 9. Система с общей структурой

постоянные параметры и является линейной. Структурную схему системы и динамические характеристики всех ее элементов считаем известными. Рассмотрим задачу отыскания статисти ческих характеристик выходного сигнала и ошибки в этой по становке.


Один		из	возможных вариантов			структуры		системы показан
на рис. 9, а.			На вход поступает полезный сигнал,						состоящий из
заданной		функции		времени	g(t)	и	случайной		составляющей
m(t);	на	полезный		сигнал	наложена		случайная		помеха	n(t).
Кроме	того,		на систему действует			случайное		возмущение		U\{t),

приложенное ко второму входу. Предполагаем, что все случай

ные воздействия имеют средние значения, равные	нулю. Корре
ляционные функции Rm(t, т), Rn(t, т), Ru\(і, т)	являются из
вестными.

Для упрощения допустим, что все случайные воздействия между собой не коррелированы. Это предположение не является принципиальным, задача может быть решена и в общем виде, но тогда уравнение для искомых функций будет содержать до полнительные члены.

Относительно случайной составляющей коэффициента усиле ния a(t) сделаем следующие предположения: a(t) является случайной функцией с нулевым средним значением и с извест ной корреляционной функцией Ra(t, т), a(t) связана со слу чайными сигналами, действующими на систему, взаимными

КОрреЛЯЦИОННЫМН ФУНКЦИЯМИ Ram(t, т) , Ran(t, т) , Raul(t, т) .

Задача ставится следующим образом: найти среднее значе ние, корреляционные функции и дисперсии выходного сигнала •системы x(t) и ошибки е(/) воспроизведения полезного сигнала

g(t)+m(t).

При указанных выше предположениях можно пользоваться

расчетной схемой, изображенной			на рис. 9, б.
В	рассматриваемой	системе	сигналы x(t),	e(t), а также
'сигнал	v(t) на входе	элемента	со случайным	коэффициентом

усиления являются нестационарными. Каждый из этих сигналов

•содержит

среднее

значение,

которое,

в свою

очередь, может

быть

функцией

времени,

и случайную

составляющую,

т. е.

х (0 =

тх (t) +

хс

(0;

е{t)=m& (()

+ ес

(/);

v(t) =т0

(f) +vc

(t),

(219)

где mx(t),

ins

(t)

и mv(t)

— средние

значения

сигналов

x(t),

B(t),v(t);

Xc(t),

sc (0

vc(t)—случайные

составляющие

соответ

ствующих

сигналов.

Считая, что воздействия приложены к системе в момент времени t = Q, можно записать

j а (9) [mv

(9) +

(8)] kXu

{t -

8) dQ;

(220)

€ ( 0

= g(0 +

m(t)-x(t)

= g(t) +

m(t) -

[g (8) + m (9) + n (Є)] X

k x m

[t -Q)dQ-

jоux

(8)

(t -

8) dQ

- 1 a (6) [mv

(0) +

(Є)] k x a

(t -

8) dQ;

(221)

v(t)

f [g(8)

m(Q) +

n(9)]

kvm(t

- 6 ) dQ

J' "і (0 ) Кщ

(' -

e) d

e +

І a

(Q ) K . (6) +

(8)] ftw (f -

9) dQ.

В формулах (220) — (222) через kvq(t) обозначена импульс ная переходная функция между точками q и р замкнутой си

стемы

с постоянными

параметрами [когда

A(t)—A],

т. е.

kpQ(t)

определяет реакцию в /7-й точке системы, когда

воздействие

приложено в q-н точке.

Средние значения

сигналов

в системе. Для нахождения

сред

них значений рассматриваемых

сигналов произведем

осреднение

выражений (220) —(222).

Среднее значение выходного

сигнала

j/?«, c (e, Q)kxu(t-Q)dQ.

(223)

Среднее значение ошибки воспроизведения входного полеа-

ного сигнала

Шг (0 = g(f)-[g

(Є) kxm

[t -

Є) dQ

- f t f e t , c ( 8 , e ) k x a { t - Q ) d Q .

(224)

Среднее значение сигнала на входе элемента со случайным

коэффициентом

усиления

>nv(0 = \g(Q)Km(t-Q)dQ

(Є, 0 ) k v n

( t - 0 ) d Q .

(225)

В формулах

(223) —(225) Ravc

(0,0)

есть взаимная корреля

ционная функция сигналов

a{t)

и vc(t)

при равных

аргументах

t=x=Q,

т. е. начальная

ордината

взаимной

корреляционной

функции Ravc it, т). Для определения взаимной

корреляционной

функции Ravc (t, т) умножим выражение

(222) для v (t) на а(т) ;

тогда

[mv (t) + vc (t)] а (т) =

j а (т) \g (0) +

m (0) +

n (0)] k v m

(t ~Q)dQ

[ a (T) щ (0) kvui

(t - 0) dQ + j ' а (т) a (9) [mv (0) +

(Є)] X

Xkvll(t

— Q)dQ.

(226)

Осредним левую и правую части равенстза (226). При этом предполагаем, что среднее значение произведения трех случай-

ных сигналов равно нулю, хотя строго это справедливо только для симметрично распределенных случайных процессов.

Уравнение для R a v (t, т) будет иметь вид

Ravr

(*> Х)

f Wan,

(®> T)

+ Ra„

(Q,

*)]

6) dQ

\ Ra„,

(6, т)/ес,„

(t -Q)dQ

\ m, (9) R a (6, т) /г.„, (/ -

6) dQ.

(227)

Начальная

ордината

взаимной

корреляционной

функции

Rav

(Л т)

При t = X Определяется СООТНОШЄНИЄМ

Rove V,

О =

f [R„m

(9.

О + Я в „

(6.

С -

0) dQ

-г

[' Я™, (9,

0 ^ ,

(' -

0) ^0 +

f Щ (0) Ra (0, 0ft™V -

0) <*Є.

(228)

'о

Итак, получена система из двух уравнений (225) и (228),

определяющая поведение mv(t)

и Ravc

(t).

Решение

этих

урав

нений может быть произведено следующим

образом.

Подставив

уравнение

(228)

значение

mB(t),

определяемое

уравнением

(225), получим

(t,

f [Ram

(9,

+ Ra„

(0,

01 K,n

-Q)dQ

{RaaJQ,

t)kvu

(t-Q)dQ

+ lkVHV-Q)de]g(V)Ra(Q,

t)kv,„(V-

v) dv

+ / k v u

(t - 6)

dQ J RaVc

(v, v) RB

(0,

k v a

dv.

(229)

о0

Таким образом, поведение во времени начальной ординаты взаимной корреляционной функции Rav (t, х) описывается ин тегральным уравнением (229), в котором все функции, кроме Rav (t, х), являются известными. Решая интегральное уравне

ние" (229), найдем Ravc(t,

t).

Последнее подставляем в формулы (223) — (224), определяю щие средние значения выходного сигнала x(t) и ошибки вос произведения полезного сигнала s(t).

Корреляционные функции и дисперсии. Перейдем к опреде лению корреляционных функций и дисперсий выходного сигнала системы, ошибки воспроизведения полезного сигнала и сигнала на входе элемента со случайным коэффициентом усиления.

Для определения корреляционной функции выходного сиг нала Rxc (t, т) перемножим x(t) на х(х), определяемые фор-

мулой

(220) с учетом соотношения

(219),

и осредним

получен

ное

выражение.

Тогда

тх(t)тх(т)

-|- R

(/,

т) = \kxm(t-B)dQ]g(6)g(v)km(x-

v) dv +

f Km

(t -

0) dQ ] [Rm (9,

v) + Rn

(9,

v)] kxm

(x -

v) dv +

Г" .Є Каі

V - 0 ) ^ І ^ ,

V )

(T - V ) ^

f /ex m (* -

0) dQ f gr (8) #Q I ,c

(v, v) kxu

(x -

v) dv - h

•

• f kxm (/ -

9) dQ ] mv (v) [Ram

(9,

v) +

Raa

(9, v)]ft,,,(x -

v) dv +

J *™ (' -

0 )rf9J £ (v) Rave

(9.

9) ft,m

(x -

v) dv

f ^ « (t -

0 )

(0 ) [^ma (0>

V) +

Rna

(Q,

V)] ft.vm

(X -

V) dv

bI' kXUl

(t — 9) d9оJ /nz, (v)

a U l

(9, v) ft.r„ (x — v) dv

j ^ u

(t -

9) d9 J mB (9)

(9, v) ft^ (x -

v) dv

[ kxa

(t - Q) dQ ] [mv (9) mv

(v) Ra

(9, v) +

(Q,

v) Яг ,с

(9,

+ Ravc

Ф, v) Я „ с 0

(9, v) + /?е т е (9,

9) RaVc

(у,

v)] ft,u (x -

v) dv.

(230)

Исключая из . левой и правой частей равенства (230) те слагаемые, которые соответствуют функции rnx(t)тх(и) и могут •быть определены на основании формулы (223), найдем выра жение для искомой корреляционной функции выходного сигнала:

Rxe	С *) = f k x m	{t - 9) d9 f [Rm (Q, v) +	Rn	(9,	v)] k x m	(x - v) dv +
	b	b
	+ J' ^	0 - B) d9 f RUl (9, v)	ft	(x -	v) dv	+

оb

+	j' kxm	(t -	9) d9 J m„ (v) [Ram	(6, v) +	Ran	(9, v)]ft,„(т -	v) dv	+
	b		о
+	J	(' ~	0 ) dQ ] mv (9) [ t f m a	(9, v) +	Rna	(9, v)] kxm (x -	v) dv	+
	о

-Ь f Кпх V ~ Є ) d Q	К » Rau, (Є, V) kxu
0	0

+ f ^ „ (* - 9 ) dQ \ mv (0) tf„,Q (0, v) k

оb

(T - V) dv +

(T - v) dv -b

+ f kXu	(t - 0) dQ ] [mv		(0) mv (v) fl		(0, v) + Ra (9, v) 7?^ (0, v) -j-
b		b
	+	RaVc(0,	v) ^ c a ( 0 ,		v)l kxu (T - v )	dv.	(231)
Аналогичным образом может быть получено выражение для
корреляционной		функции		Rec (t, т) случайной			составляющей
ошибки	воспроизведения			полезного сигнала;		перемножаем е(/)
и е(т), определяемые			формулой		(221), затем	производим осред

нение этого выражения и исключаем из него те слагаемые, которые соответствуют функции т 8 ( ґ ) / и е ( т ) . В результате бу дем иметь

Rec

(t, т) =

(t, т) +

j k x m

(t -

0) d0 j [Rm (0, v)

Rn (9. v ) l Km (T -

v) dv + j'

(t -

0) d01 RUl(Q,

v) Aj W j ( x - v) dv -

f ( 9 .

A r m (/ -

0) d9 -

(0) R m

a (9,

т)

ftxil (* -

0) d9

(t. v) kxm

V) dv

(/, v) ^ E

(T -

v) dv

f R

j" /я, (v) 7?flm

f k x m

0) dQ J m„ (v) [tf flm (0, v) +

#a „ (0, v)] kxu

(г -

v) dv

I kxu

(t -

0) dQ ]mv

(0) [Я я a

(0, v) +

Я л а

(0, v)] ^

m (T -

-v).dv - f

(* — в) d9 f m„ (v) # a U l

(0, v) ft^ (т -

v) dv +

f Ku V -

0) ^0 J mv (0) i?U l Q (9,

(T -

v) dv

j ftM

(* -

0) d0 j К

(9) m, (v) Ra

(9,

v) 4- Ra

(0, v) Д

(9, v)

+ Ravc

(0, v) RVca

(0,

v)] kKa (T -

v) dv.

(232)

В формулах (231) и (232) все функции являются извест ными, кроме корреляционной функции сигнала на входе эле

мента

со случайным

коэффициентом

усиления

Rvc{t,

т) . Дл я

ее определения

перемножим

v (t)

и и(т), осредним

полученный

результат

и исключим из него

величину

mv(t)mv(x).

В результате приходим к интегральному уравнению, опре

деляющему

Rvc{t,

х):

(t,

х) =

f kvm

(t -

Є) dQ f [Rm

(0,

v) +

(0,

v)] k v m

(T -

v) dv - f

j' Ku, V-e)d9j

RUl

(0, v) kWi

(T -

v) dv +

(• kvm

(t -

(0, v) +

Ran

(0, v)] kvll

(т -

v) dv +

0) dQ f mv (v) [Ram

8) dQ f m s

(0)

(0, v) + Rna

(0,

v)J ^

(т -

v) dv -f-

[ й„„ (f -

f *„,

(' -

9) <й f ™* (V) Rau, (Q, V)

(T -

V) dv

- I -

j kvll

(t -

0) dQ ]0 mv

(0) RUia

(0, v) k W i

(T -

v) dv +

f kvu (t -

0) d0 J К

(9)

(v) Я а (0, v) +

Я а (0, v) Я

(6, v) +

'о

Rave

( 0 . V) RVca (В,

V)] £,„ (T -

v) dv.

, (233)

Дисперсии выходного сигнала x(t) и ошибки воспроизведе ния £(Q можно определить, положив в соответствующих фор мулах для корреляционных функций (231) и (232) x~t.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ СИГНАЛОВ

ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Если все случайные воздействия, приложенные к си стеме, а также функция a(t) являются стационарными случай ными функциями с известными корреляционными и взаимными корреляционными функциями, то задача определения средних значений выходного сигнала системы и ошибки воспроизведения может быть решена полностью на основании формул (223) —

(225)и (229). В этом случае интегральное уравнение (229),

определяющее Ravc(t, t), можно переписать следующим об разом:

R0vc(t, t) = I[Rma(t-Q)

+ Rna(t-0)]

kvm(t-0)

dQ +

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 2512 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ